NMF在古書畫混合顏料光譜分析中的應用

尹琴麗，王 笑，耿 丹，李丹彤

（建設綜合勘察研究設計院有限公司，北京 100007）

1 研究背景

隨著時間的流逝，古書畫由于環境氣候改變、人為損壞等因素的影響會出現發霉、污損、破損、褪色等情況。為了更好地留存和展示古書畫作品的價值，往往需要對其進行顏色修復和復制，濃墨重彩的中國畫在繪制過程中往往是幾種礦物顏料混合調配使用，因而混合顏料種類分析一直是文物保護和修復中的重要環節。

目前有很多技術手段可用于古書畫顏料類別的鑒定，如激光拉曼光譜[1-2]、X射線熒光[3]，但因受儀器試樣尺寸大小、樣品表面平整度等因素的限制，加上一定量的取樣分析，使得古書畫顏料分析面臨嚴峻的挑戰。光譜分析技術由于具有快速、無損等特點，被廣泛應用在古書畫顏料分析中。

王麗琴等[4]利用光導纖維反射光譜法對彩繪文物中的表面顏料進行了研究，總結了常見的純凈顏料的反射光譜特性，并將其一階導數峰作為鑒定顏料種類的依據。補雅晶等[5]通過光譜輻射度計采集敦煌壁畫的光譜，然后與敦煌典型色彩光譜樣本集中的顏料進行相似度判別，識別壁畫顏料信息。武望婷等[6]通過將采集的古畫顏料波譜曲線與標準波譜庫進行匹配，結合拉曼、熒光等測試結果，分析得出紅色、黑色、黃色和藍色的主要成分分別是朱砂、炭黑、雄黃以及群青。武鋒強等[7]利用拉曼與高光譜特征擬合方法識別古畫顏料成分，結果表明受混合像元的影響，顏料的光譜曲線與標準曲線相差甚大，直接與標準波譜庫（USGS）相匹配，識別精度較低。

事實上，混合顏料的鑒定比單一顏料的鑒定更為復雜，考慮到實際繪畫過程中多種顏料混合使用的情況[8]，若將采集的顏料光譜視為純凈顏料直接與光譜庫中的光譜進行匹配，而沒有考慮混合顏料對光譜的影響，則難以實現準確的顏料識別效果。

本文將混合光譜看作是多源混合信號，把混合光譜中端元提取的問題轉換成統計信號的分離問題，從而提出了一種基于NMF的混合顏料光譜分析算法。該算法在端元光譜未知的情況下，首先使用NMF對混合顏料光譜直接進行分離，得到構成混合顏料光譜的端元光譜，然后將分離得到的端元光譜與顏料光譜庫進行對比分析，最終確定混合顏料的組成成分。該算法在模擬仿真數據和實測混合顏料樣本數據中進行了驗證，實驗結果表明：該算法能夠對混合顏料光譜的組成成分進行準確的分析。

2 基于NMF的混合顏料光譜分析算法

2.1 混合顏料光譜模型

礦物之間的混合可分為線性混合和非線性混合，區分這兩種作用類型的標準就在于入射光子與礦物間是否發生多次折射或反射等情況[9]。若礦物之間混合非常緊密，可認為是非線性混合，其他則可以視為是線性混合。王潤生等[10]通過研究不同礦物組合對應的混合光譜特征結果表明，混合礦物的光譜反射率近似為混合單礦物光譜反射率的線性混合。古書畫中使用的礦物顏料本質上是礦物，遵循礦物混合的規律。因此在對混合顏料光譜數據進行分析時，可以將其視為線性混合模型來處理。線性混合模型可表示為：

式中：X∈R^（l×n）表示混合顏料光譜矩陣；A∈R^（l×m）表示端元光譜矩陣；S∈R^（m×n）為端元光譜的豐度矩陣。l,m,n分別表示光譜波段數，組成混合顏料光譜的端元個數，混合顏料光譜的采集數量。Q∈R^（l×n）為誤差矩陣。根據光譜數據的實際物理意義，端元光譜矩陣需要滿足非負性的約束條件（a_ij≥0,a_ij∈A），豐度矩陣則需要同時滿足非負性以及和為1 的約束條件（s_ij≥0,∑_(i=1)^m〖s_ij=1〗,s_ij∈S）。

2.2 非負矩陣分解算法

NMF是在矩陣中所有元素均為非負數的約束條件之下的矩陣分解方法，能夠將一個非負矩陣兩個低秩非負矩陣相乘的形式。NMF的數學模型為：已知V為一個非負矩陣，尋找兩個非負矩陣W和H，使其滿足

式中：V∈R^（l×n）；W∈R^（l×m）；H∈R^（m×n）；E∈R^（l×n）。矩陣V可以看作是一個由采集到的樣本列向量組成的觀測數據集合，矩陣W由構成樣本列向量的基向量組成，矩陣H表示每個基向量在樣本列向量所占的權重系數，E為誤差矩陣。

若不考慮誤差的情況下，NMF的數學模型可簡化為：

在已知矩陣V需要求解矩陣W和H時，可以將其視為一個優化問題，通過定義目標函數和選擇合適的優化方法來求解矩陣W和H。常用目標函數為最小化歐式距離：

對目標函數使用梯度下降法進行迭代求解，使目標函數最小化，就可求得矩陣W和H。

混合顏料光譜的線性混合模型與NMF的數學模型一致，從而可以將NMF應用于混合光譜數據分離。純凈顏料的光譜就是一組基向量，使用NMF求解出這組基向量，就可以得到了構成混合光譜的端元光譜。

3 實驗

為了驗證基于NMF的混合顏料光譜分析算法的有效性，算法會在模擬仿真數據和實測混合顏料樣本數據中進行驗證。實驗首先將利用NMF算法對混合光譜進行分離，得到分離出來的分量光譜，通過計算分量光譜與標準波譜庫中光譜的相似性來確定顏料的種類。光譜相似性評價的指標有相關系數、均方根誤差等，其中相關系數為：

均方根誤差為：

式中：A和B為進行相似性比較的光譜；n為波段數。相關系數越大，代表兩條光譜之間相似度越高；均方根誤差越小，表示兩條光譜之間的距離越接近，偏離越小，相似度越高。

3.1 模擬仿真數據

為研究不同濃度的差異對分離結果的影響，采用美國地質勘探局礦物波譜庫中的朱砂和石青為端元光譜進行模擬實驗（圖1）。按照端元豐度非負和端元豐度之和為1的約束條件，模擬生成5條豐度不同的混合光譜（圖2）。

模擬混合光譜經過算法分離后進行光譜歸一化的結果表明，不同豐度的光譜確實能夠引起分離出的端元光譜的變化，主要表現在隨著豐度的不斷變化，分離出來的光譜在波譜的吸收深度、吸收峰面積等參數上有不同之處，經過歸一化處理后差異較小，從整體的波形來看走向幾乎一致，具有良好的穩定性（圖3）。

判斷分離質量的優劣，穩定性是一個重要的指標，其次還需要衡量分離出來的分量與端元光譜之間的相似程度。以75%朱砂、25%石青和25%朱砂、75%石青的混合光譜為例，計算了分離出來的分量與端元光譜之間的相關系數（圖4）。

從圖4的結果來看，分離出來的分量與端元光譜的相似性較高，其中分量NMF2與石青相關系數高達0.999，朱砂與分量NMF1的相關系數也達到了0.971。從模擬數據的分離結果來看，在不考慮誤差的情況下，NMF算法的穩定性好，重復性高，分離出來的分量的精度也相對較高，能夠適用于混合光譜分離的需要。

3.2 實測混合顏料樣本數據

為了研究非負矩陣分解算法在實際礦物顏料混合光譜分離的效果，進一步驗證算法的有效性、實用性，制作了石青與石黃的混合顏料樣本，將其按照一定的比例相混合，得到5條豐度不同的混合光譜（表1）。

表1 混合顏料豐度值

將礦物顏料石青和石黃粉末，通過缽體研磨過篩之后，利用千分位0.001 g精密分析電子天平進行精準稱量。然后將所稱量的顏料加入等量的膠液繪制于4 cm×4 cm宣紙上，模擬實際繪畫環境。采集光譜數據所用的儀器是地物波譜儀（ASD），光譜范圍為350 ～ 2 500 nm，光譜分辨率可在350 ～ 1 000 nm波段之間為3 nm，在1 000～2 500 nm波段之間為8 nm（圖5、圖6）。

以制備的5種豐度不同混合顏料光譜的實測數據作為原始輸入光譜數據，圖7給出了石青與石黃的混合顏料光譜經過NMF算法分離出來的結果。為了更客觀地評價該算法的分離效果，分別計算了分離出來的分量1和分量2與實測端元光譜的相關系數和均方根誤差（表2）。

表2 NMF算法分離效果評價結果

從匹配結果來看（圖7），實測的混合顏料光譜的分離出來的分量光譜與端元光譜相似度較高，光譜形狀基本一致，相關系數均較高，而且從分離出來的分量的精度、重現性以及穩定性來看，NMF算法較好實現了混合光譜的分離，分離的結果能夠滿足顏料識別的要求。

4 結束語

混合顏料分離是混合顏料分析的基礎，本文通過采集混合顏料的光譜，利用非負矩陣分解算法對光譜進行分離，將分離得到的結果作為構成混合顏料光譜的端元光譜，突破了端元未知對混合顏料光譜分離的限制，進而通過分離出來的端元光譜與顏料光譜庫的光譜進行匹配，確定顏料的種類，為古書畫混合顏料的分析提供了一種更為高效、無損的分析方法。但由于NMF算法采用的目標函數非凸性的特點，具有多個極值點，計算得到的結果可能不是全局最優解，后續將研究如何選擇更合適的初值矩陣，以獲得更好的分離效果。