五圓弧平底蛋形斷面隧洞臨界水深的簡易算法

許曉陽，張根廣，王愉樂

（西北農林科技大學水利與建筑工程學院，陜西楊凌712100）

五圓弧平底蛋形斷面是文獻［1］中規定的5種水工隧洞專用斷面之一，與四圓弧斷面、六圓弧斷面相比，五圓弧平底蛋形斷面將底拱改為了平底，因此該形斷面不僅具有蛋形斷面的優點，即受力條件好、水力性能優越，而且具有斷面結構簡單和施工尺寸容易控制等優點，是廣泛采用的斷面形式之一。

臨界水深是輸水隧洞設計及水力計算中控制水流形態變化的重要參數，其傳統計算方法有試算法、迭代法和查圖法等，計算過程繁瑣，一般無法直接給出解析解。因此，為了給工程應用提供簡單的計算公式，研究五圓弧平底蛋形斷面的臨界水深計算公式就顯得非常必要。目前，國內外學者的研究多集中在四圓弧、六圓弧和馬蹄形等斷面的水力計算。張志昌等［2］根據明渠均勻流基本理論、明渠恒定非均勻流基本理論和平底明渠水躍的基本方程，提出了標準Ⅰ型四圓弧蛋形斷面正常水深、臨界水深、水躍共軛水深、水面曲線的計算方法；卞曉衛等［3］利用1stOpt軟件，基于遺傳算法，對給定的非線性函數模型進行了參數優化擬合，建立了蛋形斷面正常水深和臨界水深的顯性計算公式；文輝等［4］應用擬合法提出了蛋形斷面管道臨界水深近似計算公式；滕凱［5］依據優化擬合理論，以標準剩余差最小為目標函數，通過對4個分段函數的逼近擬合，獲得了六圓弧蛋形斷面臨界水深通用計算公式；李若冰等［6］根據明渠恒定非均勻流理論，按照分塊計算面積的方法，詳細推導了六圓弧蛋形斷面臨界水深和收縮斷面水深的迭代計算公式，并根據優化擬合研究了臨界水深的簡化計算方法；文輝等［7］通過對平底Ⅰ型馬蹄形斷面臨界流方程進行數學變換，應用擬合原理得到了平底Ⅰ型馬蹄形斷面臨界水深的近似計算公式；滕凱［8］依據優化擬合理論，以標準剩余差最小為目標函數，在工程適用參數范圍內擬合得到了一個形式簡單、便于應用的通用簡化公式；武周虎［9］在分段曲線擬合和優化分析的基礎上，分別給出了德式蛋形斷面以正常水深模數和以臨界水深模數為自變量的充滿度直接計算公式；張志昌等［10］根據面積分割法計算了六圓弧蛋形斷面的面積、濕周和水力半徑，根據明渠均勻流理論計算了不同流量時渠道的正常水深，通過優化擬合研究了蛋形斷面正常水深的簡單計算方法。但是，對于五圓弧平底蛋形斷面形式的臨界水深計算尚未見到研究成果，為此，本文計算了五圓弧平底蛋形斷面的水力要素方程，得到了3種典型斷面的過水斷面面積和水面寬度，并對臨界水深的基本計算公式進行數學變換，對無量綱臨界水深和無量綱參數的關系進行研究分析，利用優化擬合理論，在工程適用范圍內推導了3種典型五圓弧平底蛋形斷面臨界水深的簡易計算公式。

1 五圓弧平底蛋形斷面臨界水深的基本計算公式

根據水力學［11］定義，當明渠的流量、斷面形狀保持不變時，相應于斷面比能最小值的水深稱為臨界水深。據此可以得到平底明渠臨界水深的基本計算公式為

式中：α為流速分布不均勻系數，通常取1.0；Q為設計流量，m3/s；g 為重力加速度，取 9.8 m/s2；Ak為臨界水深時過水斷面面積，m2；Bk為臨界水深時過水斷面的水面寬度，m。

1.1 五圓弧平底蛋形斷面形狀特征參數

五圓弧平底蛋形斷面形狀見圖1，是由5段圓弧和底部直線段組成的封閉斷面，即由半徑分別為r1、r2和r3的5段圓弧和長度為b-2r1的直線段組成，最大寬度為b，最大洞高為H。圓弧段對應圓心角如圖1所示，底部水平直線段兩端的圓弧段圓心角為0.5π，中部扇形區域圓心角為θ，頂拱段圓弧對應的圓心角為π-2θ。

圖1 五圓弧平底蛋形斷面形狀參數

1.2 五圓弧平底蛋形斷面水力要素計算公式

五圓弧平底蛋形斷面水力要素計算參數如圖2所示，其中α、β、γ分別為水深位于底部圓弧區域、中部圓弧區域和拱頂區域時的輔助角度參數。根據五圓弧平底蛋形斷面形狀特征，若取無量綱水深為x（x＝h/b，h為洞內水深），則不同水深處的過水斷面面積A和水面寬度B等水力要素可用分段函數表示。

圖2 五圓弧平底蛋形斷面水力要素計算參數

當水深位于底部圓弧形區域時（即0＜h≤r1），A、B的計算公式分別為

當水深位于中部圓弧區域時（即 r1＜h≤r2sin θ+r1），A、B 的計算公式分別為

當水深位于頂拱區域時（即r2sin θ+r1≤h），A、B的計算公式分別為

1.3 五圓弧平底蛋形典型斷面水力要素計算

水工設計手冊［1］給出了常用的無壓隧洞五圓弧平底蛋形典型斷面的形狀特征參數，斷面類型可分為Ⅰ型斷面、Ⅱ型斷面和Ⅲ型斷面，特征參數見表1。

表1 五圓弧平底蛋形典型斷面的形狀特征參數

將表1中3種典型斷面的形狀特征參數代入式（2）～式（4），即可得到3種五圓弧平底蛋形典型斷面的水力參數，結果見表2。

表2 五圓弧平底蛋形典型斷面水力參數

1.4 臨界水深的基本計算公式

將表2中3種五圓弧平底蛋形典型斷面的水力要素分別代入式（1），經過簡單的數學變換，同時設無量綱綜合參數k為

經簡單整理即可得到五圓弧平底蛋形斷面臨界水深的基本計算公式，本文僅給出Ⅰ型斷面臨界水深的基本計算公式，Ⅱ型、Ⅲ型斷面的基本計算公式結構和Ⅰ型的類似。Ⅰ型斷面無量綱臨界水深在0≤x＜0.207、0.207≤x＜0.914、0.914≤x＜1 時的基本計算公式分別為

在實際工程應用中，可以直接由Q和b求取k值，由式（6）可知，若已知k值，則可以由式（6）通過迭代或者試算求解無量綱臨界水深x，并通過下式計算斷面臨界水深hk為

對于Ⅰ型斷面的無量綱臨界水深基本計算公式，就數學意義而言，x理論取值范圍為0～1，但在實際工程中，在較小過流情況下實際意義不大。文獻［8］認為當水深小于整個隧洞洞高的0.05倍時可認為是較小過流情況，對于Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型斷面，當xⅠ≤0.05、xⅡ≤0.06、xⅢ≤0.07時，即可認為屬于較小過流情況。此外，《水工隧洞設計規范》（SL 279—2016）［12］中規定，隧洞中水面線以上空間面積不小于整個隧洞斷面面積的15%，或者水面線以上凈高不低于0.4 m。據此經過試算，可以求得當 xⅠ≤0.745 8、xⅡ≤0.889 8、xⅢ≤1.048 2時符合規定，此時相應的無量綱綜合參數kⅠ∈［0.040 6，0.763 2］、kⅡ∈［0.049 8，0.913 7］、kⅢ∈［0.054 7，1.069 2］。

2 臨界水深的近似公式及精度分析

2.1 臨界水深擬合公式的建立

根據前文所述計算公式，由無量綱綜合參數k來求解臨界水深計算較為繁瑣，無法直接給出解析解，因此需要得到臨界水深的簡易算法。以Ⅰ型斷面為例，在x的取值范圍內以一定的步長值給定一組數值，將其代入式（6），即可求得相應的k值。運用Matlab軟件采用最小二乘法求解目標函數，對散點（k，x）進行擬合分析，在擬合過程中根據散點圖的曲線形狀選取合適的用戶模型，使得擬合公式的相關系數最大，即可得到無量綱臨界水深的直接計算公式。

對于Ⅰ型斷面，有

Ⅱ型斷面無量綱臨界水深計算公式為

Ⅲ型斷面無量綱臨界水深計算公式為

若已知k值，則可以由式（8）～式（10）分別計算Ⅰ型斷面、Ⅱ型斷面和Ⅲ型斷面無量綱臨界水深x的數值解，并通過式（7）計算各斷面臨界水深。

2.2 臨界水深擬合公式精度分析

以Ⅰ型斷面為例分析擬合公式的精度。在已經確定的無量綱臨界水深范圍內給出xi的值，并將xi的值代入式（6）求ki的值，再將ki值代入式（8）求取無量綱臨界水深的近似值x′i，采用相對誤差比較給定的真值xi與求出的近似值 x′i（由式（11）計算），其相對誤差分布情況見圖3（a）。同理，可得出Ⅱ型斷面和Ⅲ型斷面擬合公式的誤差分布情況。

式中：yi為擬合的相對誤差；xi為真值；i為擬合公式精度分析的第i個數據。

圖3 五圓弧平底蛋形典型斷面臨界水深相對誤差分析

由圖3可知，當無量綱臨界水深x取值在工程適用范圍內時，三種斷面最大相對誤差的絕對值小于0.24%，大部分區域相對誤差在0.1%內正負波動，相對誤差的最大值多出現在無量綱臨界水深x取值范圍的端點處；在公式對應的x取值范圍內，隨著無量綱臨界水深x的增大，相對誤差的絕對值逐漸減小。由誤差分析可見，本文擬合得到的無量綱臨界水深直接計算公式可滿足工程需要，是3種五圓弧平底蛋形典型斷面臨界水深的簡易且高精度的計算方法。

3 應用舉例

某五圓弧平底蛋形斷面引水隧洞，斷面最大寬度b＝8.6 m，設計流量為320 m3/s，校核流量為430 m3/s，利用本文擬合公式分別計算當采用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型斷面時的隧洞臨界水深hk。具體計算步驟：①計算k值，由k＝可得 k＝ 0.605 6，k＝ 0.737 5；②將 k值設計校核代入式（8）～式（10）相對應的分段函數方程中，計算出無量綱臨界水深x值；③根據x＝h/b，可得到對應的臨界水深hk值。

經計算得，采用Ⅰ型斷面時，臨界水深的數值解分別為5.247 2、6.233 0，經過Excel計算的臨界水深精確值分別為5.246 0、6.235 0 m，相對誤差絕對值分別為0.022 6%、0.032 1%；采用Ⅱ型斷面時，臨界水深的數值解分別為5.281 3、6.342 5 m，經過Excel計算的臨界水深精確值分別為5.283 0、6.340 8 m，相對誤差絕對值分別為0.031 1%、0.032 3%；采用Ⅲ型斷面時，臨界水深的數值解分別為5.383 6、6.470 6 m，Excel計算的臨界水深精確值分別為5.357 9、6.473 2 m，相對誤差絕對值分別為0.073 9%、0.040 1%。由此可見，擬合公式精度很高，完全滿足工程需要。

4 結 論

五圓弧平底蛋形斷面臨界水深計算公式復雜，為分段的超越方程，求解過程繁瑣，且無法直接給出解析解。本文通過優化擬合，在工程適用范圍內推導了3種典型五圓弧平底蛋形斷面臨界水深的簡易計算公式，并對公式進行了精度分析，結果表明擬合公式的最大相對誤差絕對值小于0.24%，大部分區域相對誤差在0.1%內正負波動，完全滿足實際工程的精度需要，同時，本文推導的公式結構簡單、便于運算，即使使用簡單的計算器也可進行正確、高效的計算，實用性很強。