基于數學排隊論模型的通信網應用分析

黃 琳

（湖北工業(yè)職業(yè)技術學院，湖北 十堰 442012）

關鍵字：數學模型；排隊論；通信網應用

0 引 言

排隊是一種生活中常見的現象，如早晚高峰排隊乘車、排隊購票等。通信網的運行過程中，由于服務器資源有限，如果出現通信高峰，也會產生排隊現象。此時要充分考慮用戶的耐心，盡可能地減少用戶的排隊等待時間，避免用戶放棄使用服務。數學排隊論模型為通信網信息交換機制的優(yōu)化提供了新的方法。

1 數學排隊論模型的構建

早在1909年，丹麥數學家A.K.埃爾朗就提出了排隊論模型的概念，當時被稱為話務理論。A.K.埃爾朗通過對市內電話占線的現象進行觀察，在熱力學的統(tǒng)計平衡理論啟發(fā)下，嘗試建立話務統(tǒng)計平衡模型，得到了一組遞推狀態(tài)方程，這就是著名的電話損失率方程。20世紀初期，電話損失率方程一直是電話系統(tǒng)設計采用的重要模型公式。20世紀30年代后，前蘇聯、瑞典、美國及英國等國家的研究者紛紛對當時的話務理論進行研究，加快了排隊論的完善。20世紀70年代后，排隊論模型通過引入有限后效流、生滅過程、馬爾科夫鏈理論及分類方法等，逐漸得到了完善，能夠解決各種排隊問題。此時人們逐漸開始將研究焦點轉移到網絡排隊問題方面，促成了現代排隊論的形成[1]。數學排隊論又稱為隨機服務系統(tǒng)理論，主要對系統(tǒng)服務時間進行統(tǒng)計研究，確定等待時間、忙期長短及排隊長度等統(tǒng)計指標，根據統(tǒng)計學規(guī)律對系統(tǒng)結構或服務機制進行改進，通過重新組織服務對象等方式，提升系統(tǒng)服務效率[2]。

2 通信網信息交換機制

通信網是利用交換、傳輸設備將網絡中分散的用戶終端連接起來，并實現信息交換目的的網絡。最基本的通信網形式就是點對點通信連接，但現在一般意義上的通信網不包含這種方式，而是指多個終端設備在交換系統(tǒng)下按照一定拓撲結構進行連接和通信的網絡。通信網的三要素就是終端設備、傳輸通道及交換設備。現實中的通信網是一個非常龐大的網絡，需要借助數學模型對網絡通信機制進行設計和優(yōu)化，用數字和符號建立各要素之間的組成關系，并采用預測模型、優(yōu)化模型及描述模型等保證通信網的實際使用性能能符合用戶的需求。

排隊論模型屬于系統(tǒng)描述模型，針對擬定的組網方案，分析是否能夠達到各項預期指標，包括系統(tǒng)吞吐量、時延、呼損率及可靠性等。由于通信網設計是按照幾何拓撲學原理進行組網，系統(tǒng)內的數據流量十分龐大，在采用排隊論模型分析通信網流量使用情況時，分析過程并不簡單。排隊論模型的主要應用優(yōu)勢是可以準確地分析各節(jié)點、鏈路中的流量，指導設計人員對通信網信息交換機制進行優(yōu)化。通信網中的排隊現象與商業(yè)系統(tǒng)中的顧客排隊現象具有一定相似性，由于服務臺數量有限，當顧客源的數量規(guī)模超過服務臺總數后，就需要排隊等候服務，具體模型如圖1所示。如果通信網信息交換機制不合理，對系統(tǒng)服務資源分配及優(yōu)先級設定存在問題，則會導致排隊等候時間過長，超出顧客的等待極限，進而出現顧客損失[3]。

3 數學排隊論模型在通信網中的應用

3.1 排隊系統(tǒng)分析

利用數學排隊論模型對通信網進行設計優(yōu)化，需要對通信網排隊系統(tǒng)進行分析。通信網排隊系統(tǒng)即網絡服務系統(tǒng)，由服務器和用戶終端等組成，相當于商業(yè)系統(tǒng)中的服務臺和顧客。通信網中，用戶終端訪問服務器的時間和對服務資源占用的時間都是隨機的，分析過程中，可將排隊系統(tǒng)分解成輸入過程、到達規(guī)則、排隊規(guī)則、服務器結構、服務時間及服務規(guī)則等部分。需要協(xié)調用戶需求與通信網系統(tǒng)建設需求，對排隊系統(tǒng)進行優(yōu)化設計。其中，輸入過程主要考察用戶達到服務器的規(guī)律，主要采用相繼兩名用戶的到達間隔時間進行描述，服從隨機分布。排隊論模型采用負指數分布方程對其進行描述，即P(T≤t)=1-e-λt。其中，λ為用戶期望平均達到率，其倒數即為平均到達間隔時間。一個大型通信網中通常包含多個服務器，可采取串聯排列方式，也可采取平行排列方式。由于用戶服務器占用時間也是隨機的，同樣采用負指數分布進行描述，即P(v≤t)=1-e-μt(t≥0)。其中，μ為平均服務率，其倒數為平均服務時間。

圖1 商業(yè)系統(tǒng)中的排隊模型

3.2 排隊系統(tǒng)分類

通信網的排隊規(guī)則可分為三種類型。第一，等待制。用戶訪問服務器時，如果所有服務器均被占用，則用戶要進行排隊等候，可采取先到先服務、隨機服務及優(yōu)先權服務等機制。第二，損失制。系統(tǒng)為用戶提供的排隊等待空間有限，超出容納人數后，用戶必須離開系統(tǒng)。第三，混合制。等待制與損失制的結合，設定等待空間上限，并采取等待制中的規(guī)則，為排隊用戶分配服務資源。對系統(tǒng)排隊機制進行研究時，如果充分考慮系統(tǒng)的三大組成要素，即用戶終端、傳輸通道及交換設備，那么可能得出無窮多種排隊系統(tǒng)類型。因此，實際分類分析過程中，只考慮系統(tǒng)的主要特征。目前，常用的方法是由英國數學家肯德爾提出的一種分類方法，具體表示為x/y/z。其中，x為用戶相繼訪問服務器的間隔時間，y為服務時間分布，z為并列服務器數量。分析過程中，需要使用的分布符號主要包括負指數分布（M）、k階埃爾朗分布（Ek）及一般隨機分布（G）等。其他分類特征，可在該模型的基礎上進行描述，如描述用戶源是有限源或無限源等。采用這種分類分析方法，可使通信網的排隊求解問題得到簡化，同時能夠最大化地反映出系統(tǒng)主要特征，保證分析結果的合理性。

3.3 排隊問題求解

利用數學排隊論模型對通信網中的排隊問題進行求解，主要是為了研究系統(tǒng)運行效率和服務質量，從而找到有效的系統(tǒng)優(yōu)化措施，在盡可能滿足用戶需求、優(yōu)化用戶體驗的前提下，減少服務器資源的投入，從而節(jié)省通信網的建設成本。問題求解過程中，可采用6個數量指標對排隊系統(tǒng)模型進行衡量和評價。其中，系統(tǒng)負荷水平（p）反映的是服務器在滿足用戶實際使用需求方面的衡量指標，系統(tǒng)空閑率（p0）反映的是系統(tǒng)處于無訪問狀態(tài)的概率。等待隊長（Ls）用于描述正在服務與等待服務的用戶總數，隊列長（Lg）用于描述等待服務的用戶數量。逗留時間（Ws）是用戶在系統(tǒng)中的平均停留時間，等于平均服務時間與平均等待時間之和，等待時間（Wg）則是用戶的平均排隊時間。在一個最簡單的排隊系統(tǒng)中，可采用表1的公式計算上述指標。系統(tǒng)越復雜，計算公式也就越復雜，可采用計算機仿真方法，對通信網系統(tǒng)排隊問題進行求解。

3.4 通信網設計優(yōu)化

通過采用排隊論模型，可以準確地根據通信網絡結構計算出排隊系統(tǒng)的各項指標，從而反映出系統(tǒng)性能。對通信網進行優(yōu)化設計時，終端設備數量已經給定，網絡結構設計優(yōu)化主要是指對傳輸通道和交換設備的優(yōu)化配置。需要充分考慮業(yè)務量分布狀態(tài)、系統(tǒng)穩(wěn)定標準及系統(tǒng)費用比等因素，合理選擇網絡機構形式。重點根據排隊論模型的分析計算結果，對排隊系統(tǒng)和服務機制進行優(yōu)化，合理選擇服務器的連接方式，并通過選擇合適的服務機制，包括設定優(yōu)先級等，讓用戶的平均等待時間盡可能小，從而減少用戶損失，提升用戶滿意度。

表1 簡單排隊系統(tǒng)的指標計算公式

4 結 論

數學排隊論模型在通信網中的應用可以為通信網的設計優(yōu)化提供依據。利用排隊論模型的計算公式及方法，可以確定排隊系統(tǒng)的關鍵指標，以評價系統(tǒng)。綜合考慮用戶等待時間、用戶體驗以及系統(tǒng)建設成本，確定最佳的組網方案及通信服務機制，以有效提升通信網建設的綜合效益。