基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的天氣和氣候要素時(shí)間序列關(guān)系分析

朱一鑫

摘 要：本文根據(jù)四川色達(dá)縣1961-2012年的，日、月以及年的平均氣溫為資料，通過對(duì)自相關(guān)性函數(shù)及歸一化概率的密度函數(shù)進(jìn)行了系統(tǒng)分析，闡述了其自相關(guān)性和概率分布的特點(diǎn)，在這個(gè)基礎(chǔ)上，運(yùn)用結(jié)構(gòu)函數(shù)法組建了月、年的平均氣溫距平和日平均氣溫距平之間的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)相關(guān)聯(lián)系。本文主要分析了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的天氣和氣候要素時(shí)間序列之間的關(guān)系，以期為日后對(duì)天氣和氣候研究提供有效的解決措施。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù);天氣;時(shí)間序列;氣候要素;氣溫距平

天氣和氣候之間的時(shí)間范圍是不同的，對(duì)于某一種要素的天氣時(shí)間序列和氣候時(shí)間序列來說，因?yàn)閮煞N時(shí)間序列的多尺度特征，這兩種序列中一定有起伏程度不同的各種信號(hào)，而顯示出渾濁性，這和王世元， 史春芬， 錢國(guó)兵，等的發(fā)現(xiàn)相同。近年來，惡劣的天氣氣候情況引起人們高度重視。

一、數(shù)據(jù)與方法分析

本文根據(jù)四川色達(dá)縣1960-2012年的，日、月以及年的平均氣溫為資料，也就是天氣和氣候兩種時(shí)間序列作為研究對(duì)象，利用自相關(guān)函數(shù)與歸一化概率的密度函數(shù)進(jìn)行分析，自相關(guān)性和概率分布的長(zhǎng)拖尾特性，在這個(gè)基礎(chǔ)上，利用量綱分析以及結(jié)構(gòu)函數(shù)的方法建立四川色達(dá)縣天氣和氣候要素中時(shí)間序列之間的聯(lián)系。

1.數(shù)據(jù)的預(yù)處理及平穩(wěn)性檢驗(yàn)。本文所用數(shù)據(jù)根據(jù)四川色達(dá)縣1960-2012年的日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)，數(shù)據(jù)資料來源于中國(guó)氣象局。首先對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到日、月、年的平均氣溫距平序列，運(yùn)用距平資料可以去除氣象實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)的趨勢(shì)干擾，其具有一定的平穩(wěn)性。而后采用時(shí)序圖的方法來檢驗(yàn)時(shí)間序列平穩(wěn)性;通過制作1960-2012年日、月、年的時(shí)序圖，可直接觀測(cè)看出日和月平均溫度距平序列的數(shù)據(jù)穩(wěn)定的繞其平均數(shù)值上下進(jìn)行波動(dòng)，其中年的距平資料波動(dòng)程度較大，再用WATAL中ADFTEST檢驗(yàn)函數(shù)證明它的平穩(wěn)性，得出其參數(shù)是1，證明了年距平資料平穩(wěn)性，因此色達(dá)縣1960-2012年的日、月、年平均氣溫距平時(shí)間序列都是平穩(wěn)的時(shí)間序列。

2.研究方法

（1）自相關(guān)性分析法。自相關(guān)性是指在時(shí)間序列中，一個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)值與另一個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)值他們之間的依賴性，他們的相關(guān)程度采用自相關(guān)系數(shù)的數(shù)值進(jìn)行表述。針對(duì)時(shí)間序列來講，他體現(xiàn)出時(shí)間序列的記憶特性。從計(jì)算得出的自相關(guān)系數(shù)數(shù)值能夠看出時(shí)間序列中隨意2個(gè)時(shí)刻之間的相關(guān)性是如何隨著時(shí)間隔而變化的。他表達(dá)的是時(shí)間序列臨近2個(gè)變量的相關(guān)性。假如設(shè)置時(shí)間序列為x（t），那么他的自相關(guān)函數(shù)可以表述為：

（2）歸一化概率密度函數(shù)。歸一化代表的是將數(shù)據(jù)統(tǒng)一成一樣的量綱或者是固定范圍內(nèi)的數(shù)值，例如統(tǒng)一到[0，2]之間，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理是一個(gè)非常重要的過程，它能夠消除樣本取值和量綱之間差異的影響。歸一化處理之后的數(shù)據(jù)擁有同一的尺度，只有在相同的尺度下進(jìn)行分析數(shù)據(jù)，才能夠準(zhǔn)確的分析出數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系。本文運(yùn)用最大值歸一化的方法，用原有數(shù)據(jù)除以各個(gè)數(shù)列中的最大值得到數(shù)列。然后運(yùn)用歸一化的數(shù)據(jù)進(jìn)行繪制歸一化概率密度的函數(shù)圖形。

（3）分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)確定。本文最初已經(jīng)講述了天氣時(shí)間序列與氣候時(shí)間序列的不同，因?yàn)橛捎谒麄冎g之間尺度的不同，通常運(yùn)用在頻率f空間中功率譜s（f）來表述天氣和氣候的時(shí)間序列，又因?yàn)闀r(shí)間序列之中的數(shù)據(jù)進(jìn)行連接會(huì)得出不可微的函數(shù)，它滿足分形的特點(diǎn)，因此時(shí)間序列的功率譜特點(diǎn)也可以運(yùn)用分形曲線功率譜的方式進(jìn)行表達(dá)。葛志新， 陳咸獎(jiǎng)， 陳松林等因此推算出功率譜指數(shù)γ和分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)q的關(guān)系是γ=2q。而后運(yùn)用二階結(jié)構(gòu)計(jì)算和量綱分析得出功率譜指數(shù)γ和赫斯特指數(shù)H的關(guān)系為γ=2H+1，進(jìn)而得出分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和與赫斯特指數(shù)之間的關(guān)系。

二、結(jié)果與分析

1.自相關(guān)性分析。通過四川色達(dá)縣的日平均氣溫距平序列的自相關(guān)函數(shù)R（t）始終接近于0，可以認(rèn)為這個(gè)序列不具有自相關(guān)性，也就是不具有記憶性，可以認(rèn)為是白噪聲的序列。而月和年的平均氣溫距平序列有一定的自相關(guān)性，其中月平均氣溫距平序列在延后150個(gè)月之后才不具有自相關(guān)性，但年平均氣溫距平序列在延遲30年的時(shí)間仍然具有自相關(guān)性。這說明隨著時(shí)間的改變，氣候信號(hào)雖然出現(xiàn)指數(shù)形式衰退的趨勢(shì)，但是他的一部分特性并沒有在經(jīng)歷天氣過程的信號(hào)平滑后消亡，而仍然保留在天氣信號(hào)之內(nèi)。這會(huì)把月。季度、年或者是更長(zhǎng)時(shí)間的天氣信號(hào)集中起來，使氣候信號(hào)呈現(xiàn)出記憶性。氣候信號(hào)呈現(xiàn)出記憶性，可能因?yàn)楹Ｑ筮@種記憶信號(hào)好的信號(hào)存在于氣候的信號(hào)之中。并且這種記憶性特征也延長(zhǎng)了他的預(yù)報(bào)時(shí)間。

2.歸一化概率分布的特點(diǎn)。四川色達(dá)縣的日平均氣溫距平歸一化概率函數(shù)表現(xiàn)出正態(tài)分布，他在平均值附近的概率要大于月和日的平均溫度距平序列，這就說明平均溫度圍繞著多年平均值的變化概率要大于月和年的，月平均溫度距平歸一化概率密度曲線與日平均氣溫對(duì)比，總體形態(tài)接近，但峰值較后者低，這說明兩端的尾部概率較后者大。而年平均氣溫距平序列的歸一化概率，密度曲線相比前面二者更加扁平，說明其兩端尾部的概率較前兩者大。從這里可以看出，月、年平均氣溫距平序列的概率函數(shù)表現(xiàn)出不同程度的長(zhǎng)拖尾特征，意味著發(fā)生氣候惡劣時(shí)間的可能性要不天氣惡劣時(shí)間大。

3.分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階數(shù)q的計(jì)算。對(duì)于二階結(jié)構(gòu)算子的數(shù)值和延長(zhǎng)時(shí)間參數(shù)求對(duì)數(shù)后進(jìn)行一次性擬合，求得斜率從而計(jì)算出參數(shù)H，得到色達(dá)縣日、月及年平均氣溫距平時(shí)間序列的赫斯特指數(shù)分別是H=0.012，0.025，0.34.日平均氣溫距平時(shí)間序列的赫斯特指數(shù)靠近于0，說明這段時(shí)間序列可以看成是白噪聲。月和年平均氣溫距平時(shí)間序列的赫斯特指數(shù)都大于日平均氣溫距平時(shí)間序列，但是都比布朗運(yùn)動(dòng)的相應(yīng)值小，后者等于0.4。赫斯特指數(shù)是時(shí)間序列自相關(guān)強(qiáng)度的尺度，如果他的數(shù)值為0，那么序列設(shè)定時(shí)刻的狀態(tài)與過去任何時(shí)刻的狀態(tài)都沒有關(guān)系，隨著數(shù)值的增加，設(shè)定時(shí)刻的狀態(tài)與過去時(shí)刻的狀態(tài)相關(guān)程度加大。因此可以推算出，月平均氣溫距平序列在某一個(gè)月的值與過去某些月的值之間存在相關(guān)性。進(jìn)而說明氣候時(shí)間序列具有一定的記憶性，這就說明，氣候雖然是天氣的平均值，但是天氣不一定是氣候的一階導(dǎo)數(shù)，而是q階導(dǎo)數(shù)。

三、結(jié)語

通過對(duì)比四川色達(dá)縣1960-2012年，日、月、年平均溫度距平的時(shí)間序列特性和相關(guān)研究，總結(jié)得出如下結(jié)論：

1.天氣的時(shí)間序列沒有記憶性，但是氣候是時(shí)間序列具有一定程度的記憶性。其中色達(dá)縣年平均氣溫具體序列對(duì)比月平均氣溫距平序列擁有更長(zhǎng)的記憶性。

2.氣候的時(shí)間序列和天氣的時(shí)間序列進(jìn)行歸一化概率密度分布對(duì)比，發(fā)現(xiàn)有明顯的長(zhǎng)拖尾特性，這意味著出現(xiàn)氣候惡劣時(shí)間的可能性比天氣惡劣可能性大。

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