一種基于高頻頻響函數的無基準疲勞裂紋識別方法

閆少文 屈文忠 肖 黎

武漢大學土木建筑工程學院，武漢，430072

0 引言

工程結構和設備運行時的安全性是重大的科技、經濟和社會問題。裂紋的產生和擴展可能會影響結構的完整性，造成嚴重的人員和財產損失。結構中的裂紋危害大且隱蔽性強，因此如何高效地對疲勞裂紋進行檢測，一直是損傷識別研究中的熱點和難點問題。胡家順等[1-2]建立了呼吸裂紋梁結構的二維有限元模型，提出系統頻率的相對幅值可以作為損傷指標表征裂紋梁的損傷程度。張小五等[3]提出了應用于裂紋梁的基于能量密度的結構損傷識別方法。劉文光等[4]在假定裂紋梁剛度是幅值的非線性函數基礎上，建立了呼吸裂紋梁的多項式剛度模型，提出了一種基于固有頻率的呼吸裂紋梁損傷識別方法，并使用脈沖信號作為激勵驗證了該方法的有效性。NGUYEN[5]提出了基于模態分析的裂紋損傷識別方法。SCALERANDI等[6-10]開展了應用比例縮減法識別非線性損傷的實驗研究。然而上述方法均采用低頻或者脈沖信號作為激勵，沒有涉及到對裂紋等微小損傷更加敏感的高頻頻段激勵。本文采用高頻掃頻信號作為激勵，利用疲勞裂紋引發的非線性特征表征非線性損傷，提出了一種基于高頻頻響函數的疲勞裂紋損傷識別方法。

頻響函數因其測量方便、成本低、誤差小、包含信息豐富被廣泛用于損傷檢測領域。高頻頻響函數對結構局部細微變化敏感，對邊界特性引起的非線性不敏感，適合作為損傷識別的參考指標。SHIN等[11]通過實驗驗證了頻響函數對損傷檢測的有效性，拓展了頻響函數在結構損傷檢測中的應用。CACCESE[12]研究了高頻頻響函數在螺栓連接結構損傷檢測中的應用，給出了損傷檢測的最佳參數設置。JOHNSON等[13]應用頻響函數對多層框架結構進行了結構損傷檢測，并對直升機駕駛艙進行了損傷識別和定位實驗。NOEL等[14]探討了飛行器的復雜非線性力學特性，研究了非線性結構的頻響函數特征。

上述應用頻響函數進行損傷識別的研究均需將當前結構的頻響函數與健康狀態下的基準進行對比，而實際工程結構的初始健康狀態一般是未知的，難以得到健康基準，從而限制了頻響函數方法的應用范圍。本文利用激勵電壓幅值不同情況下非線性系統頻響函數不同的特性，在無基準的情況下識別疲勞裂紋，提出了一種無需健康基準的疲勞裂紋損傷檢測方法(即非線性頻響差值提取法)，并通過構造損傷指標分析了不同頻段對非線性損傷的敏感程度。結果表明該方法能夠在無基準情況下有效識別結構中的疲勞裂紋。

1 非線性頻響差值提取法原理

本文將線性結構簡化為單自由度線性剛度模型，如圖1所示。振子由一個附著在集中質量塊上的線性彈簧和線性阻尼構成，施加幅值為A、角頻率為ω的持續激勵f。模型運動方程為

(1)

式中，m為振子質量；c為系統阻尼；k為系統線性剛度；x、f為時間t的函數。

圖1 單自由度線性模型Fig.1 Single-degree-of-freedom linear model

對式(1)兩邊進行傅里葉變換可得

(m(jω)2+c(jω)+k)X=F

(2)

式中，j為虛數單位；X、F為x、f對應頻域中jω的函數。

構造jω的函數H，使得

X=FH(jω)

(3)

成立。將式(3)代入式(2)得

H(jω)=(m(jω)2+c(jω)+k)-1

(4)

其中，H(jω)即為頻響函數。由式(4)可知，線性結構頻響函數只與結構m、c、k和激勵頻率有關，與激勵幅值無關，所以不同激勵電壓下，線性結構頻響函數應相同。對于非線性結構，其模型可以簡化為帶有三次非線性剛度kn的非線性系統，如圖2所示。振子由一個附著在集中質量塊上的三次非線性彈簧和線性阻尼構成。

圖2 單自由度非線性模型Fig.2 Single degree-of-freedom nonlinear model

非線性系統模型運動方程為

(5)

f=Asin(ωt+Φ)

(6)

由于出現了x的立方項，所以不能簡單進行如式(2)的變換，一般采用諧波平衡法求解該方程，設試探解為

x(t)=Xsinωt

(7)

代入動力學方程(式(5))中得到

(8)

比較諧波系數后，得到系統近似頻響函數為

(9)

式(9)表示，對于非線性系統，其頻響函數與響應x的幅值X有關，即與激勵幅值A有關。因此，可以通過對比不同電壓下的頻響函數來判斷結構是否出現了非線性損傷。

由于實際結構本身具有多自由度的特性，所以求解結構頻響函數的解析解非常復雜，而對于實際的非線性結構，通過m、c、k求頻響函數精確解析解幾乎不可能，因此，通常需要經過實驗來測得響應信號。分別對激勵信號和響應信號進行傅里葉變換，然后通過下式得到結構的頻響函數：

H(jω)=X(jω)/F(jω)

(10)

非線性頻響差值提取法是利用非線性結構頻響函數對激勵幅值的依賴性來識別非線性損傷的一種方法。給待測結構輸入一系列幅值Ai(i=0，1，…，N)不同、頻率相位均相同的激勵，由式(10)可得出相應的頻響函數Hi(i=0，1，…，N)。利用直接相減的方法將不同激勵幅值下的頻響函數減去最小激勵幅值下的頻響函數，記為

Hm,i=Hi-Hj

(11)

式中，Hj為最小激勵幅值對應的頻響函數。

然后將得到的差值求和取平均值，得到能代表結構非線性強弱的差值曲線，將該曲線稱為非線性頻響差值特性曲線，記為Hm，即

(12)

式中，N為不同幅值激勵的數量。

將Hm函數的能量密度作為損傷指標可以有效地表征結構非線性損傷，其計算公式如下：

(13)

式中，n為數據點數量。

2 實驗及討論

2.1 實驗裝置

為了驗證非線性頻響差值提取法可以有效識別非線性損傷，對裂紋梁進行了非線性損傷識別實驗。實驗裝置如圖3所示。本實驗對象為1塊500 mm×100 mm×2 mm的鋁梁，在梁中央處通過INSTRONG公司材料試驗機加載循環載荷產生一長度為12 mm的疲勞裂紋。在梁表面裂紋兩端粘貼兩個STEMINC公司的壓電片，壓電片直徑為12 mm，厚度為0.6 mm，兩個壓電片之間間隔240 mm，裂紋處于兩個壓電片正中央。梁兩端置于海綿上已模擬自由邊界，采用任意函數發生器(Agilent33522A)產生激勵信號，通過電壓放大器(TEGAM2350)放大后施加給一個壓電片，用示波器(Agilent D50-X3014A)從另一個壓電片采集電壓響應信號進行分析。

2.2 實驗過程與結果分析

2.2.1裂紋梁非線性損傷識別

實驗中依次給裂紋梁接入頻率范圍為25～60 kHz，幅值分別為0.6 V、50 V、70 V、100 V、150 V的線性掃頻激勵。記錄示波器接收到的響應信號，通過MATLAB處理數據，得到相應的頻響函數記為H0、H1、H2、H3、H4，根據式(12)計算裂紋梁的非線性頻響差值函數Hm。

圖3 實驗裝置Fig.3 Experimental equipment

為使得圖像清晰，此處僅將裂紋梁在0.6 V、50 V、150 V激勵電壓下的頻響函數繪成曲線，如圖4a所示。可以看出不同電壓下裂紋梁的頻響函數峰值和對應頻率都有差別。將頻響函數曲線局部放大后如圖4b所示。50 V激勵電壓與150 V激勵電壓下的頻響函數在峰值處差值可達0.7 dB，而0.6 V激勵電壓下與50 V激勵電壓下頻響函數在峰值處差值為0.2 dB，說明激勵電壓的幅值差異越大，對應的頻響函數曲線差異也越大，當激勵電壓的幅值存在數量級差異時，對應的頻響函數差異顯著。

為了驗證非線性頻響差值提取法的有效性，對一完整鋁梁輸入同樣的激勵做對比，得到完整梁在不同激勵電壓下的頻響函數曲線，并根據式(12)計算完整梁的非線性頻響差值函數H′m。將得到的不同激勵電壓下完整梁的頻響函數繪成曲線，如圖5a所示，不同激勵電壓下完整梁的頻響函數曲線幾乎重疊。將頻響函數曲線局部放大后，如圖5b所示，圖像上仍無顯著差異，說明不同激勵電壓下頻響函數不同確實可以有效表征非線性損傷。

根據Hm和H′m繪制兩組非線性頻響差值曲線，如圖6所示。由于受環境和邊界狀態引起的非線性影響，完整梁的非線性頻響差值函數并不為零，但幅值遠遠小于裂紋梁的非線性頻響差值函數。在低頻(25～35 kHz)條件下，兩組曲線幅值差異較小，而在高頻(35～60 kHz)時，兩組曲線幅值差異顯著，說明非線性頻響差值函數在高頻范圍對疲勞裂紋引發的非線性損傷更為敏感。

在頻率范圍為25～60 kHz、采樣時間間隔為6.25 μs時，由式(13)計算出裂紋梁損傷指標數值D=0.91%，相應完整梁損傷指標D′=0.36%。需要指出的是，由于受環境和邊界狀態影響，完整梁的非線性頻響差值函數不為零，導致相應的損傷指標也不為零，但與裂紋梁的損傷指標數值相比較小。這說明非線性頻響差值提取法能有效識別非線性損傷。由于掃頻范圍包含了對局部非線性損傷不敏感區域，所以指標值較小。非線性頻響差值提取法對不同頻率段敏感度不一，因此需要進一步實驗確定最佳的掃頻范圍。

(a)完整圖

(b)局部放大圖圖4 不同激勵電壓下裂紋梁頻響函數曲線Fig.4 Frequency response function curve under different excitation voltage of the cracked beam

(a)完整圖

(b)局部放大圖圖5 不同激勵電壓下完整梁頻響函數曲線Fig.5 Frequency response function curve under different excitation voltage of the intact beam

圖6 非線性頻響差值特性曲線對比Fig.6 Comparison of nonlinear frequency response difference characteristic curves

2.2.2最佳掃頻范圍確定

本節針對不同掃頻范圍對裂紋梁進行了非線性頻響差值提取實驗研究。為了削弱環境工況以及放大器長時間工作對實驗準確度可能造成的影響，對實驗過程進行了簡化，只選取激勵幅值為0.6 V與100 V進行對比。

實驗結果如表1所示。低頻頻響函數對局部細微損傷不敏感，所以頻率在35 kHz以下時，損傷指標數值較小，難以有效識別非線性損傷。在頻率大于35 kHz時，損傷指標數值較大，非線性頻響差值提取法可以有效地識別非線性損傷。當頻率范圍在55～60 kHz時，損傷指標值達到最大，為7.26%，該頻率段下非線性頻響差值提取法可以顯著識別非線性損傷。所以本實驗選定最佳掃頻范圍為55～60 kHz。非線性頻響差值提取法采用35 kHz以上的激勵頻率范圍可以有效識別疲勞裂紋。在進一步的實驗研究或對相似結構進行疲勞裂紋損傷識別時，宜選取包含55～60 kHz頻率段的掃頻信號作為激勵。需要注意的是，對于不同的疲勞裂紋長度，應用該方法進行損傷識別的最佳頻率范圍不同。

表1 裂紋梁損傷指標匯總

3 結語

本文提出了一種基于高頻頻響函數的無基準疲勞裂紋識別方法，即非線性頻響差值提取法，該方法通過計算不同電壓下頻響函數差值來識別疲勞裂紋引起的非線性損傷，無需健康基準。本文通過裂紋梁實驗驗證了該方法的有效性，構造了相應的損傷指標，并找到了應用該方法進行疲勞裂紋識別的最佳頻率段，結果表明，非線性頻響差值提取法可以作為疲勞裂紋識別的有效手段。需要說明的是，對于不同的結構，應用該方法進行疲勞裂紋損傷識別的判別標準仍需進一步研究。