基于梁變形微分方程與奇異函數的軸系校中計算研究

王建午，樓京俊，李欣一，楊慶超

(海軍工程大學 動力工程學院，湖北 武漢 430033)

0 引 言

軸系校中是船舶推進軸系安裝或檢修過程中的重要環節，軸系的校中狀態關乎軸系工作的安全性、可靠性與穩定性，校中不良會引起軸承不均勻磨損、減速齒輪嚙合不良、軸系振動等問題[1]。軸系校中計算須綜合考慮軸系的各性能指標，如軸承負荷、軸段內應力、軸系截面轉角等，通過對這些性能參數進行計算分析從而得出最佳的軸系校中方案。目前，關于軸系校中計算方法的研究較多，主要有三彎矩法、傳遞矩陣法及有限元法，周瑞平[2]，李冬梅[3]，楊勇等[4]采用三彎矩法對軸系校中進行了分析；張輝等[5]將傳遞矩陣法與智能微群優化算法相互結合，并運用于軸系校中計算；尤國英等[6]用ALGOR FEAS軟件對某試驗船舶軸系進行了有限元校中計算。研究表明，三彎矩法對理論基礎的要求高且計算過程較為復雜，傳遞矩陣法的計算精度與通用性略差，有限元法程序實現比較困難、對計算人員素質要求較高，故以上幾種方法都存在一定的局限性[7]。

本文基于梁變形微分方程與奇異函數，針對某型船舶推進系統傳動軸系校中，推導出了一種更為簡潔易懂的軸系校中計算方法，并在直線校中、負荷校中2種不同軸系校中方案下，對實船軸系各狀態參數進行了計算分析。結果表明，該方法能滿足船舶推進軸系校中的計算精度要求，且可以更為快速準確地表述出軸系的校中狀態。

1 校中計算方法研究

1.1 梁變形微分方程

在橫向外力或軸線平面內外力偶的作用下，軸系會發生彎曲變形，其軸線將變為撓曲線，由高等代數知識可知，撓曲線上任一點的曲率方程為：

式中：ρ為曲率；w為撓曲度；x為軸線橫坐標。當軸系變形量較小時，軸系截面轉角很小，此時有：

又在材料力學中，軸系剪力Q、彎矩M、載荷集度q有如下微分關系[8]：

由以上各式可知，只要將軸系承受的復雜外力以載荷集度函數的形式給出，并按次序進行積分運算，就可以求得軸系上各軸向位置的剪力、彎矩、截面轉角、撓曲度等狀態參數。

1.2 奇異函數

奇異函數是指函數本身有不連續點或其導數與積分有不連續點的一類函數，又稱麥考利函數或脈沖函數，其基本表達式如下[9]：

式中：< >常稱麥考利括號，當各變量取不同值時，奇異函數有不同的形式，具體定義如下：

由于奇異函數特有的形式與定義，其在進行微、積分運算時可避免積分常數的求解，這就大大簡化了計算的工作量，為快速求解軸系各狀態方程提供了可能。奇異函數具體的微、積分形式歸納如下：

奇異函數的另一個優點是其對不連續性的表達，只要將軸向各位置的載荷集度函數相互疊加就能把軸系上承受的復雜外力以一個方程式的形式給出，這就避免了對軸系狀態方程進行分段積分，進一步提高了運算速度與準確度，且有利于計算機的編程。

1.3 軸系校中計算方法的推導

為使軸系校中計算方法更具通用性，取某一受典型載荷的軸段進行分析，簡化后的軸段模型載荷分布如圖1所示。以螺旋槳末端為坐標原點建立直角坐標系X0Y，取船首方向為X軸正方向，過原點垂直X軸向上為Y軸正方向。qi為軸系所受均布載荷；Fh為軸系所受集中載荷；Rk為軸承支反力；Mj為軸系所受外力矩；ai，bi分別為均布載荷作用起點與作用終點在X軸上坐標；ah為集中載荷作用點在X軸上的坐標；ak為軸承支反力作用點在X軸上的坐標；aj為外力矩作用點在X軸上的坐標。

圖1 簡化軸段載荷分布圖Fig. 1 Load distribution of simplified shafting

基于梁變形微分方程與奇異函數的軸系校中計算模型構建的關鍵是將各典型載荷用奇異函數的形式表示為軸系載荷集度函數[10]。

1）將作用于[ai，bi]區域的均布載荷qi轉化為載荷集度函數為：

2）將作用于ah點的集中載荷轉化為載荷集度函數為：

3）作用在ak處的軸承支反力的載荷集度載荷函數為：

4）將作用于aj點的外力偶轉化為載荷集度函數為：

綜合式（8）～式（11），并結合梁彎曲變形疊加原理，可得到軸系的載荷集度函數表達式：

對載荷集度函數依次積分可得到軸系剪力、彎矩、截面轉角及撓曲線方程，當q（x）中各項均由奇異函數表達時，在求解軸系剪力與彎矩時為定積分，故可得：

剪力方程

彎矩方程

截面轉角方程

撓曲線方程

式中：C，D為可由邊界條件確定的積分常數。

軸系校中實質是軸承標高的改變，采用不同軸系校中方案，各軸承支撐處的軸線撓曲度也不同，已知某特定校中方案下各軸承支點處的軸承標高為Y（xi），結合軸系靜力平衡條件：1）力平衡條件qi(bi?ai))=0；2）力矩平衡條件，即可求得該方案下各軸承載荷 R1······Rl與積分常數 C，D。結合求出的各變量與已知載荷函數，可反向推出軸系的狀態參數，得到軸系校中結果。

2 推進軸系校中模型

以某型船舶主推進軸系為例，依據軸系簡化基本原則[3]與以上校中計算方法，構建其校中計算模型。該船舶推進軸系結構如圖2所示，軸系總長為20.270 0 m，由首至尾依次為主推進裝置、輪胎離合器、中間軸承、經航電機、彈性聯軸器、推力軸承、尾前軸承、尾中軸承、尾后軸承、螺旋槳。整個軸系為中空結構，內徑為0.120 0 m，尾軸軸段外徑為0.270 0 m，推力軸段與中間軸段外徑均為240.0 mm，螺旋槳質量為3 940 kg，推力盤質量為686.5 kg，彈性聯軸器質量為426 kg，輪胎離合器質量為3 000 kg，軸系材料密度為7 800 kg/m3，彈性模量為2.1E11 N/ m3。

圖2 某船舶推進軸系結構示意圖Fig. 2 The schematic diagram of ship propulsion shafting

2.1 軸系的簡化

在對推進軸系開展校中計算前，需要對軸系各結構要素進行合理簡化，如軸段的自重、軸系上作用的載荷、外力及支反力的作用點、推力盤、輪胎離合器等，以確保理論計算結果與軸系實際校中后的狀態在一定的精度要求范圍內相吻合。

對以上主推進軸系作簡化如下：

1）軸段自重的簡化

在推進系統中，軸段以連續質量的形式作用于各軸承上，因而對模型進行處理時，將其視為均布載荷，由于與軸承接觸處的軸徑比相鄰軸段稍大，將軸徑與同長度相鄰軸段質量差簡化為集中載荷，并作用于各軸承上。該軸系尾軸與中間軸、推力軸外徑不一致，故需進行分段加載。根據以上軸系直徑與材料參數，可求得各軸段質量及軸承接觸處軸徑與同長度相鄰軸段質量差，采用均布載荷與集中載荷分別將它們加載于軸系如圖3所示。圖中q1為尾軸軸段自重簡化后的均布載荷；q2為推力軸及中間軸自重簡化后的均布載荷；F2，F3，F4分別為尾后軸承，尾中軸承，尾前軸承處軸徑與同長度相鄰軸段質量差簡化后的集中載荷。

圖3 某船舶推進軸系載荷分布圖Fig. 3 Load distribution of ship propulsion shafting

2）載荷的簡化

作用在軸系上的載荷，如螺旋槳、推力盤、彈性聯軸器、輪胎離合器等均作為施加在軸上的集中載荷處理（見圖3），圖中F1為螺旋槳質量簡化后的集中載荷，F5為推力盤質量及船體通過推力盤作用在軸系上的力簡化后的集中載荷，F6為彈性聯軸器質量及經航電機通過彈性聯軸器作用在軸段上的力簡化后的集中載荷，F7為輪胎離合器質量簡化后的集中載荷。

3）軸承支點的簡化

除尾后軸承外，其它各軸承支點位置均取軸承長度中點。對于不同材料的尾軸后軸承，其支點位置的選取方式也不同，常以支點距軸承襯套后端面的距離S取推薦值來確定支點位置（其中B為軸襯長度、D為尾軸后軸承孔直徑）：

在該計算模型中S取0.3B。簡化結果見圖3。R1，R2，R3，R4，R5分別為尾后軸承、尾中軸承、尾前軸承、推力軸承、中間軸承載荷及其作用點位置。

4）軸的簡化

校中計算時將軸系視為放置在剛性鉸鏈支座上的連續梁，在建立物理模型時對軸的有關部分作如下簡化：

①軸系中每個軸承都視為梁的一個實支座；

②軸系尾端懸伸于尾軸后軸承外，作自由端處理；

③軸系通過輪胎離合器與主機主軸相連，計算模型首端取到輪胎離合器從動部分，且作自由端處理；

④階梯軸系各段剛度差小于30%時，軸系抗彎剛度可視為常數，故只要在以上軸系模型簡化時對軸段自重進行合理簡化，可將整個軸系看作等剛度均勻軸。

2.2 校中計算模型的構建

由以上實船推進軸系載荷分布圖，結合式（8）～式（16）可列出該軸系總的載荷集度、剪力、轉矩、截面轉角及撓曲線方程。又已知該船舶軸系直線校中及負荷校中2種校中方案下各軸承標高數據如表1所示。表中軸系各軸承由尾至首依次編號為1#～5#軸承，其中直線校中時各軸承標高都恒定為0，負荷校中時2#與3#軸承標高的改變主要是為了使各軸承負荷在標高改變后都處于規定的范圍內，這是經反復校中優化計算后得到的結果。將這2組數據代入軸系撓曲線方程，分別可列出由5個軸承支點處撓曲線方程綜合所構成的線性方程組，結合軸系固有的2個靜力平衡條件，可以求得2種校中方案下的各軸承載荷R1～R5與積分常數C，D。將各軸承載荷回代入軸系剪力、彎矩、截面轉角方程，即可得到該船舶軸系任一軸向位置的狀態參數。

表1 軸承標高表（mm）Tab. 1 Height of bearings (mm)

3 校中計算結果

根據上述某型船舶主推進軸系校中模型，對該船軸系直線校中、負荷校中2種校中方案進行校中計算。其中各軸承載荷計算結果如表2所示。由表中可以看出，直線校中狀態下，該軸系1#軸承載荷較其它軸承載荷明顯偏大，這是由于軸系尾部懸臂安裝著重且大的螺旋槳，同時這也使得2#軸承的載荷偏小，在軸系運轉時存在脫空的可能。負荷校中狀態下，1#軸承載荷有所改善，2#軸承的載荷則明顯加大，整個軸系軸承負荷分配更為均勻。

表2 校中計算軸承負荷結果對比表Tab. 2 Comparison of bearing load in alignment calculation

在此基礎上進一步計算了2種不同校中方案下，軸系軸向位置各點的剪力、彎矩、截面轉角及撓曲度，計算結果如圖4和圖5所示。由圖4可知，2種不同校中方案下，軸系總的剪力與彎矩改變較少，只是在部分軸段有所不同，剪力與彎矩改變量最大位置都位于尾中間軸承附近，最大改變量分別為0.6829×104N與3.1044×104N·m。由圖5可知，校中方案改變對軸系截面轉角影響較大，負荷校中后，軸系的截面轉角曲線更陡，截面轉角變化率較直線校中時變大；工程規范中要求軸系校中后，尾后軸承處軸段截面轉角不應大于3.5×10–4rad，否則需對后軸承進行斜鏜孔處理[11]。在這2種校中方案下，后軸承處的軸段截面轉角均大于該數值，故需對尾后軸承進行斜鏜孔。撓度曲線直觀地反映出軸系校中后軸系靜態條件下軸向位置各處的變形量，2種校中方案下，尾軸軸段都存在不同程度的“中拱”現象，負荷校中時，“中拱”的峰值變大且向船首方向移動，整個軸系的變形比直線校中時為更明顯。

圖4 軸系剪力與彎矩圖Fig. 4 Shear force and bending moment of shafting

圖5 軸系截面轉角與撓曲度圖Fig. 5 Sectional angle deflection of shafting

4 結 語

以上計算結果表明，運用本文推導出的計算方法能快速有效地求解軸系在不同校中方案下的各狀態參數。直線校中、負荷校中2種不同校中方案下，負荷校中狀態時各軸承負荷分布更為合理；校中方案的改變對軸系所受剪力、彎矩影響相對較小，但各軸段截面轉角及軸系撓度有明顯變化，這是由于軸系截面轉角與撓度是載荷集度函數的高次積分。

本文基于梁變形微分方程與奇異函數推導出的校中計算方法能較好地適應船舶推進軸系校中計算的要求，為實船軸系校中方案的選取與評估提供了理論參考。