牛頓環實驗的數據處理改進及圖像分析

朱曉梅 向偉銘 姜向東

(西南交通大學物理科學與技術學院，四川 成都 611756)

牛頓環是光的一種薄膜干涉圖樣，最早是由牛頓于1675年首先觀察得到的，當用單色光照射牛頓環裝置時，在視覺上為一系列明暗相間的同心圓環。這些圓圈的距離不同，隨著到中心點的距離增加而逐漸變窄，它們是由球面上與平面上反射的光線相互干涉而形成的干涉條紋。以往實驗室通常使用的逐差法處理實驗數據，過程較為繁雜，其計算結果也不夠準確。在牛頓環實驗中獲得的某組數據通過逐差法計算牛頓環透鏡曲率，其相對擴展不確定度為0.82%，由于“逐差”先兩兩相減使得自由度減半，即重復測量或組合測量時計算實驗標準偏差所用的獨立殘差個數減半，未能充分利用測得的有效數據信息，這不符合實驗設計隨機化原則的思路。本文通過線性擬合法處理實驗數據，并利用GUI建立一個可進行數值分析以及圖像動態分析的交互式界面，不僅可以得到更精確的實驗結果，其相對擴展不確定度為0.65%，還能結合實際選擇牛頓環實驗參量以觀察到不同的實驗現象，簡便易行，應用范圍廣。

1 牛頓環實驗理論

牛頓環裝置如圖1所示，牛頓環干涉的明暗條紋條件滿足：

得到牛頓環暗紋公式[1]

由于單色光的波長λ已知，測量得到第k級的暗環半徑，可以計算得到牛頓環凸透鏡的曲率半徑。由于中心切點處的壓力形變或殘留粉塵作用，實際方程式由上式修正為

(1)

圖1 牛頓環裝置示意圖e指的是牛頓環裝置中的凸透鏡和底面平板之間的厚度距離

2 傳統實驗數據處理方法——逐差法

考慮到凸透鏡和平面鏡表面的塵埃和凹陷，以及波長誤差、平晶不平度、部分余弦(投影)誤差、被測面偏離理想球面等誤差使得顯微鏡觀察下的牛頓環中心將會是一個圓斑。于是改為測量牛頓環的各暗環直徑即可避免這種誤差。若求得了第m級及第n級的暗環直徑Dm,Dn，記m-n=25即可得到計算公式：

(2)

此時已知單色光源為鈉光燈，其波長λ=589.3nm，通過逐差法即可計算得到曲率半徑R。具體的逐差法計算結果見表2所示。(其中XL,XR分別表示某暗環中心在牛頓環左側和右側的位置)

表1 牛頓環各級暗環半徑位置記錄表

表2 逐差法處理數據結果

(3)

其中UDka即瞄準誤差限，通常是直徑測量不確定度的主要因素之一[3]。

先考慮到儀器誤差限帶來的B類不確定度分量，實驗使用的是含有滾珠絲桿和1級螺紋副的測量顯微鏡，其誤差限ΔINS≈0.05,由B類儀器誤差限分量的相對不確定度公式得到B類相對不確定度第一項分量：

再考慮到瞄準誤差限帶來的B類不確定度分量，由B類瞄準誤差限分量的相對不確定度公式得到B類相對不確定度第二項分量：

下面計算逐差法的B類方和根，使用擴展不確定度的計算公式[2]：

其中t為自由度ν=n-1=4，在置信水平0.95時的學生氏t分布的值，滿足下列公式

(4)

B類相對不確定度合成為

此外，符合1-α=0.95的A類相對擴展不確定度為tsb1/b1=0.8%

3 實驗數據處理的改進技術和方法

考慮到“逐差”先兩兩相減使得自由度減半，因而未能充分利用測得的有效數據信息。并且其操作計算步驟不具有簡便性。由式(1)知：

將離散的牛頓環曲率半徑平方值與暗環級數畫在一個坐標圖中，如圖2所示。

圖2 牛頓環暗環半徑平方與暗環級數散點圖

由圖2知二者近似地成一次關系。對這些離散的點進行線性擬合所得曲線的斜率代表凸透鏡曲率半徑R和單色入射光的波長λ之乘積。因此牛頓環凸透鏡曲率半徑R亦可通過線性擬合法計算得出。

4 線性擬合處理實驗數據

根據上述計算原理計算得到最后的擬合結果，通過自制的GUI界面直觀方便地呈現，如圖3所示。

圖3 牛頓環曲率半徑計算GUI界面

計算透鏡曲率半徑值為：R=873.15mm。

針對瞄準誤差限帶來的B類不確定度分量，由線性擬合斜率擴展不確定度的計算公式[2]：

sb1為擬合直線斜率b1的標準差。滿足下式：

5 實驗結果分析對比

對兩種處理得到結果的相對不確定度進行分析比較，由相對不確定度的計算公式：

(5)

表3 逐差法和線性擬合處理數據相對擴展不確定度的對比表

6 牛頓環圖像動態分析模擬

除了上述數值分析的模擬之外，對牛頓環圖像的分析也可通過該GUI界面進行模擬。利用計算機進行牛頓環圖像的仿真處理[4]， 僅考慮通過對干涉光強的模擬而繪制圖像，并未結合實際情況中入射單色光波長與凸透鏡曲率半徑的取值，造成圖像分析較為片面。考慮到實際選取的入射光波長有一定的取值范圍，該界面提供兩種波長的選取方式。可以模擬實驗室進行牛頓環實驗的常用單色光，如鈉燈、汞燈，通過彈出式菜單即可選取；亦可通過滑動條任意選取位于可見光范圍內的波長。移動各滑動條就可以改變凸透鏡的曲率半徑取值。

牛頓環圖像的模擬選取波長為420nm的單色光照射，凸透鏡的曲率半徑為520mm，得到牛頓環圖像如圖4所示。實測暗環第5環、第15環、第25環的直徑依次是：2.087mm、3.621mm、4.669mm。

圖4 初始牛頓環圖像

圖5 改變曲率半徑參量后的牛頓環圖像

控制波長不變，增大凸透鏡的曲率半徑至1325.5mm，得到牛頓環圖像如圖5所示。實測暗環第5環、第15環、第25環的直徑依次是：3.335mm、5.778mm、7.457mm。

控制曲率半徑不變，增加單色光的波長至739.6nm，得到的牛頓環圖像如圖6所示。實測暗環第5環、第15環、第25環的直徑依次是：2.772mm、4.804mm、6.196mm。

圖6 改變單色光波長參量后的牛頓環圖像

可見由GUI界面所呈現的牛頓環圖像得到得以下結論均與實驗結果相符：

(1) 若控制單色光波長參量不變，牛頓環各環半徑將隨著凸透鏡曲率半徑的增大而增大。

(2) 若控制凸透鏡曲率半徑參量不變，牛頓環各環半徑將隨著單色光波長的增大而增大。

7 結語

采用線性擬合法從相對不確定度的相關理論處理牛頓環的實驗數據，得到結果的相對擴展不確定度為0.65%，更精確且符合實驗設計隨機化原則的思路。并且采用計算機程序進行實驗的數值與圖像模擬，將實驗室中繁雜的測量、計算、數據處理過程通過簡單的GUI界面表示，排除實驗過程中遇到的包括透鏡與平面鏡之間的壓力形變以及調整實驗參量進行動態分析較困難的問題。通過計算機模擬與GUI界面的結合，提高實驗的準確程度，便于總結牛頓環的實驗規律，可以得到更廣泛的應用。

致謝: 本文在實驗數據的不確定度分析方面得到了清華大學物理實驗中心朱鶴年教授的悉心指導，在此表示對朱教授的真誠感謝。

本文在選題、研究和修改過程中得到了西南交通大學物理實驗中心姜向東教授的支持和幫助，在此表示對姜老師的真誠感謝。