一類埃博拉傳染病動力學(xué)模型基本再生數(shù)的研究

楊靜雅

（長治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長治 046011）

1 引言

埃博拉疫情嚴(yán)重影響著國際公共衛(wèi)生安全。截止2016年4月，西非三國（幾內(nèi)亞、利比里亞、塞拉利昂）埃博拉疫情累計(jì)患病人數(shù)高達(dá)28616人，死亡11310人。繼西非埃博拉疫情穩(wěn)定之后，2018年5月，非洲剛果（金）再次爆發(fā)埃博拉疫情。根除埃博拉是一場關(guān)乎全人類的持久戰(zhàn)與攻堅(jiān)戰(zhàn)。

埃博拉問題受到很多學(xué)者的關(guān)注。Chowell等[1]利用流行病SEIR模型對剛果和烏干達(dá)的埃博拉數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到基本再生數(shù)取值并進(jìn)行了敏感性分析。Althaus[2]利用SEIR模型計(jì)算了西非三國埃博拉基本再生數(shù)，基于研究結(jié)果呼吁利比里亞加強(qiáng)防控措施。Barbarossa[3]利用模型得到埃博拉疫情早期的基本再生數(shù)為1.44，模型預(yù)測結(jié)果表明了防控措施的重要性。韋愛舉等[4]建立了包含動物倉室的埃博拉傳染病模型，得到了人群與動物的基本再生數(shù)的表達(dá)式。

2 預(yù)備知識

基本再生數(shù)R0是指無控制狀態(tài)下，在易感人群中引入一個感染者，該感染者在其感染期內(nèi)產(chǎn)生新的感染個體的均值[5-7]。如果R0<1，表示在感染期內(nèi)，表明該疾病不會蔓延；如果R0>1時，則該疾病可能在人群中廣泛傳播[7]。

記Xs為無病狀態(tài)的集合，即

記Fi（x）為第i個倉室中新出現(xiàn)感染者的比例表示經(jīng)過其它方式轉(zhuǎn)移到第i個倉室個體的比例表示從第i個倉室移出個體的比例。

假設(shè)每個函數(shù)關(guān)于每個變量是二階及以上連續(xù)可微，則疾病傳播模型對應(yīng)的微分方程組為：

（1）如果 x≥0，則對每個 i=1，2，…，n 均有 Fi，成立。

（2）如果 xi=0，則特別地，如果 x∈Xs，那么對i=1，2，…，m均成立。

（3）如果 i＞m，則 Fi=0。

（4）如果x∈Xs，則m。

（5）如果F（x）=0，則Df（x0）的所有特征值的實(shí)部為負(fù)。其中，x0是無病平衡點(diǎn)，是x0處的Jacobian矩陣。

定理1.1[8]如果x0是（2）式的一個無病平衡點(diǎn)，并且滿足條件（1）－（5），則可以將導(dǎo)數(shù) DF（x0）和DV（x0）進(jìn)行分塊如下：

其中，F(xiàn)和V是m階的矩陣，其定義為：

根據(jù)文獻(xiàn)[8]，稱矩陣FV-1為下一代矩陣，令

其中ρ（A）表示矩陣A的譜半徑。

定理1.2[8]考慮（2）式定義的疾病傳播模型，f（x）滿足條件（1）－（5）。如果 x0是模型的無病平衡點(diǎn)，R0的定義如（5）式所示。當(dāng)R0<1時，則x0是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時，則x0是局部非漸近穩(wěn)定的。

根據(jù)定理1.2，通過計(jì)算傳染病模型所對應(yīng)的R0的取值，可以預(yù)測疾病的發(fā)展趨勢。

3 建立模型

假設(shè)新生兒及自然原因促成的人口流動不計(jì)入人口變化，且已經(jīng)康復(fù)了的埃博拉患者不會再次感染埃博拉病毒。

埃博拉病毒可以通過埃博拉病毒感染者的尸體進(jìn)行傳播。由于非洲地區(qū)有擁抱、親吻、撫摸尸體的風(fēng)俗，因此，非專業(yè)的埋葬、撫摸尸體、參加埃博拉患者的葬禮等都可能感染埃博拉病毒。

文章在已有傳染病動力學(xué)模型SEIR的基礎(chǔ)之上，考慮了埃博拉病毒會由感染者尸體進(jìn)行傳播。通過以上分析，根據(jù)埃博拉疫情的特點(diǎn)，建立了SEIRDF模型（見圖1）。

圖1 SEIRDF模型示意圖Figure.1:State transitions for individuals in the SEIRDFmodel

S表示易感人群，E表示已被埃博拉病毒感染，但尚未表現(xiàn)出癥狀且不具傳染性的潛伏狀態(tài)的人群，I表示感染埃博拉病毒的人群，R表示感染埃博拉病毒后康復(fù)人群，或感染埃博拉病毒死亡后不具有傳播性的人群，D表示具有傳播性的感染埃博拉病毒死亡者，F(xiàn)表示感染埃博拉病毒死亡后進(jìn)行埋葬的人群。

綜上所述，得到圖1所示的埃博拉病毒傳播動力學(xué)模型為：

4 基本再生數(shù)的計(jì)算

通過對SEIRDF模型所對應(yīng)的微分方程（公式6）來計(jì)算基本再生數(shù)R0。將方程改寫為：

x=（E，I，R，S，D，F(xiàn)）T，感染的倉室為 E，I，D，所以m=3。則

一個無病平衡點(diǎn)為 x0=（0，0，0，S0，0，0）T，則

利用逆矩陣的求解方法，得

所以，

則

由此可以計(jì)算

由此可以計(jì)算