溝通內在聯系突出數學本質
——以《認識整百整千數》為例

包利華

數概念的教學在小學大致分為四個階段：20以內數的認識、100以內數的認識、萬以內數的認識、大數的認識。“萬以內數的認識”是認數的第三階段，與前兩個階段“20以內數的認識”和“100以內數的認識”相比主要教學內容相同，包括數數、數的組成、讀寫、比較大小等，都突出了對“計數單位”的認識；所不同的是，“20以內數的認識”側重認識計數符號，“100以內數的認識”側重認識位值，“萬以內數的認識”側重深入理解“十進制”和“位值制”。小學生對數概念的理解本質上是數學意義的理解。劉加霞教授指出：數概念的數學意義主要是指“數”是由不同計數單位及其個數相乘再累加構成的，其背后滲透的是十進制和位值制。從百以內到萬以內，隨著數位的擴展，計數單位的新增，數的結構和構成是一致的，每一個數位上的數都是若干個計數單位累加的結果。例如：4241是由4個千、2個百、4個十和1個一組成的，也可以寫成4000+200+40+1=4241。如何在數概念教學中幫助學生深入理解數學意義呢？筆者設計了《認識整百整千數》這節課，通過不同計數單位的累加得到整百數、整千數，進而溝通它們的內在聯系，突出數學本質。

一、目標定位深入本質

1.從學生的角度看，學生更愿意思考什么問題？

我們常說，學生會的不用教，學生學了還是不會的也不用教。就這節課而言，什么是學生會的？課前，筆者讓學生介紹自己喜歡的數，從中看出，經過“20以內數的認識”和“100以內數的認識”兩個階段的學習，學生對認數、數數、數的意義、讀法和寫法沒有困難，還能用畫圖和文字的方式來表征。那么，學生更愿意思考什么問題？學生愿意思考的應該是具有一定挑戰性的問題，也就是“跳一跳能夠摘到的桃子”。這節課的主要挑戰性問題有兩個：一是1000是怎么得出來的？二是如何溝通不同計數單位累加得到整百整千數？

2.從數學的本質看，展開什么樣的過程更有意義？

1000是怎么來的呢？從本質上看，1000的產生是基于三位數的認識，三位數能表示的最大數是999，要表示比999更大的數怎么辦？只能擴展數位。怎么表示？計數器上通過撥一撥擴展到千位，千位上撥一個珠子，代表1個千，因此有了四位數。也就是說，1000應該是999+1得到的。這個過程的展開，學生經歷了1000的再創造過程，體會到數位擴展的重要性，學會像數學家一樣思考問題。

據此，筆者把這節課的教學目標定位為兩個點：

（1）通過畫一畫、撥一撥、想一想等活動，把認數與計算相結合，讓學生經歷1000產生的過程，理解1000的來歷。

（2）通過溝通計數單位的內在聯系，讓學生掌握相同的數學結構，能利用相同結構順利認識更大的數。

二、學習材料具有結構性

教學片斷一：復習回顧整十數，認識整百數。

出示：

師：這是一個正方形，把它平分成10個小長方形。如果1個小長方形代表1，這個大正方形我們記做？

生：10。

師：是的，10個一是10。乘法算式是？

生：10×1=10。

（出示4張這樣的正方形圖）

師：現在記做？你是怎么思考的？

生：我是數的：1個十、2個十、3個十、4個十，4個十是 40。

生：我列乘法算式：10×4=40。（板書：10×4=40）

師：同學們用數和計算的方法得到了40。

出示：

師：現在我們把這個正方形再次平分，如果1個小正方形代表1，現在記做？

生：100。10個十是100。

生：一行有10個，有10行，所以是 10×10=100。

（出示4張這樣的正方形圖）

師：可以怎么表示？

生：400。100×4=400，4 個百是 400。（板書：100×4=400）

師：如果再增加1張呢？

生：500。100×5=500，5 個百是500。

師：還有不一樣的表達嗎？

生：10×10×5=500。

生：250×2=500。

生：400+100=500。

師：你知道他是怎樣想的嗎？

生：（指著黑板上5張正方形圖）原來有4個百，又增加1個百，就是5個百。

（繼續增加4張同樣的正方形圖）

師：你能像上面一樣，用多種方法得出900嗎？

生：100×9=900，9 個百就是900。

生：500+400=900。表示原來的500加上現在的400，共900。

生：300×3=900。

生：450×2=900。

生：400×2+100=900。

師：這道算式這么復雜，誰看明白了？

生：（指著圖形說）這里是2個400，再加上100。

學習材料的設計要有結構性，讓計算更具聯系性。在回顧整十數和認識整百數時，我以正方形為學習材料，注重溝通本質的聯系。100個、100個往上加得到整百數，在4張正方形圖的基礎上增加1張正方形圖，學生得到了400+100=500。這個過程喚起了學生對計數單位“一（個）”“十”“百”之間關系的回憶，然后主動將4個百加1個百等于500類比到4個十加1個十等于50或者是4個一加1個一等于5，學生在遷移、類比中找到了“4個計數單位加1個計數單位等于5個計數單位”這個本質結構。正是溝通了內在的聯系，學生容易抓住數概念的本質，也使得已有的學習經驗能夠迅速遷移到新知的理解當中來，在教師呈現900這個數的時候，學生就有了多樣的表征方式。

三、過程展開充分到位

教學片斷二：認識1000。

環節一：畫一畫。

師：900，好大一個數！如果再大一點你還會數嗎？

（在900的基礎上再10個、10個出示。學生10個、10個數到990；

在990的基礎上再1個、1個出示。學生1個、1個數到999）

師：我們剛才通過100個、100個，10個、10個，1個、1個地數得到了999，如果在999的基礎上再添上1是？

生：1000。

師：你們都知道是1000，那1000是怎么得出來的呢？

師：老師給你提供了這樣一幅計數器的圖，請你思考999+1怎么在計數器上表示呢？

出示：

（反饋交流：同時出示三種典型的表示方法）

師：仔細觀察，靜靜地思考。你看懂了哪幾種表示方法？誰能來解釋？

生：第一種只是在個位加1。

生：第二種是個位加1，個位滿十向十位進一，劃掉，十位滿十向百位進一，劃掉，百位滿十向千位進一，劃掉。但是千位沒有畫出來。

生：第三種和第二種是一樣的，但多了千位。

師：比較三種不同的表示方法，你有什么想說的？

生：三種方法表示的過程是一樣的，但形式上不同，第三種增加了千位，更加清楚，我比較喜歡第三種表示方法。

師：是的，三個數位能表示的最大三位數是999，再添一個數不夠了，所以增加一個數位，叫做千位。

環節二：撥一撥。

師：剛才我們通過畫一畫表示了999+1。下面我們在計數器上撥一撥。同桌合作，邊撥邊思考：1.每次進的1表示什么？2.每次進1后得到哪些算式？

（反饋交流：學生演示）

生：999+1=1000。這個1表示1個一，算式是999+1。個位滿十向十位進一，這個1表示1個十，算式是990+10。

師：不好意思打斷一下，他說990+10誰看懂了？

生：我們看到的是990，還有1個十在他手里，還沒放下去。

師：謝謝你的慢鏡頭，讓我們清楚地看到了990+10這個算式。繼續。

生：十位滿十向百位進一，這個1表示1個百，算式是900+100。百位滿十向千位進一，這個1表示1個千。

師：同學們真會思考，我們終于得到了1000。誰把它寫出來？

生：寫作：1000，讀作：一千。

環節三：說一說。

師：認識了1000這個數，誰來介紹一下這個新的數？

生：1000是由 999+1得到的。

生 ：999+1=1000，990+10=1000，900+100=1000。

生：10個百是 1000。100×10=1000。

生 ：500 ×2=1000，200 ×5=1000，250×4=1000。

……

學生從999數到1000沒有困難，但為什么要有1000這個數，它是怎么得來的？這對學生來說是有挑戰性的問題。一方面，學生數概念擴展的經驗不足；另一方面，學生習慣于思考“是什么”的問題，對于“為什么”的問題思維經驗比較弱。因此，認識1000這個數，我設計了“畫一畫”“撥一撥”“說一說”三個環節，讓學生經歷1000的再創造過程。在此過程中，我給予學生足夠的思考空間，主要體現在集中反饋和問題設計上。學生畫完后，我把出現的三種典型作品集中呈現，并提出問題：“仔細觀察，靜靜地思考。你看懂了哪幾種表示方法？誰能來解釋？”學生的交流不拘一格，有的選擇一幅作品發表想法，有的選擇全部一一點評，還有的聚焦到兩幅作品進行對比溝通。這樣的反饋方式，再加上合理的問題設計，能有效幫助學生拓開思考的維度。最后是給予學生思考的時間，課堂時間有限，但是學生獨立思考的時間必須要有，靜能生慧，沒有獨立思考，憑什么交流？數學特級教師俞正強老師說：“人類的活動都有其特定的節奏，思維活動更是如此，有時頓悟，有時冥想。節奏是時間占有的藝術。”一節課短短40分鐘，筆者在“認識1000”這個環節花了20分鐘。這20分鐘里，學生在“畫”前思考、在“撥”時思考、在“說”前又思考，通過思考、交流、再思考、再交流，最后學生在介紹1000這個數時，表達十分豐富。正是因為給予了充分的信任和足夠的思考空間與時間，學生的理解才能深入，表達才能具體，最終用自己的經驗創造性地解決了問題。

四、溝通計數單位內在聯系

教學片斷三：認識整千數。

師：認識了1000，以千位單位繼續往下數，你會數嗎？

生：會數，1000、2000、3000、4000……

師：4000用乘法算式怎么表示呢？

生：1000×4=4000。（板書：1000×4=4000）

師：你有沒有發現這些算式非常像？一起讀一讀，你發現它們有什么特點和聯系嗎？

生 ：10 ×4=40，100 ×4=400，1000×4=4000。

生：我發現這些算式有規律。乘數依次增加1個零，積也依次增加1個零。

師：是的，還有不一樣的表達嗎？

生：我發現這些算式都有一個乘數是4，這個4就是一個“加工廠”，1個十×4=40、1個百×4=400、1個千×4=4000。

師：“加工廠”這個詞真是形象！還有人說這些算式都與1×4=4有關，你覺得有道理嗎？

生：有道理，我也是這樣想的。

師：如果把這些算式看作一個家族，那么1×4=4你怎么理解？

生：是祖先！

生：是起源！

生：是基因!

師：再來個新成員，往下說！

生：10000×4=40000。

師：同學們真了不起！能把這些不同的算式溝通和聯系。溝通聯系是數學學習非常重要的方法，能溝通聯系也說明你已經領悟了！

“溝通計數單位的內在聯系，掌握相同的數學結構”是這節課的另一個重要目標。我們為什么要認識更大的計數單位？從本質上講，任何一個數都可以通過1個、1個數出來，但是效率太低了，所以發明了更大的計數單位，10個、10個數，100個、100個數，1000個、1000個數，提高計數和計算的效率。因此，溝通不同計數單位的內在聯系，能讓學生的學習從“個”上升到“類”，從本質上認識它們具有相同的數學結構。10×4=40、100×4=400、1000×4=4000，這些算式都可以理解成：“1×4=4”，也就是 1個計數單位×4=4個計數單位。掌握了這樣的本質結構，就能以此類推，得到更多的整百整千數。

教學研究需要討論的兩個問題是“教什么”和“怎么教”。教什么？教師只有深入數學本質，才能抓住核心問題，引導學生步步深入地探尋數學的本質。怎么教？教師只有溝通知識的內在聯系，引導學生遷移、類比、概括和歸納，方能點燃學生思維的火花，讓課堂綻放更加絢麗的生命力。