鋼管混凝土柱徐變穩定性分析

趙人達 ，吳德寶 ，王永寶 ，賈 毅 ，廖 平

（1.西南交通大學土木工程學院，四川 成都 610031；2.太原理工大學建筑與土木工程學院，山西 太原 030024）

鋼管混凝土柱相對于普通鋼筋混凝土柱具有更優的強度和性能，廣泛應用于國內外的橋梁、高層建筑等結構中[1-2].受長細比、邊界條件等因素影響，鋼管混凝土柱的設計往往受壓桿穩定控制.由于鋼管混凝土（CFST）柱長期處于受壓狀態，管內混凝土的徐變導致柱內力重分布和多余的幾何變形，直接影響到結構能否長期安全工作[3].因此，CFST 柱的徐變穩定問題需做進一步研究.

目前，學者們對CFST 結構隨時間變形、穩定問題進行了較多的試驗[4-6]，研究表明管內混凝土的徐變作用對CFST 結構長期穩定行為有較大影響，但未給出定量解析式，實際工程的應用性有限.現有論文中，對考慮徐變作用影響的結構穩定研究當前僅針對鋼筋混凝土結構：Behan 等[7]進行鋼筋混凝土柱的軸壓試驗，以時間為控制變量進行對比試驗，得到該類柱在持續荷載作用下的壽命評估方法；Distefano[8]線性化分析了實際的臨界荷載組合，提出一種鋼筋混凝土柱隨混凝土強度等級降低時的徐變穩定承載力估計方法；Bazant[9]結合靜力平衡方程，求解得到了鉸接鋼筋混凝土柱的徐變穩定承載力解析式.基于線性徐變理論，結合曲率-應變方程和靜力平衡方程，林南薰[10]求解得到了鋼筋混凝土鉸接柱的長期穩定承載力；孫寶俊等[3]運用有效模量法，建立了兩端鉸接的鋼筋混凝土柱的靜力平衡方程，推導了柱結構長期與短期臨界荷載間的關系式；壽楠椿等[11]分別采用有限元和靜力平衡法研究了鉸接的鋼筋混凝土柱，考慮構造初始缺陷、彈性和徐變變形等因素的基礎上，求解了鋼筋混凝土柱的徐變穩定臨界力.上述研究多為采用靜力平衡法推導的鋼筋混凝土柱長期穩定臨界力.鋼管混凝土結構與之不同，且目前采用能量法對CFST 柱的徐變穩定研究較為欠缺.

為了探討混凝土徐變對鋼管混凝土柱軸向荷載作用下長期穩定性的影響，本文基于能量法和按照齡期調整的有效模量法，應用失穩條件，推導了考慮徐變和初始缺陷，兩端鉸接、固定-鉸接和固定-自由3 種邊界條件鋼管混凝土柱的長期穩定極限荷載計算公式，研究了該類柱徐變穩定臨界力與管內混凝土強度的影響規律，對比了規范取值與該臨界力的規律，得到的相關結論對后續的CFST 結構的長期穩定研究提供有益的參考.

1 管內混凝土等效彈性模量

徐變作用，會導致混凝土的彈性模量隨時間增長而逐漸減小.現有論文中，有效模量法作為主流的方法來描述混凝土受徐變的影響，彈性模量用E（t）表示.有效模量法中，按齡期調整的混凝土彈性模量應用最為廣泛[12]：

式中：φ（t，t0）、χ（t，t0）分別為從時刻t0到時刻t的徐變系數和老化系數.

由式（1）可得時刻tCFST 截面的抗彎剛度為[13]

式中：Es為鋼管的彈性模量；Is、Ic分別為鋼管和管內混凝土的抗彎慣性矩；Ie（t）為鋼管混凝土組合截面時刻t的等效慣性矩，如式（3）.

2 能量法求徐變穩定臨界力

求穩定臨界力時，該平衡方程常常用勢能駐值原理表達.但勢能駐值原理必須對勢能方程進行變分計算，方可求得臨界力的精確解，求解過程較為復雜.于是，為避免復雜的運算，本文采用一種能量守恒原理與失穩準則相結合的求解方法，有效地簡化了求解過程.

能量守恒原理，即外力對系統做的功等于系統機械能的增量[14].同時做如下假定：在外力作用下結構的變形過程極其緩慢，動能增量為0，不計熱能損失，機械能增量全部轉化為CFST 柱的彈性勢能增量，即

式中：UP為外力對系統做的功，即機械能增量；U為系統的勢能增量.

2.1 構件的應變能

在生產中，實際受壓構件不可避免會存在初始缺陷y0(x) （t=t0）.在時刻t0，于桿件上施加外力Fp，在t=t0時，桿軸線位置x產生橫向位移y(x，t).那么，桿件受壓變形積蓄了彈性勢能（彈性勢能增量）.并假定CFST柱在屈曲前桿件本身未開裂.那么，彈性勢能可以表示為

式中：σ(t)、ε(t) 分別為桿件內微分體積塊在時刻t產生的應力、應變.

若混凝土壓應力小于0.4 倍的承載能力，徐變規律被認為是按線性變化的[15].于是，線性徐變的應力、應變關系為

式中：σ0為時刻t0管內混凝土的應力值.

將式（6）代入式（5）進行積分運算，得CFST 柱考慮初始缺陷、徐變效應的應變能為

式中：M(t0)、M（t）分別為時刻t0、t構件上任意位置x的彎矩值；Ie0為時刻t0CFST 組合截面的換算截面慣性矩；l為桿件長度.

2.2 構件的外力功

在外力FP作用下，構件從直線平衡過渡到彎曲平衡狀態，FP在力作用方向上仍會有一定豎向位移Δ（假設不考慮構件的軸向壓縮），如圖1，圖中：l0為柱的計算長度（l0=μl），μ為長度系數.

圖1 不同邊界條件的受壓構件失穩示意Fig.1 Buckling modes of compression columns with three common boundary conditions

當構件達到彎曲平衡狀態時，FP沿力方向的豎向位移為Δ（圖1）.設積分段dx因傾角θ引起的豎向位移為dΔ，即

沿著構件的總長積分，得受力點的豎向位移為

考慮構件的初始缺陷，時刻t外力做功為

3 鋼管混凝土柱徐變穩定臨界力

實際工程中，CFST 柱有3 種常用的形式：鉸接-鉸接、鉸接-固定、固定-自由.由結構力學可知，上述3 種邊界形式的長度系數μ分別為1.0、0.7、2.0.

分別對上述3 種邊界的CFST 柱推導軸壓作用下的徐變穩定臨界力計算式.

3.1 兩端鉸接CFST 柱

要研究徐變對軸壓構件的穩定性規律，需注意以下兩點：正確的CFST 柱非線性平衡關系；正確的柱屈曲前變形（對應邊界條件下）.

鉸接柱的初設變形為正弦級數曲線，參照文獻[16]對彈性穩定的求解方法，下文同取三角級數第1 項作為屈曲前變形曲線的近似，那么時刻t和初始時刻（t=t0）橫向位移表達式分別為[9]

式中：f、f0分別為兩端鉸接柱軸線方向中在時刻t、t0的最大位移值.

結合式（11）和圖1可得時刻t、t0的彎矩分別為

將式（11）、（12）代入式（7），得兩端鉸接CFST柱時刻t的彈性勢能為

將式（11）代入式（10），得時刻t外力做功為

將式（13）、（14）和式（1）代入式（4），得

式中：FPcr為理想軸壓CFST 柱彈性穩定臨界力.

以f為目標函數，化簡式（15），得

長期荷載作用下，軸壓CFST 柱的失穩準則[9]為桿件的橫向變形趨于無窮大，即

若要滿足該失穩準則，只有式（16）根式分母趨于0，即

整理式（18），得到兩端鉸接的CFST 軸壓柱考慮管內混凝土長期徐變效應的失穩臨界力為

本文采用能量法得到的失穩臨界力與文獻[3]求解的公式一致.

3.2 鉸接-固定CFST 柱

以一端鉸接一端固定為邊界的CFST 柱為一次超靜定結構，考慮該柱的外力作用形式及邊界變形協調條件[16]，得時刻t和初始時刻t0的橫向位移分別為

式中：FR、FR0分別為時刻t、t0構件鉸接端產生的約束反力；α為考慮混凝土徐變作用的相關參數，

那么時刻t和初始時刻t0對應的彎矩分別為

將式（20）代入式（22）化簡得

同理，將初始缺陷和變形方程（20）代入式（7），得到一端鉸接一端固定柱時刻t的應變能為

將式（20）代入式（10），可得時刻t外力功為

令變量Γ、Λ分別為

聯立式（24）、（25）、（1）及式（26）、（27），代入式（4），得

將式（21）代入式（28），并按FR為目標函數化簡可得

長期荷載作用下，軸壓CFST 柱的失穩準則[9]為時刻t桿件的約束反力趨于無窮大（limFR→∞），式（29）根式分母趨于0 即可滿足，即

將式（26）、（27）代入式（30），得

利用MATLAB 的數值迭代功能，得到最小正解αl= 4.493，結合式（21）得一端鉸接一端固定CFST柱的失穩臨界力為

由式（32）可得，當不考慮徐變效應時，一端鉸接一端固定CFST 柱的徐變穩定臨界力公式的計算值和龍馭球等[16]運用靜力平衡法求得的彈性穩定承載力數值一致，間接證明了該公式在時間上具有更廣的適用性.

3.3 一端固定一端自由CFST 柱

一端固定一端自由的CFST 柱在軸向力作用下，滿足該邊界條件的屈曲形狀可用三角級數表達.與兩端鉸接柱相同，取三角級數第1 項為近似變形曲線，那么時刻t、t0位移為

時刻t、t0對應的彎矩為

同理，將初始缺陷和變形方程（33）代入式（7），得到懸臂CFST 柱的應變能為

將式（33）代入式（10），可得時刻t的外力功為

結合式（35）、（36）及（1），代入式（4），得

按f為目標函數對式（37）進行化簡，得

長期荷載作用下，軸壓CFST 柱的失穩準則[9]為桿件的橫向變形趨于無窮大.那么，式（38）根式分母趨于0 即可滿足，即

一端固定一端自由的CFST 柱受徐變作用的長期穩定臨界力為

引入計算長度l0（圖1），不同邊界條件的CFST柱的彈性穩定臨界力為

3 種常見邊界條件的CFST 柱在軸向力作用下的徐變穩定臨界力值為

老化系數的選取可不用查表，用試驗與理論值符合良好的表達式進行計算[18]：

式中：a、β為常數，取a= 0.91，β= 0.686[18].

對比前3 節的臨界力式可知：考慮長期作用的鋼管混凝土柱穩定臨界力與徐變系數有關，考慮混凝土徐變效應的臨界力比彈性穩定臨界力下降1 +χ(t，t0)φ(t，t0) 倍，且徐變效應對承載力的影響僅與徐變系數有關；相同計算長度但不同邊界條件的該類柱徐變穩定臨界力一致.

4 算例分析

由式（42）可得，為預測徐變對鋼管混凝土軸向受壓柱長期穩定性的影響，準確地計算徐變系數和老化系數至關重要.目前，受學者們廣泛應用的ACI模型[17]認為，徐變系數僅與時間、徐變終極值φ(∞，t0) 有關，表達式為

算例參數如下：含鋼率為0.05，長細比為104，φ(∞，t0) = 1.8，t0= 7 d；鋼管和管內混凝土的彈性模量分別取2.00 × 105、3.25 × 106Pa.組合截面（圓形鋼管 + 內填混凝土）面積為0.16 m2.

該算例下，本文方法計算的徐變穩定臨界力為2.43 × 106N，與文獻[3]計算方形鋼筋混凝土柱的結果2.36 × 106N 的相對偏差小于3%，結果相近.圓形鋼管混凝土柱的計算值大于方形鋼筋混凝土柱，是由于同面積的圓形截面抗彎慣性矩大于方形截面，且圓形鋼管處于截面外部，更有利于截面的抗彎性能.式（42）的計算值與文獻[11]利用ANSYS 計算鋼筋混凝土柱的結果一致.與現有文獻進行對比的結果表明，本文式（42）具有一定的正確性.

為研究混凝土強度等級失穩臨界力的影響，本文對徐變穩定式進行深入分析.相關參數的取值如下：徐變系數終極值采用CEB10 規范[19]中規定：

式中：φbc(∞，t0) 為基本徐變系數終極值；φdc(∞，t0)為干燥徐變系數終極值.

由式（45）可得，徐變系數終極值由基本徐變系數終極值和干燥徐變系數終極值兩部分組成.該公式參數取值：無窮天數取1 000 a，濕度按文獻[20]給出的區間取90%，得到混凝土等級與徐變系數終極值關系，如表1.以混凝土強度等級為自變量，得到以本文方法計算的無量綱屈曲臨界力曲線，如圖2.

表1 混凝土等級與徐變系數終極值的關系表（CEB10 模型）Tab.1 Relationship between concrete grade and the ultimate value of creep factor （CEB10 model）

由表1可得：混凝土強度等級與徐變系數終極值呈負相關關系，混凝土強度等級上升，對應的徐變終極值會下降，且下降速度在減小，混凝土等級小于C80 時，對徐變系數終極值的影響較大；混凝土強度等級大于C80 后，強度對徐變系數終極值的影響較小.由圖2可得，混凝土強度與長期屈曲臨界力呈現正相關關系，但臨界力增加速率有所下降，原因是，鋼管負責的強度部分保持不變.

圖2 管內混凝土強度與長期效應無量綱屈曲荷載關系Fig.2 Relationship between dimensionless buckling load of long-term effects of creep and core concrete strength

現行的規范[21]中，正截面受壓承載力為

式中：γ為穩定系數；Ac、As分別為橫斷面的混凝土面積和鋼筋面積；fq′為鋼筋的受壓屈服強度.

利用上述算例，用現行的規范[21]公式和本文公式分別計算不同混凝土強度等級的徐變穩定臨界力，對比結果如圖3.

圖3 算例的臨界力對比結果Fig.3 Critical force comparison results of a numerical example

由圖3可知：管內混凝土強度等級與CFST 柱的穩定臨界荷載呈正相關變化；當混凝土強度等級大于C45 時，現行混凝土結構設計規范的值偏安全；當混凝土強度小于C45 時，現行規范的值會大于徐變穩定臨界力，鋼管混凝土柱進行設計時，應注意徐變失穩問題.

以長細比為控制變量，當長細比為15、20 和30時，本文公式的計算結果如圖4.

圖4 無量綱徐變穩定臨界力與時間曲線Fig.4 Critical force time curve with different slenderness ratio

由圖4可知：長細比與徐變穩定臨界力呈負相關關系；徐變穩定臨界力與時間呈負相關關系，在前2月時間內穩定臨界力下降明顯；在2月之后下降平緩，在100 d 后逐漸趨近于穩定極限值.分析彈性穩定臨界力式（41）和圖4可知，長細比對軸壓柱的影響主要體現在結構形式上，即體現在不考慮徐變的軸壓柱穩定性分析中（即FPcr）.

5 結 論

（1）基于能量法和按照齡期調整的有效模量法，應用失穩條件，推導了考慮徐變和初始缺陷的3 種邊界條件鋼管混凝土柱的長期穩定極限荷載計算式，計算表達式簡潔、準確，能較好地反映徐變作用對穩定承載力的影響.

（2）考慮長期作用的鋼管混凝土柱穩定臨界力與徐變系數有關，相同計算長度但不同邊界條件的該類柱徐變穩定臨界力一致；隨管內混凝土強度的增加，徐變對構件穩定臨界力的影響會削弱.

（3）當按現行混凝土結構設計規范對管內混凝土強度等級低于C45 的鋼管混凝土柱進行設計時，應注意徐變失穩問題；鋼管混凝土柱的徐變穩定承載力在前60 d 下降明顯且占總下降量約80%，在100 d 后承載力逐漸趨于穩定.

（4）長細比與徐變穩定臨界力呈負相關關系；長細比對軸壓柱的影響主要體現在結構形式上，即體現在不考慮徐變的軸壓柱穩定性分析中.