基于遺傳算法優化的單球移動機器人原點自平衡控制

2019-07-08 08:49:22劉飛飛朱楊林

制造業自動化 2019年6期

劉飛飛，朱楊林

（江西理工大學電氣工程與自動化學院，贛州 341000）

0 引言

與傳統移動機器人相比，動態自平衡機器人是一種多變量、高階次、強耦合，欠驅動的非線性系統，具備更快速、靈活的運行能力[1～7]。

如圖1所示，單球移動機器人由圓柱形載物主架體和驅動球組成，利用三個全向輪實時驅動球來保持機器人的平衡。對其研究最早可追溯到2005年，美國Lauwers等人設計的“Ballbot”機器人[2]，但由于結構的限制，無法實現自轉。后來，日本Kumagai等人進行不斷改進先后設計了球上平衡機器人“BallIP1”[3]，“BallIP2”[4]和“BallIP-W”[5]，采用PID算法實現控制，雖實現了快速調整，但抗干擾能力弱。研究較為成功的是使用了LQR算法的“Rezero”機器人[6]和“Ball-Riding”機器人[1]不僅能實現動態平衡，而且具有較好的靈活性。但針對機器人的原點自平衡控制問題，沒有考慮姿態平衡和原點控制的權重分配，影響了整個系統的調節時間。

本文為進一步提高機器人的原點自平衡能力，提出一種基于遺傳算法優化的自平衡控制方法，采用遺傳算法來優化LQR控制器中的權重矩陣，平衡控制輸入與各被控狀態的權重關系，實現最優控制。首先，將機器人簡化為二維的單球倒立擺模型，建立Eular-Lagrange動力學模型；其次，對全向輪和驅動球進行力學分析，找出全向輪與驅動球的移動規律；接著，基于遺傳算法的LQR控制方法設計自平衡控制器，對被控狀態進行歸一化，使單球移動機器人各狀態以統一的量綱表示，以歸一化后的二次型性能指標為尋優標準，采用遺傳算法對權值矩陣Q進行優化。最后，通過仿真對比驗證所設計控制器的有效性。

圖1 單球移動機器人實物圖

1 模型建立

1.1 動力學建模

將單球移動機器人簡化為二維的倒立擺如圖2所示，以驅動球心O為原點建立空間直角坐標系O-XYZ，在XOZ和YOZ平面分別建立兩個解耦的動力學模型。在建模中作如下假設：1）機器人主架體和驅動球都視為剛體；2）各部分的摩擦力（力矩）與相對速度（角速度）成正比；3）球體與全向輪、地面之間做純滾運動；4）XOZ和YOZ平面的兩個模型運動分析是可分離的，且運動方程相同，只有方向上的差別，故建模與控制器設計中只作XOZ的分析。

圖2 單球移動機器人簡圖

圖3 全向輪與驅動球的位置關系

表1 單球移動機器人物體參數表

模型中以θx、φx作為廣義坐標，分別為在XOZ平面上主架體的傾角位移和驅動球的角位移，τθ和τφ為對應的廣義力矩。機器人的具體參數如表1所示。參照文獻[8]中太陽與地球相對位置得θ+ψ=90°，并建立Eular-Lagrange方程[7]：

其中，Mi（qi）為慣性矩陣，Ci（qi，qi）為離心力和科氏矢量，Gi（qi）為重力矢量，Di（qi）為耗散能；由式(1)可得：

由向量混合積的輪換對稱性得：

由式(7)和式(8)得驅動球X方向的速度與三個全向輪角速度的關系，求導可得：

將式(2)將線性化得機器人X方向動力學方程：

1.2 移動規律分析與運動轉化

單球移動機器人控制系統相似于倒立擺，但又區別于倒立擺，其平衡控制主要由三個全向輪實時靈活地進行啟停、方向和轉速控制。圖3中A、B、C分別為相切于球面的全向輪，在不考慮全向輪速度大小情況下，以他們方向作為控制對象可分為八種情況分析。本節以全向輪A、B、C分別按順時針、逆時針和逆時針情況進行分析，其他以此類推。假設機器人對球體受力均勻，并規定計算過程中負號“-”代表全向輪順時針，正號“+”為全向輪逆時針。為全向輪對球體的靜壓力，大小相等，方向都指向圓心。別為對應的力矩。分別代表坐標X、Y、Z正方向上的單位矢量，驅動球轉動的方向以圖3(b)作為分析，靜壓力的合力及對球心的合力矩分別為：

由此可知，在該情況下球體向0°方向轉，即繞著X軸正轉。用相同的辦法，改變全向輪速度或方向，可分別獲取驅動球向不同方向的運動。表2為全向輪不同狀態下驅動球的轉動狀態。橫軸代表三個全向輪的方向，縱軸代表驅動球在全向輪不同速度和方向下轉向，單位為度。

忽略驅動球繞Z軸自轉現象，根據文獻[7]，全向輪線速度與驅動球相對地面速度的運動轉化公式為：

2 自平衡控制器的設計與仿真

為使單球移動機器人能更好的達到原地自平衡狀態，設計了如圖4所示的自平衡控制系統。初始指令分別為單球移動機器人在XOZ平面和YOZ平面的傾角、位移及相應速度。在兩個平面上分別設計了兩個獨立的基于遺傳算法的最優控制器1和控制器2，輸入為初始指令與反饋信息的差值，輸出為X、Y方向機器人的加速度ux、uy，通過積分、運動轉化，將驅動球速度轉化為三個全向輪的速度，最后輸出電機執行指令使機器人迅速達到原地自平衡狀態。

表2 驅動球在XOY平面的轉向

圖4 自平衡控制系統框圖

2.1 線性二次最優控制器

線性二次型最優控制是一種特殊的最優控制方法，以二次型函數的積分為性能指標泛函，不僅同時兼顧系統性能和能量消耗，而且具有較好的魯棒性[9,10]。通過式(10)分析計算機器人線性化狀態空間模型為：

經Matlab軟件編程驗證該系統可控但不穩定。設計二次型指標函數：

當系統因外界干擾而偏離原點自平衡狀態時，通過施加的ux使系統回到零點附近，同時使二次型指標函數達到最小，其規律滿足：

K為線性最優反饋增益矩陣，可通過Matlab軟件中的[K]=lqr（A，B，C，D）函數獲得。其中，權值矩陣Q、R用來平衡狀態向量和輸入向量的權重，其值直接決定了控制器的性能[11,12]。一般情況下，權重矩陣Q和R由工程人員根據經驗主觀臆斷決定，而針對強耦合、多變量的單球移動機器人系統，通過試湊法尋求系統的最優控制器，使各輸出變量的超調量、調整時間達到最優化目標，并非易事，故本文提出采用一種遺傳算法來優化控制器中的權值矩陣來優化控制器的性能[13]。

2.2 基于遺傳算法的線性二次最優控制器

遺傳算法[14]是模擬自然界生物進化機制的一種算法，以要尋優的參數組成染色體，通過選擇、交叉，變異等操作，并行式地搜索使得種群朝著最優的方向進化，最終獲得最優解。具體流程如圖5所示。

圖5 遺傳算法操作流程

本文利用遺傳算法優化控制器中的權值矩陣，使被控狀態的超調量，調整時間及輸入變量達到最優。為提高編碼效率，根據經驗取R=1，以矩陣Q中的對角元素q1、q2、q3和q4作為尋優參數組成染色體。在控制系統中，相對于原點控制，姿態的平衡控制更為重要，因此傾角（x1）所對應的Q中的元素值＞位移（x3）所對應的Q中元素值。在平衡點附近時，機器人及驅動球的角速度均很小，對目標函數的影響也很小，因此q2和q4可以取較小值，據此對參數進行二進制編碼，即q1∈[0 210]、q2∈[027]、q3∈[029]、q4∈[027]。目標函數的計算和適應值的選取是遺傳算法的核心，以被控系統歸一化的二次型性能指標作為遺傳算法目標函數，將各輸出變量歸一化，公式如下：

性能指標歸一化之后，整體參數不會一味朝著取值小的方向搜索，而是側重于各變量重要性分配，從總體的角度出發考慮系統的穩定性，避免了算法的偏向搜索。以a=0.005s為一個時間單位，n為時間積分次數，對目標函數進行積分計算：

考慮到目標函數值積分后所獲得值過大而影響最終結果，調整適應度函數為：

2.3 仿真結果與分析

本文設計的控制器用于機器人原點自平衡控制，其對控制時間具有較高要求，其次是機器人的抗干擾能力。因此，本文以調節時間和系統的抗干擾能力作為主要評估指標。分別對比采用人工整定法及遺傳算法優化情況下，控制器對機器人傾角、位移的控制能力。

設狀態變量初始值x0=[0.05 0.01 0 0]T；遺傳算法中參數：種群50，染色體長度34，交叉概率0.7，變異概率0.005，經過100次迭代后，權重矩陣：

相應的反饋增益陣：

取一組人工整定的權值矩陣：

相應的反饋增益陣：

由圖6和圖7可知：當機器人偏離平衡點以0.01m/s角速度向X正方向傾斜0.05rad時，控制器立即給出加速度命令，控制全向輪轉動，隨著機器人身體姿態逐漸平衡，加速度變小，經過3s，機器人的，，x及都基本為零。表3和表4分別為基于遺傳算法優化和人工整定的各狀態調節時間ts和超調量mp，從表中數據看，無論從哪方面，經過遺傳算法優化的控制器都較優。

在第6s和14s，對優化前后的控制器添加1m/s2的脈沖干擾，從圖8個狀態響應過程可知，優化后的控制器對脈沖干擾的響應更快，抗干擾性更強。

綜上所述，遺傳算法優化后的控制器可以使機器人更快地達到穩定，且魯棒性好，更適用于單球移動機器人的實時控制。