五圓弧平底蛋形斷面隧洞臨界水深的簡易算法

許曉陽，張根廣，王愉樂

（西北農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院，陜西楊凌712100）

五圓弧平底蛋形斷面是文獻［1］中規(guī)定的5種水工隧洞專用斷面之一，與四圓弧斷面、六圓弧斷面相比，五圓弧平底蛋形斷面將底拱改為了平底，因此該形斷面不僅具有蛋形斷面的優(yōu)點，即受力條件好、水力性能優(yōu)越，而且具有斷面結(jié)構(gòu)簡單和施工尺寸容易控制等優(yōu)點，是廣泛采用的斷面形式之一。

臨界水深是輸水隧洞設(shè)計及水力計算中控制水流形態(tài)變化的重要參數(shù)，其傳統(tǒng)計算方法有試算法、迭代法和查圖法等，計算過程繁瑣，一般無法直接給出解析解。因此，為了給工程應(yīng)用提供簡單的計算公式，研究五圓弧平底蛋形斷面的臨界水深計算公式就顯得非常必要。目前，國內(nèi)外學(xué)者的研究多集中在四圓弧、六圓弧和馬蹄形等斷面的水力計算。張志昌等［2］根據(jù)明渠均勻流基本理論、明渠恒定非均勻流基本理論和平底明渠水躍的基本方程，提出了標準Ⅰ型四圓弧蛋形斷面正常水深、臨界水深、水躍共軛水深、水面曲線的計算方法；卞曉衛(wèi)等［3］利用1stOpt軟件，基于遺傳算法，對給定的非線性函數(shù)模型進行了參數(shù)優(yōu)化擬合，建立了蛋形斷面正常水深和臨界水深的顯性計算公式；文輝等［4］應(yīng)用擬合法提出了蛋形斷面管道臨界水深近似計算公式；滕凱［5］依據(jù)優(yōu)化擬合理論，以標準剩余差最小為目標函數(shù)，通過對4個分段函數(shù)的逼近擬合，獲得了六圓弧蛋形斷面臨界水深通用計算公式；李若冰等［6］根據(jù)明渠恒定非均勻流理論，按照分塊計算面積的方法，詳細推導(dǎo)了六圓弧蛋形斷面臨界水深和收縮斷面水深的迭代計算公式，并根據(jù)優(yōu)化擬合研究了臨界水深的簡化計算方法；文輝等［7］通過對平底Ⅰ型馬蹄形斷面臨界流方程進行數(shù)學(xué)變換，應(yīng)用擬合原理得到了平底Ⅰ型馬蹄形斷面臨界水深的近似計算公式；滕凱［8］依據(jù)優(yōu)化擬合理論，以標準剩余差最小為目標函數(shù)，在工程適用參數(shù)范圍內(nèi)擬合得到了一個形式簡單、便于應(yīng)用的通用簡化公式；武周虎［9］在分段曲線擬合和優(yōu)化分析的基礎(chǔ)上，分別給出了德式蛋形斷面以正常水深模數(shù)和以臨界水深模數(shù)為自變量的充滿度直接計算公式；張志昌等［10］根據(jù)面積分割法計算了六圓弧蛋形斷面的面積、濕周和水力半徑，根據(jù)明渠均勻流理論計算了不同流量時渠道的正常水深，通過優(yōu)化擬合研究了蛋形斷面正常水深的簡單計算方法。但是，對于五圓弧平底蛋形斷面形式的臨界水深計算尚未見到研究成果，為此，本文計算了五圓弧平底蛋形斷面的水力要素方程，得到了3種典型斷面的過水斷面面積和水面寬度，并對臨界水深的基本計算公式進行數(shù)學(xué)變換，對無量綱臨界水深和無量綱參數(shù)的關(guān)系進行研究分析，利用優(yōu)化擬合理論，在工程適用范圍內(nèi)推導(dǎo)了3種典型五圓弧平底蛋形斷面臨界水深的簡易計算公式。

1 五圓弧平底蛋形斷面臨界水深的基本計算公式

根據(jù)水力學(xué)［11］定義，當明渠的流量、斷面形狀保持不變時，相應(yīng)于斷面比能最小值的水深稱為臨界水深。據(jù)此可以得到平底明渠臨界水深的基本計算公式為

式中：α為流速分布不均勻系數(shù)，通常取1.0；Q為設(shè)計流量，m3/s；g 為重力加速度，取 9.8 m/s2；Ak為臨界水深時過水斷面面積，m2；Bk為臨界水深時過水斷面的水面寬度，m。

1.1 五圓弧平底蛋形斷面形狀特征參數(shù)

五圓弧平底蛋形斷面形狀見圖1，是由5段圓弧和底部直線段組成的封閉斷面，即由半徑分別為r1、r2和r3的5段圓弧和長度為b-2r1的直線段組成，最大寬度為b，最大洞高為H。圓弧段對應(yīng)圓心角如圖1所示，底部水平直線段兩端的圓弧段圓心角為0.5π，中部扇形區(qū)域圓心角為θ，頂拱段圓弧對應(yīng)的圓心角為π-2θ。

圖1 五圓弧平底蛋形斷面形狀參數(shù)

1.2 五圓弧平底蛋形斷面水力要素計算公式

五圓弧平底蛋形斷面水力要素計算參數(shù)如圖2所示，其中α、β、γ分別為水深位于底部圓弧區(qū)域、中部圓弧區(qū)域和拱頂區(qū)域時的輔助角度參數(shù)。根據(jù)五圓弧平底蛋形斷面形狀特征，若取無量綱水深為x（x＝h/b，h為洞內(nèi)水深），則不同水深處的過水斷面面積A和水面寬度B等水力要素可用分段函數(shù)表示。

圖2 五圓弧平底蛋形斷面水力要素計算參數(shù)

當水深位于底部圓弧形區(qū)域時（即0＜h≤r1），A、B的計算公式分別為

當水深位于中部圓弧區(qū)域時（即 r1＜h≤r2sin θ+r1），A、B 的計算公式分別為

當水深位于頂拱區(qū)域時（即r2sin θ+r1≤h），A、B的計算公式分別為

1.3 五圓弧平底蛋形典型斷面水力要素計算

水工設(shè)計手冊［1］給出了常用的無壓隧洞五圓弧平底蛋形典型斷面的形狀特征參數(shù)，斷面類型可分為Ⅰ型斷面、Ⅱ型斷面和Ⅲ型斷面，特征參數(shù)見表1。

表1 五圓弧平底蛋形典型斷面的形狀特征參數(shù)

將表1中3種典型斷面的形狀特征參數(shù)代入式（2）～式（4），即可得到3種五圓弧平底蛋形典型斷面的水力參數(shù)，結(jié)果見表2。

表2 五圓弧平底蛋形典型斷面水力參數(shù)

1.4 臨界水深的基本計算公式

將表2中3種五圓弧平底蛋形典型斷面的水力要素分別代入式（1），經(jīng)過簡單的數(shù)學(xué)變換，同時設(shè)無量綱綜合參數(shù)k為

經(jīng)簡單整理即可得到五圓弧平底蛋形斷面臨界水深的基本計算公式，本文僅給出Ⅰ型斷面臨界水深的基本計算公式，Ⅱ型、Ⅲ型斷面的基本計算公式結(jié)構(gòu)和Ⅰ型的類似。Ⅰ型斷面無量綱臨界水深在0≤x＜0.207、0.207≤x＜0.914、0.914≤x＜1 時的基本計算公式分別為

在實際工程應(yīng)用中，可以直接由Q和b求取k值，由式（6）可知，若已知k值，則可以由式（6）通過迭代或者試算求解無量綱臨界水深x，并通過下式計算斷面臨界水深hk為

對于Ⅰ型斷面的無量綱臨界水深基本計算公式，就數(shù)學(xué)意義而言，x理論取值范圍為0～1，但在實際工程中，在較小過流情況下實際意義不大。文獻［8］認為當水深小于整個隧洞洞高的0.05倍時可認為是較小過流情況，對于Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型斷面，當xⅠ≤0.05、xⅡ≤0.06、xⅢ≤0.07時，即可認為屬于較小過流情況。此外，《水工隧洞設(shè)計規(guī)范》（SL 279—2016）［12］中規(guī)定，隧洞中水面線以上空間面積不小于整個隧洞斷面面積的15%，或者水面線以上凈高不低于0.4 m。據(jù)此經(jīng)過試算，可以求得當 xⅠ≤0.745 8、xⅡ≤0.889 8、xⅢ≤1.048 2時符合規(guī)定，此時相應(yīng)的無量綱綜合參數(shù)kⅠ∈［0.040 6，0.763 2］、kⅡ∈［0.049 8，0.913 7］、kⅢ∈［0.054 7，1.069 2］。

2 臨界水深的近似公式及精度分析

2.1 臨界水深擬合公式的建立

根據(jù)前文所述計算公式，由無量綱綜合參數(shù)k來求解臨界水深計算較為繁瑣，無法直接給出解析解，因此需要得到臨界水深的簡易算法。以Ⅰ型斷面為例，在x的取值范圍內(nèi)以一定的步長值給定一組數(shù)值，將其代入式（6），即可求得相應(yīng)的k值。運用Matlab軟件采用最小二乘法求解目標函數(shù)，對散點（k，x）進行擬合分析，在擬合過程中根據(jù)散點圖的曲線形狀選取合適的用戶模型，使得擬合公式的相關(guān)系數(shù)最大，即可得到無量綱臨界水深的直接計算公式。

對于Ⅰ型斷面，有

Ⅱ型斷面無量綱臨界水深計算公式為

Ⅲ型斷面無量綱臨界水深計算公式為

若已知k值，則可以由式（8）～式（10）分別計算Ⅰ型斷面、Ⅱ型斷面和Ⅲ型斷面無量綱臨界水深x的數(shù)值解，并通過式（7）計算各斷面臨界水深。

2.2 臨界水深擬合公式精度分析

以Ⅰ型斷面為例分析擬合公式的精度。在已經(jīng)確定的無量綱臨界水深范圍內(nèi)給出xi的值，并將xi的值代入式（6）求ki的值，再將ki值代入式（8）求取無量綱臨界水深的近似值x′i，采用相對誤差比較給定的真值xi與求出的近似值 x′i（由式（11）計算），其相對誤差分布情況見圖3（a）。同理，可得出Ⅱ型斷面和Ⅲ型斷面擬合公式的誤差分布情況。

式中：yi為擬合的相對誤差；xi為真值；i為擬合公式精度分析的第i個數(shù)據(jù)。

圖3 五圓弧平底蛋形典型斷面臨界水深相對誤差分析

由圖3可知，當無量綱臨界水深x取值在工程適用范圍內(nèi)時，三種斷面最大相對誤差的絕對值小于0.24%，大部分區(qū)域相對誤差在0.1%內(nèi)正負波動，相對誤差的最大值多出現(xiàn)在無量綱臨界水深x取值范圍的端點處；在公式對應(yīng)的x取值范圍內(nèi)，隨著無量綱臨界水深x的增大，相對誤差的絕對值逐漸減小。由誤差分析可見，本文擬合得到的無量綱臨界水深直接計算公式可滿足工程需要，是3種五圓弧平底蛋形典型斷面臨界水深的簡易且高精度的計算方法。

3 應(yīng)用舉例

某五圓弧平底蛋形斷面引水隧洞，斷面最大寬度b＝8.6 m，設(shè)計流量為320 m3/s，校核流量為430 m3/s，利用本文擬合公式分別計算當采用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型斷面時的隧洞臨界水深hk。具體計算步驟：①計算k值，由k＝可得 k＝ 0.605 6，k＝ 0.737 5；②將 k值設(shè)計校核代入式（8）～式（10）相對應(yīng)的分段函數(shù)方程中，計算出無量綱臨界水深x值；③根據(jù)x＝h/b，可得到對應(yīng)的臨界水深hk值。

經(jīng)計算得，采用Ⅰ型斷面時，臨界水深的數(shù)值解分別為5.247 2、6.233 0，經(jīng)過Excel計算的臨界水深精確值分別為5.246 0、6.235 0 m，相對誤差絕對值分別為0.022 6%、0.032 1%；采用Ⅱ型斷面時，臨界水深的數(shù)值解分別為5.281 3、6.342 5 m，經(jīng)過Excel計算的臨界水深精確值分別為5.283 0、6.340 8 m，相對誤差絕對值分別為0.031 1%、0.032 3%；采用Ⅲ型斷面時，臨界水深的數(shù)值解分別為5.383 6、6.470 6 m，Excel計算的臨界水深精確值分別為5.357 9、6.473 2 m，相對誤差絕對值分別為0.073 9%、0.040 1%。由此可見，擬合公式精度很高，完全滿足工程需要。

4 結(jié) 論

五圓弧平底蛋形斷面臨界水深計算公式復(fù)雜，為分段的超越方程，求解過程繁瑣，且無法直接給出解析解。本文通過優(yōu)化擬合，在工程適用范圍內(nèi)推導(dǎo)了3種典型五圓弧平底蛋形斷面臨界水深的簡易計算公式，并對公式進行了精度分析，結(jié)果表明擬合公式的最大相對誤差絕對值小于0.24%，大部分區(qū)域相對誤差在0.1%內(nèi)正負波動，完全滿足實際工程的精度需要，同時，本文推導(dǎo)的公式結(jié)構(gòu)簡單、便于運算，即使使用簡單的計算器也可進行正確、高效的計算，實用性很強。