大型合成孔徑望遠鏡標準化點源敏感性分析

安其昌，張景旭，楊 飛，趙宏超*，曹海峰

(1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033；2.中國科學院大學，北京 100039)

1 引 言

瑞利判據指出一定波長下望遠鏡的分辨能力與口徑成正比。為了獲得更強的集光能力，實現對更深、更遠、更暗宇宙目標的探索，天文望遠鏡的口徑也隨之增加。借助于主動光學與自適應光學技術，不論是空間望遠鏡還是地基望遠鏡，其觀測能力都得到了空前增長。目前單鏡口徑已達到8 m量級，由于材料制備，加工工藝以及檢測手段的限制，利用整塊主鏡已經無法更進一步地增加集光能力。在此背景下，拼接鏡與合成孔徑望遠鏡成為了目前提高集光能力的兩種主要方法[1-3]。

Giant Magellan Telescope(GMT)是由哈佛大學、麻省理工、亞利桑那大學、密歇根大學以及澳大利亞國家大學等單位聯合發起的下一代地基大口徑望遠鏡項目，其設計階段由2003年開始，目前處于實際建設階段。GMT的工作波段覆蓋了極紫外到近紅外的廣闊區間；其主要科學目標包括了探索類地行星、觀測宇宙起源等目前科學界亟需解決的問題。GMT的7塊主鏡由硼硅酸鹽鑄造而成，每一塊主鏡直徑均為8.4 m；其集光面積相當于直徑為21.9 m的整鏡，在近紅外波段工作時，其衍射極限相當于24.5 m口徑的望遠鏡。目前我國的合成孔徑大口徑望遠鏡尚處于起步階段，哈爾濱工業大學的研究團隊曾建造了等效口徑約為500 mm的原理樣機，國家天文臺與蘇州大學也對合成孔徑望遠鏡進行了有益的研究[4-8]。

大口徑地基望遠鏡系統性能評價和誤差分配是一個復雜的系統工程，其涉及面廣、環節眾多、與實際應用需求聯系極為緊密。誤差分析、分配準則的研究，本質上是建立大口徑望遠鏡科學目標與望遠鏡實際性能指標之間的關系。不僅如此，性能評價和誤差分配實際上是相互關聯的，即誤差分配本身是一個平衡過程：在既定的性能評價標準下，需要綜合考慮系統誤差的敏感性和實際加工、生產能力以及成本等因素，進而實現誤差的分配。合成孔徑望遠鏡的初衷在于提高建設的集成化與模塊化，降低建設成本，為了達到此目標合理的誤差分析分配指標與流程都有著至關重要的作用[9-13]。

在此，本文引入標準化點源敏感性(normalized Point Source Sensitivity,PSSn)作為評價指標，對大口徑合成孔徑望遠鏡的靜態與動態誤差進行了分析。與此同時，針對合成孔徑望遠鏡子鏡間的相對位置誤差存在封閉性的特點，提出了基于“Brownian Bridge”過程的PSSn誤差模型。

2 標準化點源敏感性與誤差分析

PSSn是利用點擴散函數所有區域的積分平均，同時充分考慮了背景對光學能量傳遞所帶來的影響，故可以全面評價系統的成像質量。PSSn的定義與計算方法如式(1)所示：

(1)

其中，PSFe、PSFt+a為誤差的點擴散函數，以及理想望遠鏡在視寧度影響下的點擴散函數OTFe,OTFt+a為誤差的光學傳遞函數，以及理想望遠鏡在視寧度影響下的光學傳遞函數。利用該基本性質，可以選擇合適的方式來計算PSSn。

離散孔徑的PSSn定義如式(2)所示：

(2)

根據式(2)可得，合成孔徑PSF復振幅包絡線與單一口徑相同，但其內部存在更多的起伏。這導致合成孔徑的PSSn相對下降，同時，隨著入瞳形狀的變化，系統PSSn也會產生相應的變化(在沒有光線通過的極限情況下， PSSn下降為0)。同時，由于通光口徑形狀的影響，利用離散孔徑測量所得到的PSSn也存在上限。

粗糙度是光學表面精拋光階段的評價指標，其相關理論一般只能適用于較小的評價范圍。但對于極大口徑望遠鏡而言，根據Jerry Nelson的研究，由主鏡局部低階像差所引起的波前誤差對系統出瞳處的影響與小口徑元件表面粗糙度類似。因此，可將小口徑鏡面粗糙度的評價方法應用于大口徑光學元件低階面形分析。

斜率均方根定義為波前斜率的樣本標準差。由于斜率均方根和諸多光學指標均有關聯，通過斜率均方根，可分析評價尺度與評價結果之間的關系。大口徑光學元件在重力印透作用下的面形RMS如式(3)所示:

(3)

其中，ξ為系數，q為單位面積上的壓力，M為支撐點數，D=Eh3/12(1-ν)2為剛度模量，E為彈性模量，h為鏡面厚度，ν為泊松比，S為面積。

為了適應不同的孔徑形狀，在此使用總取樣點數N代替取樣間隔T，代入式(3)。利用基本的幾何關系NT2=S，可得斜率均方根的量綱表達如式(4)所示：

σSlo=σRMS/T=

(4)

由式(2)～(3)可以看出，不同的評價尺度下獲得的評價結果也不盡相同，下面通過評價指標與評價尺度之間的解析關系，進一步研究誤差的分析與分配。

根據Beckmann 與 Spizzichino 對粗糙度的研究，實際的點擴散函數與理想點擴散函數之間存在如下關系，如式(5)所示：

|PSFt+a+e|2=e-ξ|PSFt+a|2+

(5)

(6)

對式(2)～(5)進行分部積分，可得式(7)：

(7)

(8)

(9)

根據Born的研究，結合傅立葉光學相關理論可得衍射極限下的PSF如式(10)所示：

(10)

其中，u,v為衍射空間的坐標，x,y為物空間的坐標。對于圓形的孔徑，其點擴散函數如式(11) 所示：

(11)

其中，Q為孔徑數量，對于最簡化的情況，PSSn如式(12)所示：

PSSnΘ,T=(1-ξ)+

(12)

圖1 PSSn與評價尺度T以及積分范圍θ的關系Fig.1 Relationship between PSSn and evaluation scale T and integral range θ

系統的動態誤差主要來源于系統內部以及外部的振動。由于振動引起的圖像模糊所造成的光學傳遞函數OTF為0階貝塞爾函數，如式(13)所示：

OTFvib=J0(Aω) ,

(13)

其中，A為抖動的幅值。ω為外界振動的頻率，J0為0階貝塞爾函數。根據光學傳遞函數的基本性質可得式(14)：

(14)

PSSnΘ,T,A=(1-ξ)+

(15)

另一方面，結合貝塞爾函數的基本性質可得式(16)：

(16)

根據式(16)可得動態誤差影響下的PSSn如式(17)所示：

PSSnΘ,T,A=(1-ξ)+

(17)

由于

2AΘ2J0(AΘ)+2Θ2J0(AΘ)J1(AΘ)>0，

可見PSSn對于A是減函數，PSSn與振幅的解析關系如圖2所示。根據PSSn隨振動的線性衰減特性，可以內插得到任意振動條件下的PSSn。

根據之前的推導，針對已有面形數據進行仿真實驗。首先，將波前切割為圓形離散式樣，之后，根據式(17)，利用傳遞函數可以獲得在不同振動載荷下的PSSn，如圖3所示。PSSn隨振動的衰減基本呈線性。據此可以內插得到任意振動條

圖2 PSSn與評價尺度T、積分范圍θ以及振幅的關系Fig.2 Relationship between PSSn and evaluation scale T, integral range θ and amplitude

件下的PSSn。通過上述方法，可預測系統在不同振動水平下的PSSn。

圖3 PSSn與振幅的關系Fig.3 Relationship between PSSn and amplitude

根據之前的分析，使用PSSn作為評價系統誤差的標準，同時以概率的標準考慮所有潛在的狀態，即可全面分析分配系統的誤差。PSSn 是光學傳遞函數在全部區域的廣義平均，充分地考慮了背景對光學能量傳遞所帶來的影響，故可以全面評價系統的成像質量；同時，PSSn具有良好的線性合成特性，可以通過各部分PSSn的乘積，簡單、準確地獲得多因素影響下的綜合誤差。

圖4 PSSn與子鏡剛體位移的關系Fig.4 Relationship between PSSn and rigid body motion of sub-mirror

由于每個合成孔徑為大口徑波前的一部分，在較小的局部范圍內，低階像差主要表現為Piston 、Tip/Tilt或者凹陷。另一方面，由于測量誤差的存在，導致合成孔徑之間也存在著一定的相對Piston 與Tip/Tilt 誤差。如果保留這些分量會極大影響結果精度。在此，以PSSn為評價標準，使用優化方法，可去除子孔徑內的剛體位移。測量誤差引起的子孔徑tip/tilt誤差如式(18)與式(19)所示。由于在每次測量中，Piston，Tip/Tilt 會被去除，故會對結果的不確定度產生影響[14-15]。

(18)

(19)

(20)

其中，λ為以微米為單位的波長，取0.5 μm。斜率均方根的單位為微弧度。

3 基于Brownian Bridge的誤差建模

誤差分析、分配本身就是一個具有統計學意義的過程。對于誤差評價指標而言，不僅需要擁有全面的性能表征能力，同時也必須兼顧誤差的統計學特性。從統計學的角度研究PSSn，可以更好地將PSSn作為誤差分析分配準則。根據隨機過程的觀點，如果一個過程在若干步轉移之后，以概率1達到某個狀態，該過程被稱為“Brownian Bridge” 過程，記為B(t)。將不同子系統的PSSn作為隨機變量，可以從動態的觀點對誤差的生成、積累以及傳遞等一系列過程進行詮釋。在不同的邊界條件下，利用轉移概率矩陣，可以有效利用已獲得的誤差信息，并對系統的行為進行有效預測。與此同時，在計算系統的統計矩時，不可避免地需要考慮系統誤差的概率分布情況。對于大口徑系統，傳統上假設誤差服從高斯分布的獨立變量方法，由于沒有考慮到誤差在傳遞過程中的邊界條件(如封閉誤差鏈)，會造成明顯的過估計情況。

首先，對B(t)的定義進行說明，與Wiener過程類似，“Brownian Bridge”過程的相關函數滿足式(21)。

(21)

其中，T為以概率1達到某個狀態的時間。利用求解隨機過程特征值的定義，可得式(22)：

(22)

其中，Ψ(t)為“Brownian Bridge” 過程特征函數，滿足式(23),λ為“Brownian Bridge”過程特征值，

(23)

令λ=k2，Ψ(t)=sinkt，在連續時間下定義“Brownian Bridge”如式(24)所示:

(24)

將“Brownian Bridge” 表達為離散過程，即將以概率1達到某個狀態的時間T，替換為轉移步數N，如式(25)所示:

(25)

(26)

4 結 論

通過引入PSSn提高合成精度，可以更加合理地分配現有誤差，減少主觀色彩很濃的安全系數；另一方面，由于PSSn評價的全面性，可以適當放寬某些頻段的誤差限，通過以上兩點可以有效地減少誤差分析中的”過估計”現象。在不同的頻段考慮誤差，既符合科學規律又符合經濟原則。利用PSSn的合成性質，可將重力印透、大氣視寧、抖動以及其他的誤差源所引入的PSSn進行合成，進而建立系統的誤差模型。從3個方面結合標準化點源敏感性進行了分析。首先，將非離面誤差轉化為傾斜，并與標準化點源敏感性建立聯系。之后分析了熱載荷下，鏡面球差與標準化點源敏感性之間的關系。最后，利用厚板振動理論，對于非離面風載的影響進行了分析。對于口徑較小的元件，使用RMS結合PSSn進行分析評價，可以為PSSn評價方法在實際工程中的應用積累經驗，但是對于大口徑系統，使用RMS則難以合理地表現各個誤差源對集成后系統性能的影響。本文的工作對大型合成孔徑望遠鏡建設有著重要意義，同時對于類似的大口徑系統的誤差分析與檢測也有著一定指導意義。