一種基于繩驅動的蛇形臂設計與研究

杭亦文 傅劍 李纮

摘要：本文設計了一種繩驅動的蛇形機械臂，采用3繩索控制一個2自由度的關節，分析研究了它的關節空間、操作空間、驅動空間之間的映射關系，推導了繩索長度的變化值與關節角φ，β之間的數學關系;用DH法建立了運動學模型，通過仿真證明了所設計蛇形機械臂的合理性以及控制方法的有效性。

[關鍵詞]蛇形臂繩驅動D-H法

1引言

在現代工業中，機器人的使用越來越廣泛，但傳統工業機械臂由于尺寸、驅動配置和自由度的限制而難以滿足應用需求，蛇形機器臂作為一種超冗余機械臂，具有狹長而靈活的設計，尤其適應在復雜狹窄內腔的裝配場合中應用，此外，蛇形機械臂的一端相對于基座固定，而基座又可以安裝到不同載具上，極大擴展了蛇形機械臂的運動形式，因此已經引起了諸多學者的關注。

蛇形機械臂是一種連續型機器人，它的驅動方式一般采用電機直接驅動、氣壓液壓驅動、電機加繩驅動或者是特殊材料如記憶合金驅動等。在我國也有許多單位研究設計出了多種蛇形機械臂。

本文提出了一種蛇形機械臂物理結構，通過鋼絲繩進行驅動控制，重點分析了所設計的蛇形機械臂的關節空間、操作空間、驅動空間之間的映射關系，即是對連續型關節的正、逆運動學進行分析。

2蛇形機械臂的結構

該蛇形機械臂為欠驅動型的連續型機器人，為4個由繩索驅動的大關節組成，每個大關節長320mm，每4個小關節組成一個大關節，萬向節在每個小關節的中部，每個小關節長L=80mm，如圖1所示，關節中間采用橡膠套等，保證驅動時繩子的力能均勻有效傳遞。

按照傳統的驅動繩索與驅動電機一一對應的驅動方式，正交形式的關節至少需要4組繩索驅動機構才能實現2個自由度的控制，而相同條件下萬向節或柔性桿支撐連接形式只需要3組即可。因此我們設計每個大關節由3根繩索控制，繩索成圓周型均勻分布，半徑r=35mm，每2根繩索的角度差為120°，這樣控制的每個大關節具有2個自由度;一組驅動模塊控制4個大關節，共有8個自由度，12根繩索，其繩索均勻分布在支撐圓盤上，每個關節的控制繩組錯位30°，繩組分布如圖2所示。L;中i=1，2，3，4為繩索組號，j=1，2，3為每個關節的驅動繩編號。

分析這種結構模型可以知道其工作空間完全能夠滿足蛇形機械臂在狹小空間內的工作要求;每個大關節通過3根繩索驅動的方式使每個關節具有2個自由度，該結構十分容易實現角度反饋控制，因此在建模與控制方面有特殊的優勢。

3蛇形機械臂運動學建模

分析連續型機器人的運動學模型一般可以分2步進行：第一步，求得驅動繩長變化量L與關節角變化量φ，β之間的映射關系，即驅動空間與關節空間的關系;第二步，通過坐標變換推導關節角變量和末端位姿之間的關系，即關節空間與操作空間之間的關系。

3.1蛇形臂機器人單一關節分析

蛇形臂機器人的每個大關節由4個小關節組成，在3根繩索控制下，小關節共同發生偏轉，忽略摩擦力、重力等因素的影響，則4個小關節發生等角度彎曲，如圖3所示。

以蛇形臂中心軸在X一Y面的投影線與固定的第1個圓盤圓心和L11孔的連線的逆時針夾角為p，末端圓盤法線的偏轉角為β，每根繩子的長度變化量只和彎曲的方向φ以及彎曲的角度大小β有關。

我們先分析單個小關節在3根繩索控制下的變化情況，在圖1中已經說明萬向節在每個小關節的中部，這樣當繩長變化時，小關節彎曲情況正好繩索成平行狀態。我們在Z軸與A點組成的平面，上做投影，其圖形如圖4所示，可以分析知道成等腰梯形形狀，如果萬向節不在中心點，繩索不成平行狀態，則公式的推導要復雜很多。

蛇形臂的半徑為r，變形前小關節原長為L，以過L11的X軸方向為φ的初始方向，逆時針方向為正，當蛇形臂中心軸偏轉φ度的時候L11繩長為LX1.根據幾何關系可以推導出：

設計時每個小關節的最大偏轉角度為+20°，所以公式1中β∈[0，π/12]，φ∈[0，2π]

以此類推，可以得到同組中，另2根繩索的變化量

由于每個關節的4個小關節等角度彎曲，固在自身關節中3根繩索的變化總長度為單個小關節的4倍。

3.2蛇形臂機器人多關節分析

在本系統中4個大關節為一組，每3根為一組，共有12根繩索，每根繩索間隔30°（π/6），Lg中i=1，2，3，4為繩組號，j=1，2，3為每組繩中每根繩的編號。

將之前推導的繩長形變公式，推廣可以得到，第i組的j號繩子在第n個關節中的的形變公式為：

從圖5可以知道第1組繩索由4個關節的繩索形變組成，第2組繩索由3個關節的繩索形變組成，以此類推可知：

其中比如。

由此只要給定各個關節變量，就可以通過控制繩長來較精確地驅動關節運動。

3.3根據繩索形變值計算關節空間值

在進行反饋控制時，我們需要知道每個關節實時空間值φ與β，這可以通過繩索的變化量解耦計算出來，在每根繩長變化已知時，我們可以依次逐步地推導出全部關節所對應的關節空間值φ與β。

由公式（4）和公式（5）可以知道第4個關節的3根繩長形變量為

可以求得：

從公式（9）中可以得到2個角度差π的解，當NL41<0時φ為[π/2，3π/2]之間的解，△L41>0時ps為[0，π/2]或[3π/2，2π]之間的解。

當φ4與β4求出后，我們就可以求出0L°y再公式（4）和公式（5）同理可以求得3與βz：

依次我們可以推導出每個關節的φ與β，其結果為：

其中n=1，2，3，4對應關節號。△L"y由公式（4）和公式（5）求出。

故此我們可以得到，在繩長形變△L已知時，其計算過程為：

（1）由公式（5）算出第4組的DL*4/，其中j=（1，2，3）為繩索號。

（2）由公式（11）、公式（12）計算出φs和β4。

（3）由公式（4）算出第4組的OLy（即每組繩索在第4關節中的變化量）

其中i=（1，2，3）為繩索組號，j=（1，2，3）為繩索號。

（4）重復步驟1、2、3，分別計算出第3組、第2組、第1組的值。

3.4蛇形臂機器人DH表的建立

前面我們推導了蛇形臂機器人的驅動空間與關節空間的關系，我們還需要得到關節空間與操作空間之間的關系，即關節角變量和末端位姿之間的關系。

在DH法建立運動學模型中，我們知道2個關節坐標系轉換的變換矩陣為：

其中：θ：關節繞Z軸的旋轉角度。d：關節位移量。a：關節連桿長度。a：關節扭轉角。

C表示cos函數，S表示sin函數。總的變換矩陣為：

從圖3可以得到，每個大關節內部的4個小關節之間沒有繞Z軸旋轉，每個小關節繞X軸旋轉角度相同，大關節繞Z軸旋轉角度實際反映為第4小關節繞Z軸旋轉的角度。我們用Gk一j表示第k大關節中的第j小關節，則可以推導出該蛇形機械臂的DH參數表如表1所示。其中：φ、β、L對應于圖3中的參數。

其中i=1，.，16，把表中數據帶入公式（14），就可以得到基座到每個關節的轉換矩陣。我們在matlab上仿真證明了模型可行。

4總結

本文設計了一種采用3繩索驅動單關節的的蛇形機械臂，每個關節擁有2自由度。這種機械臂比正交關節型蛇形機械臂驅動繩索數量更少且驅動方式簡單。隨后重點分析了這種蛇形臂機器人中關節空間、操作空間、驅動空間之間的映射關系，對其運動學模型進行了分析，推導出了繩索長度的變化值與關節角φ、β之間的數學關系，并給出每個關節的關節角φ、β的計算步驟。最后用DH表法建立了該蛇形臂機器人正運動學方程，并進行了蛇形臂末端運動的matlab仿真，該分析法也可在其它線驅動機器人方面應用。

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