一種高動態(tài)低信噪比衛(wèi)星導航信號捕獲方法

王 騰

(北京自動化控制設備研究所，北京 100074)

0 引言

在室內(nèi)、隧道、密林等具有遮擋的應用環(huán)境中，衛(wèi)星導航信號的信號強度通常非常微弱[1]。為了在低信噪比的情況下捕獲到衛(wèi)星導航信號，接收機可以進行長時間的相干積分來提高信號處理增益及捕獲概率，采用輔助全球衛(wèi)星定位系統(tǒng)(Assisted Global Positioning System，AGPS)方案的接收機甚至能夠消除數(shù)據(jù)比特跳變的影響而將相干積分時間延長至數(shù)百毫秒[2]。然而，在高動態(tài)、低信噪比的環(huán)境下，信號的多普勒頻率變化率會導致本地樣本信號與輸入信號在長積分時間內(nèi)出現(xiàn)較大的頻率誤差，相干積分處理增益受到大幅衰減[3]。非相干積累對頻率偏差不敏感，但是累加過程中存在嚴重的平方損耗[4]，增加非相干積分時間所獲得的積分增益很有限。因此，傳統(tǒng)的時、頻域捕獲算法的捕獲靈敏度和動態(tài)性能通常是矛盾的。

與傳統(tǒng)傅里葉變換相比，分數(shù)階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform, FrFT)增加了一個調(diào)頻率參數(shù)，具有更高的自由度并且更適用于處理線性調(diào)頻信號[7]。而帶有多普勒頻率變化率的衛(wèi)星導航信號則是一種典型的線性調(diào)頻信號，利用FrFT來處理高動態(tài)衛(wèi)星導航信號有望解決捕獲靈敏度和動態(tài)性能之間的矛盾。例如，F(xiàn)an等利用了離散chirp傅立葉變換來估計接收信號的多普勒頻率以及頻率變化率，但是當頻率變化率較大時估計誤差很大[5]。Xia等則給出了一種FrFT的方法來處理高動態(tài)衛(wèi)星導航信號，但并沒有就微弱信號的捕獲性能進行分析[6]。此外，F(xiàn)rFT還存在與快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT)計算復雜度相近的離散計算方法，便于工程應用[8]。因此，有必要研究基于FrFT的高動態(tài)、低信噪比衛(wèi)星導航信號捕獲方法。

本文提出了一種基于FrFT和部分匹配濾波(Partial Matched Filter，PMF)的快速捕獲算法。算法首先利用PMF對接收信號進行分段積分，隨后借助FFT對分段積分結(jié)果做離散快速FrFT。由于具有多普勒頻率變化率的衛(wèi)星導航信號能夠在分數(shù)域呈現(xiàn)能量聚焦，所提算法可以獲得比傳統(tǒng)PMF-FFT算法[8]更高的處理增益，因此捕獲概率以及捕獲靈敏度均能得到改善。最后，本文對所提算法的計算復雜度、捕獲時間以及捕獲概率進行了理論分析和仿真驗證，并與傳統(tǒng)的PMF-FFT方法進行了對比。

1 信號模型

以GPS L1頻點的中頻信號為例，考慮包含多普勒頻率以及多普勒頻率變化率的動態(tài)場景，那么接收機收到的中頻復信號可以表示為

s(t)=D(t-τ)C(t-τ)ej2π(fi+f0)t+jπfat2+n(t)

(1)

其中，D(t-τ)為數(shù)據(jù)編碼，C(t-τ)為擴頻碼，τ為傳播時延，fi為中頻頻率，f0為多普勒起始頻率，fa為多普勒頻率變化率，也稱調(diào)頻率。對式(1)做分段相干積分后的復信號輸出可以表示為

(2)

其中，R為碼自相關(guān)函數(shù)，Δτ為碼相位延遲誤差，ts為采樣時間間隔，Δf0為樣本信號和接收信號間的初始頻移誤差，Nc為分段相干積分長度，N(n)為零均值復高斯白噪聲，n表示第n段分段相干積分。

假設θ(t)2πΔf0t+πfat2，且多普勒頻率變化率fa在整個積分區(qū)間0到Nctsn內(nèi)保持不變，那么積分區(qū)間內(nèi)的平均角速度可以表示為

(3)

相應地，式(2)可以變?yōu)?/p>

(4)

由式(4)可以看到，頻率誤差會導致積分輸出帶有衰減因子sinc[(Δf0+Nctsn/2)(Ncts)]。當接收信號存在多普勒頻率變化率fa時，延長相干積分時間會導致頻率誤差Δf0不斷增大，并使得積分增益不斷降低。由文獻[2]可知，當頻偏超過0.44/Ncts時，功率衰減會超過3dB。

2 PMF-FrFT捕獲算法及性能分析

2.1 PMF-FrFT捕獲算法

由文獻[7]可知，信號x(t)的FrFT可以表述為

(5)

對調(diào)頻率為fa的線性調(diào)頻信號做角度為α=arccot(2πfa)的FrFT之后，原始的(t,ω)時頻平面將轉(zhuǎn)換至分數(shù)域平面(u,v)，信號功率將會在該平面聚焦。通過檢測聚焦峰值的位置，可以估計得到多普勒頻率及多普勒頻率變化率。

為了便于工程實現(xiàn)，文獻[8]給出了一種分解型的FrFT快速計算方法并獲得了廣泛的應用，F(xiàn)rFT的離散形式可以表示為

(6)

式(6)為信號的離散卷積形式，可以借助FFT來快速實現(xiàn)。但是由于F未必是整數(shù)，時域信號的2F倍內(nèi)插在衛(wèi)星定位接收機中難以實現(xiàn)。為此，本文采用2倍內(nèi)插來代替2F倍內(nèi)插。如圖1所示，PMF-FrFT算法的具體實現(xiàn)方式如下。

圖1 所提PMF-FrFT算法流程圖Fig.1 The diagram of the proposed PMF-FrFT algorithm

步驟1：采用PMF法對中頻接收信號進行總長度為NNcts的相干積分，每段相干積分長度為Ncts，相干積分輸出結(jié)果如式(4)所示；

步驟2：利用FFT對式(4)的結(jié)果S(n)做2倍sinc插值，具體操作如式(7)所示

(7)

其中，S(n/2)表示2倍sinc插值，S0(n/2)表示2倍補零內(nèi)插，F(xiàn)FT(·)、IFFT(·)分別表示快速傅里葉變換以及逆快速傅里葉變換。

步驟3：利用FFT實現(xiàn)式(6)中的卷積運算

(8)

步驟4：修正系數(shù)，完成離散快速FrFT運算

(9)

步驟5：以Δfa為調(diào)頻率搜索步長在區(qū)間[fl,fu]內(nèi)重復步驟2～4，比較公式的輸出峰值，根據(jù)輸出最大峰值的位置以及相應的變換階次得到多普勒頻率變化率和多普勒頻率偏差的估計值[9]，完成信號的捕獲。其中fu為階次搜索范圍的上界，fl則為下界

(10)

2.2 性能分析

2.2.1 計算復雜度

PMF-FrFT算法與傳統(tǒng)PMF-FFT算法運算量的不同主要體現(xiàn)在FrFT運算上。由于2N點的FFT所需復乘次數(shù)為2Nlog2(2N)[11]，而步驟2、3均通過3次2N點FFT運算來實現(xiàn)，那么步驟2～4共需復乘次數(shù)ο=6×(2N)log(2N)+8N。此外，PMF-FrFT算法需要在調(diào)頻率區(qū)間[fl,fu]內(nèi)進行搜索，除去運算量相同的PMF部分，PMF-FrFT算法的計算量是傳統(tǒng)PMF-FFT的6|fu-fl|/Δfa以上，呈線性增長關(guān)系。在實際應用中，可以借助載體運動的先驗信息或者諸如文獻[10]和文獻[15]中的搜索方法來縮小調(diào)頻率搜索區(qū)間，減少所提算法的計算量。

2.2.2 虛警概率及檢測概率

虛警概率是由進入檢測模塊中噪聲的分布與其預置門限的關(guān)系決定的。當信號不存在時，送入恒虛警檢測器的FrFT輸出結(jié)果服從自由度為4的中心χ2分布[12]，假設判決門限為η，那么將其中一點輸出結(jié)果送入門限檢測器中的虛警概率為

由于FrFT的輸出結(jié)果具有相同的概率分布，當采用最大值判決的MAX準則時，虛警情形等于所有判決量均不虛警情形的補集[13]，即總虛警概率為

(11)

而當信號存在時，觀測量服從自由度為4的非中心χ2分布[12]，將其中一點輸出結(jié)果送入門限檢測器中的捕獲概率可表示為

(12)

其中，Q2(·,·)為廣義Marcum Q函數(shù)，I1(·)為一階修正貝塞爾函數(shù)。由于虛警概率較低，假設檢測過程中不發(fā)生虛警，而任意點都有可能捕獲到信號，因此最終的檢測概率可以表示為

(13)

由式(11)可以看到，由于要在多個分數(shù)域進行搜索檢測，因此在檢測門限相同的情況下，搜索次數(shù)越多虛警概率則越大，在實際應用過程中應盡量縮小階次搜索范圍，同時適當提高檢測門限;而從式(12)和式(13)可以看出，所提算法的檢測概率僅和檢測門限以及檢測信噪比有關(guān)，這和傳統(tǒng)PMF-FFT算法是一致的，即使檢測門限因虛警概率而有所提高，所提算法仍然可以通過延長相干積分時間來提高檢測信噪比，進而提高檢測概率。

2.2.3 平均捕獲時間

文獻[14]給出了傳統(tǒng)PMF-FFT的捕獲時間，類似地，PMF-FrFT的平均捕獲時間可以表示為

(14)

其中，PFA表示虛警概率，Kp為校驗懲罰因子，q為碼相位搜索單元，Pd,a為信號加速度為α時的檢測概率，Tfrft為一次FrFT所需的時間。在工程應用中，采用現(xiàn)場可編程門陣列(Field Programmable Gate Array, FPGA)進行FFT運算所需的時間可低至微秒級[17]，那么本文所提的FrFT快速實現(xiàn)算法所需的運算時間也能控制在微秒級。只要在合理的區(qū)間內(nèi)進行調(diào)頻率搜索，平均捕獲時間并不會因此而大幅增加。相反，在低信噪比的環(huán)境下，由于通過長時間相干積分提高了捕獲概率，平均捕獲時間與無法采用長時間相干積分的PMF-FFT算法相比反而有可能會大幅度降低。

3 仿真分析

本節(jié)利用蒙特卡羅仿真對所提PMF-FrFT算法的捕獲概率和捕獲時間進行了驗證分析。為了突出所提算法的優(yōu)勢，仿真以AGPS高精度接收機接收GPS L1頻點信號為例，因此忽略了比特翻轉(zhuǎn)對于相干積分時間的限制。初始頻率偏差為0Hz，分段匹配濾波的長度為1ms，調(diào)頻率搜索步長根據(jù)相干積分對于頻率偏差的容忍度設為5Hz/s，動態(tài)性能考慮10g和25g兩種情況。此外，仿真也給出了傳統(tǒng)PMF-FFT算法的捕獲性能用于對比分析。仿真參數(shù)設置如表1所示。

首先對所提算法的捕獲性能進行仿真分析。圖2給出了PMF-FrFT算法在不同虛警概率下的捕獲概率仿真曲線和式(13)理論曲線的對比。從圖2中可以看出，仿真曲線與理論曲線十分接近，因此可以證明式(13)的正確性。仿真曲線比理論曲線稍差是因為FrFT對多普勒頻率變化率的估計精度是有限的，無法保證信號能量完全聚焦。

圖2 不同虛警概率下PMF-FrFT的檢測性能，加速度25gFig.2 Detection probability curves of the PMF-FrFT for different false alarm probabilities, with the acceleration of 25g

圖3分別給出了不同動態(tài)、不同相干積分時間條件下PMF-FrFT與PMF-FFT算法的捕獲概率曲線。由文獻[2]可知，當加速度為10g時，PMF-FFT算法的最優(yōu)相干積分時間為26ms，25g時則縮短至16ms。如圖3所示，由于頻率變化率的存在，頻率偏差隨著相干積分時間的增加而不斷增大，在超過最優(yōu)相干積分時間之后繼續(xù)延長相干積分時間反而會降低捕獲概率。當加速度為10g、相干積分延長至60ms時，PMF-FFT將難以獲得積分增益，捕獲概率趨近于0；同樣地，當加速度為25g、相干積分延長至40ms時，捕獲概率將趨近于0。相反，由于不受頻率變化率的影響，所提PMF-FrFT算法能夠在相同載噪比和積分時間的條件下獲得比PMF-FFT更高的捕獲概率，并且可以通過不斷延長相干積分時間來改善捕獲靈敏度。如圖3所示，當加速度為10g時，PMF-FrFT通過將積分時間延長至512ms來將捕獲靈敏度從PMF-FFT的28dB·Hz降低至16dB·Hz；而當加速度為25g時，PMF-FrFT仍可采用512ms的相干積分將捕獲靈敏度從PMF-FFT的30dB·Hz降低至16dB·Hz。

(a)加速度10g

(b)加速度25g圖3 PMF-FrFT與PMF-FFT的捕獲概率對比， 虛警概率為0.01Fig.3 Detection probability comparions between PMF-FrFT and PMF-FFT, with the false alarm probability of 0.01

最后，對PMF-FrFT的捕獲時間進行仿真分析。假設虛警概率為0.01，載體加速度為25g，碼搜索單元為2046個，頻率搜索區(qū)間為1個，調(diào)頻率搜索區(qū)間為10g～25g，圖4給出了所提算法與傳統(tǒng)PMF-FFT算法的捕獲時間仿真曲線，其中FrFT的運算時間采用文獻[17]給出的880μs統(tǒng)計。如圖4所示，盡管PMF-FrFT的相干積分時間為512ms，并且還需要進行調(diào)頻率搜索，而PMF-FFT的相干積分時間不超過26ms，且僅需一次FFT。當載噪比低于21dB·Hz時，PMF-FrFT的捕獲時間仍然低于PMF-FFT；當載噪比低于15dB·Hz時更是比PMF-FFT少了10倍以上。不過，隨著載噪比的提升，PMF-FFT的平均捕獲時間不斷下降，但所提PMF-FrFT算法由于相干積分時間較長的原因，捕獲時間并未隨著載噪比的提升而下降。

圖4 PMF-FrFT與PMF-FFT的平均捕獲 時間對比，虛警概率為0.01Fig.4 Mean acquisition time comparions between PMF-FrFT and PMF-FFT, false alarm probability is 0.01

4 結(jié)論

本文提出了一種基于PMF-FrFT的捕獲算法，用于提升高動態(tài)、低信噪比環(huán)境下衛(wèi)星導航信號的捕獲性能。本文所做工作及所得結(jié)論如下：

1)建立了高動態(tài)衛(wèi)星導航信號的數(shù)學模型，在此基礎上提出了基于PMF-FrFT的捕獲算法，算法可借助FFT來快速實現(xiàn)，具有工程應用價值。

2)對PMF-FrFT算法的捕獲概率、捕獲時間以及計算復雜度等性能指標進行了理論分析。分析表明，在高動態(tài)、低信噪比環(huán)境下PMF-FrFT算法能夠通過延長相干積分時間的方法來提高捕獲概率，降低平均捕獲時間，算法計算量與傳統(tǒng)PMF-FFT算法相比僅隨調(diào)頻率搜索空間的增加而線性增加。

3)利用蒙特卡羅仿真對所提算法的捕獲性能進行了仿真驗證，并和傳統(tǒng)PMF-FFT算法進行了對比分析。仿真表明，所提PMF-FrFT算法在加速度為25g時，可以利用512ms的長時間相干積分將接收機捕獲靈敏度由傳統(tǒng)PMF-FFT的30dB·Hz降低至16dB·Hz，且捕獲時間減少8倍以上。