基于多項式的二維PSD非線性校正算法研究

張基明

(中國船舶重工集團公司第七一三研究所，河南 鄭州 450015)

0 引 言

某型發射裝置導軌直線度是該裝置的關鍵指標之一，總裝過程中，可利用基于PSD的準直激光線位置檢測裝置對導軌直線度進行校準。由于位置敏感探測器PSD光敏面上電阻率的非均勻性，導致了PSD輸出位置標注產生非線性誤差[1]。由于制造工藝的不同，PSD的非線性誤差大小不同，根據PSD的非線性程度不同，通常把PSD的光敏面人為地劃分成A區和B區[2]。如圖1所示，A區為中心區，其線性度好，測量誤差小；B區為邊緣區，其非線性誤差較大，測量誤差也較大。誤差較大不能滿足發射裝置導軌直線度校準要求，因此需要對準直激光線位置檢測裝置進行標定來提高測量精度。一般采用硬件補償或軟件方法對PSD的非線性進行校正，來提高測量精度。

圖1 PSD的A區和B區Fig. 1 Regions A and B of PSD

硬件補償非線性校正，主要在信號處理部分加入硬件校正環節，該方法電路設計復雜，實現困難且不具有通用性。基于硬件方法的不足，隨著現代計算機、微處理器運算速度越來越快，利用軟件實現非線性校準受到很多學者的青睞。常用的非線性校準校正方法主要有：查表法、反函數法、曲線擬合法、分段內插法、雙一次、雙二次插值法及神經網絡法[3–5]。查表法需要存儲大量數據，精度要求越高，查找時間就越長[6]。BP神經網絡按照均方差的梯度下降方向收斂，會有局部極小值問題的存在；學習算法的收斂速度慢，且收斂速度與初始權的選擇有關；新加入的樣本會影響到已選好的樣本[7]。

本文根據PSD傳感器輸出數據的特點，提出利用二元多項式校正PSD的非線性。采用精度遠大于待測裝置的二維平移臺獲取被測位置坐標真值，根據PSD位置檢測裝置輸出的坐標位置與二維平移臺上讀取的標準坐標位置之間的對應關系進行校準，并取得較好的校正效果。

1 多項式校正非線性算法

工藝上用于制作PSD材料的非均勻性往往呈現出一種緩慢的梯度變化，PSD表面的電阻率也相應地呈現出了緩慢的梯度變化。因此，整個PSD表面上光斑的位置誤差函數也為一梯度曲面。將此函數離散化后，得到一系列網格點陣上的誤差值，利用曲線擬合的方法找出誤差函數，非網格點上的誤差值可由誤差函數計算得到。利用測量值減去誤差值即可得到PSD測量的光斑位置的逼近值。

由PSD的原理可知，PSD在x，y方向上的非線性誤差是相對獨立的，對PSD光敏面上每一點測量值有x方向上的誤差值：，y方向上的誤差值。通過上述原始數據測量方法可得到二維平移臺測得的標準值以及與其相對應的PSD的輸出值，從而可計算出PSD表面網格點陣上每點的誤差值Ex(xi,yj),Ey(xi,yj)，即

式中：xi，yj為PSD的輸出位置坐標值；xi0，yj0為二維平移臺測得的標準位置坐標值；Ex(xi,yj),Ey(xi,yj)是關于x，y的二元多項式。根據非線性特點，可以選擇二次、三次、四次……等多項式進行擬合，實驗中，分別對二次、三次、四次多項式進行擬合實驗。

二次多項式為：

三次多項式為：

四次多項式為：

多項式擬合主要是其系數的計算，以三次多項式為例說明多項式系數的計算方法。利用測得的n組位置坐標并根據式（1）與式（2）計算出，把位置坐標代入式（5）與式（6）可得2n組方程。

令

則可得方程組AX=B，這是一個超靜定方程組。利用最小二乘法[8]求解方程組中的系數得：

把求得的系數代入式（5）與式（6）即可得到測量值與標準值的誤差:

再用測量值減去誤差即可計算出PSD實際的輸出位置值：

式中：XR，YR為校正后的實際位置值；Xout，Yout為PSD測量的輸出位置值；?x ，?y為通過擬合多項式Ex(x,y)，Ey(x,y)計算出的位置誤差。

利用VC編寫程序實現算法，具體程序實驗步驟如下：

1）編寫打開文件程序，從文件中讀取PSD位置檢測裝置測量的位置坐標，即讀取用來校正的原始數據存儲在數組中。

2）根據二維平移臺測量的數據與PSD輸出的位置坐標，利用式（1）與式（2）分別計算出Δx，Δy。

3）利用循環結構計算出每個坐標對應方程的冪次項。

4）利用CMatrix類計算矩陣A與矩陣B，通過矩陣的運算求得矩陣X。

5）利用式（11）與式（12）對每一個位置坐標進行修正，求出修正后的均方差，最后把校正后的結果輸出到文件中。

2 二維PSD標定系統

二維PSD標定系統由二維平移臺、激光發射裝置、導軌、待測裝置組成。選擇標準導軌，利用經緯儀校準其直線度。在導軌的一端把二維平移臺垂直固定在標準長導軌上，把激光發射裝置固定在二維平移臺上。在導軌的另一端固定位置檢測裝置，并使PSD表面與導軌垂直，從而保證了激光光斑能夠垂直打在PSD表面上。

2.1 二維平移臺選擇

標定系統中選擇上海正信光學儀器有限公司的二維平移臺，其結構設計緊湊，在小的體積內實現兩軸平移調整，并且兩軸正交精度高，左右手成對設計，兩軸的測微頭安裝在同一個水平面上，方便操作。該平移臺行程15 mm，最小刻度0.01 mm，靈敏度0.002 mm，完全能夠滿足校準本設備0.01 mm的精度要求。其結構圖如圖2所示。

2.2 光源選擇

在準直激光線位置檢測系統中，由于激光具有高亮度、高單色性、高方向性等特點，設計中選用半導體激光器作為光源。半導體激光器是以一定的半導體材料做工作物質而產生受刺激發射作用的器件，其工作原理是通過一定的激勵方式，利用半導體物質在能帶間躍遷發光，用半導體晶體的解理面形成2個平行反射鏡面作為反射鏡，組成諧振腔，使光振蕩、反饋、產生光的輻射放大，輸出激光。

圖2 二維平移臺結構圖Fig. 2 Structure diagram of two-dimensional translation table

根據二維PSD的頻譜響應特性可知PSD對930 nm波長的光響應靈敏度最大，但由于可見光波長范圍為350 ~ 770 nm之間，波長930 nm的光為不可見光，考慮到實際測量時的方便性，在實際應用時選用波長630 nm的可見紅色激光作為激光源。其光斑直徑2 mm，功率5 mW。

2.3 PSD的選擇

根據實際測量需求，在所設計的檢測裝置中采用二維枕型PSD-1515型PSD，該PSD具有位置分辨率高、光譜響應寬、響應速度快、位置和光強同時測量、不受光斑的約束、可靠性高等特點，在工業工程領域得到廣泛應用。具體可應用在光學位置和角度的探測、光學遙測系統、位移和振動測量、激光對中和準直、距離測試、人類運動姿態分析等領域。枕型PSD的結構如圖3所示。

圖3 枕型PSD結構Fig. 3 Occipital PSD structure

PSD-1515具體參數：有效光敏區為15 mm*15 mm，分辨率1 μm，響應時間1 μs，響應光譜范圍380 ~1 100 nm，反偏電壓為6 V。

3 原始數據測量方法

1）首先調整二維平移臺使得光斑打在PSD中心位置，即令位置檢測裝置輸出坐標為（0，0）位置。

2）移動二維平移臺，向左移動3 mm，向下移動3 mm，使得光斑打在PSD左下角，標準位置坐標（–3，–3）。

3）固定二維平移臺左右方向位置不動，上下方向移動二維平移臺帶動激光發射器移動，每移動0.5 mm記錄一次測量結果。測量13組數據，即位置坐標為（–3，3）。

4）向右移動二維平移臺0.5 mm，然后上下移動二維平移臺同樣每隔0.5 mm記錄一次結果，直到位置坐標為（–2.5，–3）為止。

5）重復上述過程，測量整個PSD平面，直到光斑位置坐標（3，3）時結束，這樣可測得169個點坐標。

4 非線性校正實驗結果分析

實驗中測得12組數據，利用Matlab畫出位置坐標在平面中的點圖，每組實驗數據都有相似的特點，其中一組數據點圖如圖4所示。通過點圖分析PSD光斑的非線性呈現一定規律：點圖分布呈中心對稱，四個象限的誤差具有相似特性，并且在PSD的中心區域（即坐標為（0，0）位置附近的區域）其誤差較小，距離中心區域越大，其非線性越大，測試數據符合PSD的特性，即中心區域的A區線性度好，距離中心區域遠的B區線性度差的特點。由于測試數據是每隔0.5 mm的測量結果，其理想位置應該都是坐標虛線的交點處，根據點圖分布可看出PSD的非線性呈現平滑的曲線，因此采用多項式擬合。

圖4 原始實驗數據點圖Fig. 4 Original experimental data point diagram

利用二次多項式校正后的數據結果畫出的數據點圖如圖5所示。

圖5 二次多項式校正結果Fig. 5 Quadratic polynomial correction result

從圖4中可看出，利用二次多項式對PSD進行非線性校正其效果不好，非線性誤差仍然很大。通過計算可得校正后的均方差x方向均方差為0.093 6，y方向均方差為0.096 2。均方差仍很大，不能滿足裝置精度要求。

利用三次多項式校正后的數據結果畫出的點圖如圖6所示。從圖中可看出校正后的數據其非線性明顯得到修正。中心區域的最大誤差小于0.01 mm，最外層的校正效果還不是很理想，這符合PSD的特性，即中心區域線性度好，距離中心區域越遠其非線性度越大。其校正后均方差分別為：x=0.015 8，y=0.015 5。其均方差已經很小，能夠滿足裝置測量精度要求。

利用四次多項式校正后數據位置點圖如圖7所示。

從圖7可以看出其校正效果較好，比較圖6與圖7，可得出利用三次多項式與四次多項式校正的結果相似。利用四次多項式校正后的均方差分別為x=0.015 7，y=0.015 4，其均方差與三次校正后的均方差相近，其非線性校正效果沒有得到更好的改善。

圖6 三次多項式校正結果Fig. 6 Cubic polynomial correction result

圖7 四次多項式校正結果Fig. 7 Quartic polynomial correction result

根據多項式系數分析，x方向偏差校正多項式中x冪次項前的系數較大，因此x方向偏差主要由x坐標值決定，y方向同理。分析四次多項式中四次項前的系數，x方向偏差校正多項式中四次項系數分別為：–0.000 094，–0.000 061，–0.000 052，–0.000 049，–0.000 039，y方向偏差校正多項式中四次項系數分別為：–0.000 041，0.000 001，–0.000 034，0.000 051，–0.000 045，其系數都很小，對非線性校正作用很小。由此可推出高于四次的多項式其校正效果相似，因此，設計中采用三次多項式校正PSD的非線性。

為了驗證校正后的效果，在PSD光敏面多個不同位置測量數據進行校正，其中在位置為0，±0.6 mm，±1.2 mm，±1.8 mm，±2.4 mm，±3.0 mm處測得的一組數據如圖8所示。

利用式(11)與式(12)求出偏差，校正后的結果如圖9所示。

校正后的均方差為：x方向0.018 5，y方向0.011 7。從圖9可看出，中心校正結果較好，利用中心區域進行發射裝置導軌直線度校準可滿足測量要求。

圖8 原始數據點圖Fig. 8 Original data point diagram

圖9 校正后的結果Fig. 9 Corrected result