航班飛行中的物理問題

徐勞立 劉宇星 王 越

(北京工業大學數理學院,北京 100124)

現在乘坐飛機出國旅游的人越來越多，乘客可能想知道為什么從中國去美國東海岸的飛機不飛越太平洋？為什么往返航程相同而飛行時間不同？地球的自轉對飛機飛行有影響嗎？

1 飛行航向和里程

球面上兩點間最短距離等于球面上過這兩個點的大圓(大圓曲線半徑等于球面半徑)在該兩點間的弧長，由此可確定航班的起點和終點之間的航線走向。

現計算飛行最佳航向，即沿著航程最短曲線飛行時的起飛航跡與當地緯線的夾角γ。

圖1 球面上ab兩點間路程

設球面上a點為始點，b點為終點，如圖1所示，過球面中心點O，始點a，終點b，作一“航線平面”H，此平面與球面相切，所得切線上a、b兩點間的曲線長度，即球面上的a、b兩點間的最短路程。

地球南北極的直徑比赤道直徑短些，相差不到百分之一，可將地球近似為正球體。記地球半徑為R，取z軸過地球南北極，地球赤道平面為xy平面，取球心到運動點的位置矢量為r，本文中位矢r的方向用經度和緯度坐標(β,α)表示。

這里說明一下，地圖上的地理坐標系[1]是一種球坐標系，地圖上地球赤道的緯度為零，北半球的緯度范圍從赤道的零緯度開始，向北逐漸增加，直到北極的北緯90°，同理，南半球的緯度范圍是從赤道的零緯度到南極的南緯90°，圖1中的w為通過赤道的緯線。地球的經線為南北極之間的大圓的半圓弧，零度經線過倫敦附近的格林威治，東半球的經度范圍從格林威治的零經度開始，向東逐漸增加，直到東經180°，同理，西半球的經度范圍是格林威治的零經度到西經180°。地圖坐標定義在下面的坐標換算中要用到。

現將上述球坐標系問題在直角坐標系中表示出來[2]，設始點a坐標為(β1，α1)，終點b坐標為(β2,α2)，為計算簡單，設始點a的位矢r1在xy平面的投影恰落在x軸上，即y分量為零，此時始點a的位矢r1和終點b的位矢r2分別表示為

上式中的Δβ為始點位矢r1和終點位矢r2在xy平面上投影的夾角，考慮到地圖坐標系的東經和西經的劃分，如果始點終點都在東半球，則

Δβ=β終-β始

(3)

如果始點和終點分別在東半球和西半球，則

Δβ=2π-β終點-β始點=2π-β1-β2

(4)

下面做始點位矢r1與終點位矢r2作矢量積：

(5)

矢量積h的方向即上面所提到的航線平面H的法線方向，顯然，H平面法線與z軸的夾角等于飛機在始點的飛行方向與當地緯線的夾角γ，即航程最短時的飛行航向。為便于推導γ角的公式，將式(5)給出h的3個分量和其大小h分別列出

h與z軸基矢k的數量積為h·k=hz=hcosγ，故有

(9)

下面計算相應的飛行里程S。飛行軌跡處在球面上，若算出始點位矢r1與終點位矢r2的夾角ψ，則飛行里程為

(10)

根據始點位矢r1與終點位矢r2的數量積r1·r2=r1r2cosψ，可得到

(11)

將式(1)、式(2)代入式(11)，得

ψ=arccos[cosα1cosα2cosΔβ+sinα1sinα2]

(12)

式(12)代入式(10)，得到

S=Rarccos[cosα1cosα2cosΔβ+sinα1sinα2]

(13)

將上述公式放入Excel表格，先由始末點的經度位置選擇使用Δβ的式(3)或式(4)，在表格中填入經緯度數據α1、α2和Δβ，即可得到航向角γ與飛行里程S，由于反三角函數的多值性，要根據航線幾何圖形對γ的多值結果作判讀。

表1給出從北京出發的若干北半球航線的計算結果，其中關于波士頓的數據由式(4)、式(9)和式(13)算出，結果表明飛往波士頓的航班起飛后將向北飛，而不是向東飛越太平洋。表中其他的目的城市都在東半球，相關的γ和S由式(3)、式(9)和式(13)算出。實際上，高空氣流、非慣性力和各國的飛行禁區等因素也會影響航線的選擇。

表1 北京到幾個城市的飛行航向和里程的計算值北京坐標：東經116°36′，北緯40°04′，地球半徑R=6371×103m

2 地球自轉對飛行的影響——科里奧利力

首先要指出，在無風情況下，推力相同的飛機沿緯線向東或者向西飛行時，其相對于地面的速度相同；而相對于固定的地球自轉軸線上的觀察者，由于地球自轉線速度的疊加，飛機向東飛的速度較高，飛機向西飛時的速度較低。

地球自轉對飛行的一個可能的影響來源于慣性力——科里奧利力。將繞著自轉軸旋轉的地球表面設為地面參照系，一質量為m、相對于該非慣性參照系以速度飛行的飛機受到科里奧利力[3,4]

FC=2m×ω

(14)

式中的ω為沿z軸的地面坐標系的自轉角速度。

現估算科里奧利力FC的量值，以波音787為例，其最大起飛質量為

m=247×103(kg)，最大起飛重量約2420(kN)

(15)

地球自轉周期T=8.616×104s，設飛機對地速度1000×103m/h～278m/s，當與ω垂直時，科里奧利力的最大值為

(16)

其方向與飛機前進方向的推力垂直。波音787的發動機最大推力約為250kN，正常巡航時的發動機推力是最大值的70%～80%，約為

F飛機巡航推力=200kN

(17)

對照式(16)和式(17)，可見科里奧利力的最大值約為飛機巡航推力的5%。

為便于討論，下面給出科里奧利力的幾個投影公式，首先，將飛機水平飛行速度分解為平行于緯線的分量∥和平行于經線的分量⊥，相應的科里奧利力為

FC∥=2m∥×ω

(18)

FC⊥=2m⊥×ω

(19)

當飛機航向與緯線夾角為χ，飛機所在點的緯度為α時，兩個力的大小分別為

式(18)給出的科里奧利力分量還可以分解出徑向分量，徑向為地心到飛機的連線方向，也就是鉛垂方向，式(18)給出的力經過投影，由式(20)可得徑向分量FC∥徑向，

FC∥徑向=2mvωcosχcosα

(22)

現以北半球的航行為例，討論兩個特殊情況下的科里奧利力效應。

(1) 當飛機沿赤道向東飛行時，根據式(14)，可判斷出飛機受到的科里奧利力是背離地心向上的，如圖2所示，根據公式(22)，FC∥徑向=2mvωcos0cos0=2mvω，根據式(15)、 式(16)給出的數值，此力大約可使飛機減重0.4%；同理，當飛機沿著赤道自東向西飛行時，科里奧利力也可使飛機略微增重。

圖2 飛機沿赤道向東飛行時受到的科里奧利力示意圖

類似地，艦載機在位于緯度α的航母上自西向東起飛也會獲得微小的助力。根據式(22)，此時飛機受到徑向的科里奧利力的大小為FC∥徑向=2mvωcosα，但由于艦載機起飛速度(約200km/h)約為客機高空巡航速度的1/5，且當不在赤道上，cosα<1，科里奧利力徑向分量會減小，相對減重效果(或升力相對增加)僅為10-3數量級。相比較而言，由于飛機飛行時受到的升力與飛機對空氣速度的平方成正比[5]，若航母以30節航速(約50km/h)迎風航行，艦載機也迎風起飛，可得到升力的相對增加在10-1數量級。

圖3 北半球飛機沿經線向北飛行所受科里奧利力示意圖

同理，當飛機在南半球沿著經線向北或者向南飛行時，根據式(14)可知，此時科里奧利力的方向總是指向前進方向的左側。具體實例的討論從略。

3 地球自轉對飛行的影響——高空急流

第二次世界大戰末期，美國飛行員在日本上空的對流層頂部附近向西飛行時，遇到一股高速氣流，以至于難以航行，后來經氣象學家的研究，認識到高空急流西風的存在。

高空急流位于對流層頂部附近[6]，速度約為160km/h，在南北半球各有一條極地急流(Polar Jet)和一條副熱帶急流(Subtropical Jet)，北半球的極地急流覆蓋了北美、歐洲和亞洲的中高緯地區，恰處于航班飛行的繁忙區域。

客機巡航飛行高度通常選擇在地球大氣對流層的頂部，即平流層區域，因為這里氣流較穩定，空氣較稀薄，空氣阻力較小，利于飛機經濟平穩飛行。

對流層頂部區域的西風急流的成因很復雜。一個主要的、全球性的原因是地球的自轉造成了地球表面受太陽照射加熱的區域持續地由東向西移動，接受到陽光的區域空氣溫度升高、密度降低，壓力下降；而將要被太陽照射到的黑暗區域的空氣溫度較低，密度較高，壓力較高，致使空氣從黑暗的高氣壓區向著有陽光的低氣壓區運動，形成地球尺度的由西向東的大氣環流。

還有另外一個重要的因素，赤道平均日照量比南北極多，整體上氣溫比較高，赤道區域上升的熱空氣在高空分別向南和向北流動，根據式(14)可判定，在科里奧利力作用下，上述的南半球氣流和北半球氣流都會持續獲得自西向東的速度增量，這也是西風急流的一個成因。

高空急流速度約160km/h，風向主流自西向東，有時偏南或偏北，航班客機相對于空氣的速度約為1000km/h。飛機從北京飛往巴黎時逆風，約飛行11h，回來時順風，約飛行10h，相對差別在10-1數量級。

類似地，與北京緯度相當的東京在東方約2000km，從北京飛往東京要快些，返程時要慢些，返程航行時間大約多半個小時；烏魯木齊在北京以西約2600km，從北京飛往烏魯木齊要慢些，從烏魯木齊飛往北京時要快些，約少用0.5h，而北京與南方的廈門兩地飛行距離約1700km，飛行方向大致與高空急流方向垂直，客機往返的時間基本相同。

總之，地球自轉導致的太陽對地球表面照射的不均勻所引起的大氣環流，是航班往返時間有所不同的主要原因，而地球自轉引發的科里奧利力效應對飛行的直接影響較弱，比上述的大氣環流的影響要小一個數量級到兩個數量級。