人工噪聲策略的臨界信噪比和功率分配研究

鄧浩，王慧明

（1. 河南大學物理與電子學院，河南 開封 450004；2. 西安交通大學電子與信息工程學院，陜西 西安 710049）

1 引言

隨著移動無線通信技術及應用領域的快速演進和拓展，由無線廣播的固有特性引發的竊聽問題日趨凸顯，使安全問題成為了制約其發展的重要瓶頸之一。眾所周知，無線信號在傳輸過程中，一方面要經歷無線信道畸變帶來的衰落，另一方面在接收機端還會受到噪聲的影響，這意味著合法無線鏈路和竊聽無線鏈路之間存在著很大的差異性。具體而言，這種差異性最典型的體現就是合法用戶端和竊聽用戶端獲得的接收信噪比不同。那么，如何利用信道之間的差異性來保障無線通信系統的安全，現有的物理層安全研究在一定程度上給出了答案。

物理層安全的出發點是利用無線信道的隨機性和差異性保障無線信號的安全傳輸，隨之而來的一系列信號處理技術均是利用無線通信的空域資源最大化主信道和竊聽信道之間的差異性[1]，其中，人工噪聲策略因不需要竊聽用戶信道信息的特性，在多輸入多輸出（MIMO, multiple-input multiple-output）安全傳輸中得到了廣泛關注。人工噪聲策略首次由Goel等[2]在2008年提出，其基本思路為基站首先采用波束成形技術對發射的私密信號進行聚焦，來降低私密信號能量在非期望方向的泄露，同時在主信道的正交方向發送人工噪聲以干擾竊聽用戶。需要指出的是，在主信道以外的其他方向以相同功率發送各向同性人工噪聲顯然不是最優的策略。Lin等[3]指出通過聯合優化設計私密信號與人工噪聲的協方差矩陣，在主信道方向上也發射人工噪聲反而可以額外提升保密速率。吉江等[4]證明了人工噪聲服從高斯分布時系統達到了最大保密容量。在安全中斷約束條件下，Wang等[5]證明了零空間發射人工噪聲是最優策略。

不同于基于人工噪聲的安全傳輸策略，Li等[6]開辟了利用天線陣列冗余的另一條思路，即通過隨機選擇各發射天線的權系數，使合法接收端等效信道在一個數據幀內保持不變，而竊聽用戶的等效信道則隨著碼元變換而快速變化，因此稱這種方法為人造快衰落策略；Wang等[7]首次從理論上給出了人造快衰落策略的可達保密速率，并剖析了人造快衰落策略和基于人工噪聲的安全傳輸策略各自的優劣。

由于發射人工噪聲需要消耗系統的部分功率，在系統功率受限的情況下，人工噪聲和私密信號之間的最優功率分配是一個重要問題，并得到了廣泛研究[3,5,7-16]。大部分研究者主要從各態歷經保密速率（ESR, ergodic secrecy rate）[3,8,10-13]和安全中斷概率[5,9,14]這2個角度分析人工噪聲策略在不同場景下的最優功率分配問題。在信道信息不理想的情況下，如信道估計有誤差或主信道存在相關性等情況下，人工噪聲策略的安全性也得到了部分研究者的關注[14-16]。需要指出的是，上述最優功率分配的結果都基于已知竊聽用戶瞬時信道信息或統計信道信息的假設，但實際上很難獲取靜默竊聽用戶的信道信息，甚至無法確定竊聽用戶的存在。當發射端如基站無法知曉竊聽用戶信道信息時，上述最優功率分配結果將不再適用。顯然，這種情況下的功率分配依然是一個需要研究的問題，更重要的是，部分研究者[9-11]指出，當通信系統工作在低信噪比時，人工噪聲策略會失效。也就是說，在低信噪比區域，人工噪聲策略將不是最優的策略，因此，存在一個臨界信噪比，當接收信噪比低于臨界值時，人工噪聲策略不再有效，而這個臨界值尚未在研究文獻中得到全面討論和分析。當然這并不意味著，當系統工作在低信噪比區域時，就不存在提升安全性的物理層技術。此時，通過波束成形[11]/預編碼[17]、天線選擇[18]、定向調制[19]等信號處理技術或利用多用戶增益[20]改善合法用戶端的接收信噪比，同樣可以有效保障無線通信系統的安全性。此外，很多文獻中的信道模型都沒有考慮大尺度衰落。一般情況下，合法接收用戶和竊聽用戶的大尺度衰落有很大差異，所接收的信噪比也會有很大的差異，這顯然會嚴重影響人工噪聲策略的性能。針對相對距離對人工噪聲安全性能的影響，也較少有文獻給出系統的分析。

在移動通信系統中，基站一般都配置多天線，而由于體積及成本的限制，移動終端大多配置單天線，因此移動通信系統是一種典型的 MISO（multipe-input single-output）場景。本文選擇MISO竊聽信道作為研究對象，給出了人工噪聲策略的統一性能分析。首先，本文推導了人工噪聲工作的臨界信噪比，并展開了定性分析，討論了系統可達保密速率不為零的條件；然后，在人工噪聲策略的情況下，給出了已知竊聽用戶統計信道信息和未知信道信息這2種情況下最優功率分配的明確表達式；最后，采用蒙特卡洛仿真證實了本文的理論結果。

2 系統模型和問題描述

假設MISO竊聽鏈路包括一個配置Nt≥2根天線的基站、一個配置單天線的合法用戶和一個配置單天線竊聽用戶。基站至合法用戶及竊聽用戶的信道分別建模為和其中，rD和rE分別表示合法用戶與竊聽用戶和基站之間的距離；h和g分別表示基站至合法用戶和竊聽用戶之間的小尺度衰落信道向量且均服從復高斯分布；常數c表示路徑衰減因子，取值一般在2～4之間。不失一般性，假設系統中所有節點的噪聲是均值為0和方差為2δ的復高斯白噪聲。

在物理層安全的研究中，通常假設系統已知竊聽用戶的統計信道信息，甚至是瞬時信道信息，但對一個靜默的竊聽用戶而言，由于不會發射任何信號，因此很難估計其瞬時信道信息。由于本文主要研究相對距離對人工噪聲安全性能的影響關系，故先假設已知竊聽用戶的統計信道信息，同時也考慮未知竊聽用戶統計信道信息情況下的最優功率分配問題。當竊聽用戶的統計信道信息已知時，移動通信系統可以得到合法用戶和竊聽用戶相對距離的先驗知識，描述該相對距離的指標定義為顯然，當θ＞1時，意味著竊聽用戶到基站的距離比合法用戶到基站的距離更近，竊聽用戶可以獲得來自基站更高的接收信噪比；反之，當θ＜1時，合法用戶距離基站更近，能獲得來自基站更高的接收信噪比。

如前所述，人工噪聲策略的基本思想就是利用多天線帶來的空域自由度選擇性地干擾潛在竊聽用戶，同時通過波束成形構建一個最佳的合法用戶等效信道。由于發射私密信號權向量的改變不會影響竊聽用戶接收信噪比的大小，最佳的波束成形權向量必然是主信道的信道方向向量；由于不知曉竊聽用戶的瞬時信道信息，則人工噪聲權矩陣無法利用此信道信息進行優化設計，在不干擾合法用戶的前提下，該權矩陣應該由主信道的零空間生成。由此可知，人工噪聲策略的發射信號為[8,11-12]

其中，s表示待發射的私密信號且平均功率滿足表示信號波束成形向量；表示待發射的人工噪聲向量且服從復高斯分布表示人工噪聲權矩陣，由于人工噪聲不能干擾合法用戶，顯然其必須滿足H

hF=0；參數α和β分別表示分配給私密信號和每一個正交方向上人工噪聲的功率比例系數，且滿足，則人工噪聲總的功率分配比例為1-α。在上述信號設計策略下，式(1)中的發射信號x的功率滿足從式(1)可以看出，每一根發射天線上的信號既包括私密信號，也包括人工噪聲。經過信道傳輸后，合法用戶和竊聽用戶的接收信號分別表示為

其中，nD，nE分別表示合法用戶和竊聽用戶服從均值為 0和方差為δ2的高斯白噪聲。由式(2)和式(3)可知，合法用戶和竊聽用戶的接收信噪比為

由于竊聽用戶的瞬時信道信息未知，本文利用各態歷經保密速率作為人工噪聲策略安全性能的衡量指標。基于文獻[11]關于ESR的定義，人工噪聲策略的可達各態歷經保密速率為

其中，非線性運算符{?}+定義為表示隨機變量x的期望。若無特殊說明，本文采用的對數底為自然數e。

本文接下來的目標就是尋找最優的功率分配因子*α，以使系統獲得最大的ESR（ergodic secrecy rate）。由式(5)可知，最優功率分配*α的值依賴于統計信道信息，一旦發射天線數和相對距離確定，便可以得到*α的具體值。在每一次信道實現時，都以該固定比例在私密信號和人工噪聲之間分配功率。需要注意的是，最優的功率分配結果包含2種特殊情況，具體如下。

1)α*=1，由竊聽用戶的接收信噪比可知，在發射功率很小時，若ρ→0，則ρθβZ? 1成立，故滿足ρθβZ+ 1≈ 1，此時人工噪聲無法對竊聽用戶產生干擾，顯然最佳的策略是將所有的功率全部用于發射私密信號，也就是說此時不發射人工噪聲是最優的選擇。

2)α*=0，這種情況下分配給私密信號的最優功率為 0，說明此時系統無法獲得正的保密速率，即系統無法實現安全通信。因此，當滿足*0＜α＜1時，發射人工噪聲有益于安全通信。

3 人工噪聲策略的工作臨界信噪比及安全通信的存在條件

本節將會證實人工噪聲策略并不是在所有情況下都能提升系統的可達各態歷經保密速率，并給出了人工噪聲策略的臨界信噪比。此外，還將討論系統達到正保密速率的條件。

由式(7)可知，Rs是關于變量α的上凸函數，因此，系統保密速率Rs一定在區間[0,1]內有最大值。顯然，當滿足R′|α=1≥0時，Rs在區間[0,1]內隨著α的增大而增大，則最大的保密速率在α*=1時獲得。如前文所述，這種情況下人工噪聲策略會失效，由此可知滿足不等式R′|α=1≥0的信噪比的解則為人工噪聲策略工作的臨界信噪比。而當滿足R′|α=0≤0時，Rs在區間[0,1]內是變量α的單調遞減函數，則最大的保密速率在α*=0時獲得，在這種情況下，系統無法達到正的保密速率，由R′|α=0≤0可以得到系統安全通信的存在條件。3.1節和3.2節將具體研究上述2種情況。當同時滿足R′|α=0＞0和R′|α=1＜0時，最優功率分配因子滿足0＜α*＜1，此時發射人工噪聲可以提升系統的安全性，對應的最優功率分配結果將在第4節進行討論。

3.1 人工噪聲工作臨界信噪比

根據式(18)，人工噪聲策略工作臨界信噪比的求解可由定理1給出。

定理 1當滿足Nt≤θ時，臨界信噪比滿足ρ0=0，即人工噪聲策略始終提升了系統的保密速率；當滿足Nt＞θ時，臨界信噪比是方程Δ1(ρ)=0的唯一非零解，如式(9)所示。

證明首先將Δ1()ρ改寫為Δ1()ρ?的形式，Δ11(ρ)和Δ12(ρ)的表達式分別為

則方程Δ1(ρ)=0的解為曲線Δ11(ρ)和Δ12(ρ)的交點。求Δ11()ρ和Δ12()ρ關于變量ρ的一階偏導數可得

式(11)證實了Δ11(ρ)和Δ12(ρ)是關于變量ρ的遞減函數。又因式和式成立，說明：1)曲線Δ11(ρ)和Δ12(ρ)在ρ=0時相交；2) 如果曲線Δ11(ρ)和Δ12(ρ)在ρ＞0時存在第二個交點，必須滿足Δ11(ρ)隨著變量ρ變小的過程中首先衰減比Δ12(ρ)慢繼而比Δ12(ρ)快。若即Nt≤θ時，Δ11(ρ)的函數值一直小于Δ12(ρ)，則Δ11(ρ)和Δ12(ρ)僅在ρ=0處有唯一的交點，這證明了定理1的前半部分。而當Nt＞θ時，曲線Δ11(ρ)和Δ12(ρ)在ρ＞0時有且僅存在一個交點，則方程Δ1(ρ0)=0有唯一非零非負解。進一步對式(8)化簡可得其中，步驟(a)利用了分部積分，步驟(b)來自文獻[21]中式(21)的結果。證畢。

定理1僅證明了當ρ＞ρ0時，基站發射人工噪聲才能提升系統的保密速率。雖然定理1沒有給出臨界信噪比ρ0的具體表達式，但由定理1的證明過程可知，Δ11(ρ)和Δ12(ρ)均是關于變量ρ的減函數，則很容易通過二分法得到ρ的數值解。如

0即當竊聽用戶到基站的距離是合法用戶到基站距離的2倍時，假設路徑衰減因子為c=3.5，則基站天線數為8和16這2種情況下的臨界信噪比均約為ρ0≈12dB 。這驗證了在某些場景中，即便在一般信噪比時，人工噪聲策略就失效了。由定義可知，意味著發射功率滿足，也就是說，臨界信噪比決定了臨界發射功率，該臨界功率決定了基站是否發射人工噪聲。需要指出的是，Nt≤θ只有當滿足θ＞2時才成立，此時竊聽用戶至基站的距離相對合法用戶更近，其接收信噪比相對更高，故發射人工噪聲可有效干擾竊聽用戶，從而提升系統的安全速率。此外，定理1既適用于大規模天線的場景，也適用于一般天線數目的場景，因此定理1的結論具有普適性。

3.2 安全通信的存在條件

4 人工噪聲工作情況下的最優功率分配

定理2在MISO竊聽鏈路中，系統可達各態歷經保密速率為

其中，I1(?,?,?)的表達式為

I2(?,?,?)的表達式為

證明利用文獻[21]中式(21)的結果，很容易推導出式(15)中第一部分。接下來，重點給出式(15)第二部分的證明。令，其累積概率分布函數為

利用上述累積概率分布函數，可求得ln(1+T)的期望，如式(19)所示。

綜合上述結果，定理2證畢。

雖然利用上述定理可以得到最優功率分配*α的數值解，但是其無法為系統的特性提供更多有益的結論。為更具體地分析相對距離對最優功率的影響，將利用ESR的下界給出最優功率分配的具體結果。特別需要指出的是，利用該結論可以推導出未知竊聽用戶統計信道信息的功率分配結果。對式(5)利用Jensen不等式，可得

Rs,lo關于變量α的一階偏導為

當人工噪聲策略工作時，最優的功率分配α*近似為方程的解。利用文獻[22]中關于指數積分函數的不等式，式(21)可進一步得出如式(22)所示的結果。

式(22)化簡可得

式(23)給出了一個最優功率分配的下界。雖然是下界，但是從后續的仿真中看到，這個下界獲得的保密速率與通過二分法搜索得到的最大保密速率幾乎完全一樣。這說明是最優功率分配一個非常好的選擇，原因在于其給出了人工噪聲策略一個適應任意信噪比的功率分配的具體表達式。需要指出的是，大部分文獻給出的都是低信噪比和高信噪比區域這2種特殊情況下的功率分配結果。觀察式(23)可以得出以下3個結論。

1) 當θ變大時，即竊聽用戶距離基站更近時，變小，意味著基站應該為人工噪聲分配更多的功率。

2) 當Nt變大時，即基站天線數增多時，變大，意味著基站應該為信號分配更多的功率。

3) 當θ＜Nt-1時，隨著發射功率增大而減小；反之則隨發射功率增大而增大。

其中，結論1) 和結論 2)是非常直觀的，當竊聽用戶距離基站更近，則竊聽用戶獲得私密信號的接收信噪比更大，基站必然應該分配更多的功率發射人工噪聲以干擾竊聽用戶。當基站天線數變多時，其干擾竊聽用戶的自由度變大，對竊聽用戶的干擾程度也更嚴重，此時選擇分配更多的功率給私密信號也是非常合理的。結論3)的重要性在于，式(23)建立了相對距離與天線數之間的橋梁，也就是說基站可以利用多天線帶來的空間自由度抗衡近距離竊聽用戶的偵聽。綜合上述3個結論，式(23)比較系統地展示了相對距離對人工噪聲策略安全性能的影響。

在式(23)的推導過程中假設θ已知，也就是說已知竊聽用戶的統計信道信息。而在竊聽用戶的統計信道信息無法獲取時，也就是說未知θ，此時也就無法根據式(23)中計算最優的功率分配。這種情況下最優的選擇是考慮最壞的情況，即認為竊聽用戶的距離足夠近使θ→∞成立，從而得到了未知竊聽用戶統計信道信息下的功率分配結果為

文獻[10-11]的結論指出，在高信噪比的情況下，平均功率分配是一個漸進最優的策略。式(24)證實了這個結論。但是，需要指出的是，式(24)給出了比文獻[10-11]更具一般性的結論。從第5節的仿真結果中也可看到，利用式(24)中的功率分配方案系統會獲得更高的保密速率。

5 仿真結果

本節利用數值仿真結果以驗證前述理論結果，假設系統中合法用戶和竊聽用戶都經歷準靜態平衰落，仿真中所有的數值結果均來自10 000次獨立蒙特卡洛實驗。

圖1 臨界信噪比與相對距離的關系

為分析最優功率分配對安全性能的影響，圖 2給出了在不同功率分配策略下的保密速率曲線。其中。圖 2中考慮了 4種不同的功率分配策略，第一種是最優策略，即基于式(15)的二分搜索結果；第二種是式(23)給出的結果；第三種是式(24)給出的結果；第四種是文獻[8,10]中給出的高信噪比情況下的平均分配策略。圖2顯示第二種和第三種策略獲得的保密速率幾乎完全等于最優功率分配的結果，這更充分顯示了式(23)和式(24)結果的意義。同時可以看出，當基站未知竊聽用戶的統計信道信息時，式(24)中的功率分配可獲得相對平均功率分配策略更高的保密速率。當發射信噪比變大時，上述4種策略的保密速率趨近于相同。分析式(23)和式(24)可知，當ρ→∞時，和均會趨近于。這再次驗證了私密信號和人工噪聲之間平均分配功率在高信噪比的時候是一個漸進最優的策略。所不同的是，本文的結論更具有一般性，適用于任意的信噪比和不同的相對距離關系。

圖2 不同功率分配策略下ESR與信噪比的關系

6 結束語

本文研究了MISO信道中的安全傳輸問題，給出了人工噪聲策略安全性能分析的統一框架，并從理論到仿真討論了人工噪聲工作的臨界信噪比。研究發現，該臨界信噪比受相對距離、基站發射天線數、路徑衰減因子的影響，結果顯示在一些場景下，甚至在一般信噪比（如ρ≤12dB ）時，基站發射人工噪聲都無法提升系統的保密速率。此外，本文還給出了適應任意信噪比的最優功率分配的具體表達式，并據此推導了未知竊聽用戶統計信道信息時的功率分配結果。仿真實驗驗證了所提算法相對于平均分配策略系統可獲得更高的保密速率。