一類特殊矩陣的逆特征值問題

段復建,方 甜,袁 璠

(桂林電子科技大學數學與計算科學學院,廣西桂林541004)

1 引言

本文討論的廣義箭形矩陣具有如下形式

其中ai(i=2,···,m+1)互不相同,且bi>0(i=m+1,···,n ?1).當m=0 時,具有形式(1.1)的矩陣A 為Jacobi 矩陣,而當m=n ?1 時,矩陣A 就變成箭形矩陣.Jacobi 矩陣的特征值反問題具有廣泛的應用,關于此類問題研究已取得一些比較好的結果,詳見文獻[1–4].箭形矩陣的特征值反問題在現代控制理論中有著廣泛的應用,文獻[5,6]分別討論了對稱三對角矩陣和對稱爪形矩陣的特征值反問題.對于一些特殊箭形矩陣的特征值反問題的研究見文獻[7–9].Gladwell 從力學角度闡述了振動中的一些特征值反問題[10],其中彈簧–質量系統等振動結構參數識別問題,往往歸結為Jacobi 矩陣特征值反問題,星形彈簧質量系統的振動問題則轉化為箭形矩陣的特征值反問題.

具有形式(1.1)的廣義箭形矩陣的特征值反問題在文獻[11–13]中有討論,鑒于上述工作以及此類矩陣的重要性,本文重點研究具有形式(1.1)的廣義箭形矩陣的特征值反問題,我們推廣了Jacobi 矩陣和箭形矩陣逆特征值問題,提出了兩類逆問題,給出了問題有唯一解的充分必要條件,給出了解的表達式及相應數值例子.

本文研究廣義箭形矩陣的兩類逆問題,即

問題I給出三個非零互異實數λ1,λ2,μ以及三個非零實向量x1=(x1,···,xm+1)T,x2=(xm+1,···,xn)T,y=(y1,···,yn)T.求具有形式(1.1)的n 階矩陣A 使得(λ1,x1),(λ2,x2),(μ,y)分別是A1,m+1,Am+1,n和A 的特征對.

問題II給出兩個非零互異實數λ,μ和兩個非零實向量x=(x1,···,xn)T,y=(y1,···,yn)T,求具有形式(1.1)的矩陣A 和A?,使得(λ,x),(μ,y)分別為矩陣A,A?的特征對.

矩陣A 的的主子式A1,m+1,Am+1,n和矩陣A?分別具有如下形式

其中ai(i=2,···,m+1)互不相同,且bi>0(i=m+1,···,n ?1)，可知A1,m+1,Am+1,n分別為箭形矩陣和Jacobi 矩陣.式(1.4)中除元素a?1與a1不同外,其它元素與(1.1)式矩陣A 中元素相同.

現在作如下約定

2 主要結果

下面給出本文將要用到的必要引理.

引理2.1[14]設λ 為n 階Jacobi 矩陣J 的特征值,x=(x1,x2,···,xn)T為J 對應于λ的特征向量,則

(2)x 的相鄰的兩個分量不同時為零;

(3)若某個i(1

對于問題I 給出定理2.1.

定理2.1問題I 有唯一解的充分必要條件為

(i)xi(i=m+1,···,n)滿足引理2.1 的條件;

且當問題有解時,解由下式給出

證 充分性因(λ1,x1),(μ,y)分別是A1,m+1,A 特征對,有A1,m+1x1=λ1x1,Ay=μy.

(1)當2 ≤i ≤m 時,有如下線性方程組

由上式消去ai,即bi?1Ei=(λ ?μ)di.由條件(ii)(i=2,···,m),則ai,bi有唯一解

下證(2.3)中ai的兩個表達式等價,由(2.2)式知

所以(2.3)式中ai的兩個表達式等價得證.

(2)當i=m+1 時,由A1,m+1x1=λ1x1,Ay=μy,Am+1,nx2=λ2x2得下線性方程組

(3)當i=1 時,由A1,m+1x1=λ1x1,Ay1=μy1,得

則有

將bi(i=1,···,m)的表達式帶入a1,利用條件(iii)可證得a1的兩個表達式都存在則相等.

下證上述表達式相等.由條件(iii)有

則有

則可推出

在(2.8)式兩邊同時除以x1y1,得證a1的兩個表達式相等.

(4)當m+2 ≤i ≤n?1 時,由Am+1,nx2=λ2x2,Ay=μy,得

由上式消去ai得

即為biDi=bi?1Di?1?(λ2?μ)di.遞推可得

下證式(2.12)中ai的兩個表達式等價,由(2.11),(2.12)式知

所以(2.12)式中ai的兩個表達式等價得證.

(5)當i=n 時,可得an的表達式如下

根據(2.11)式,利用條件(iii),可證得an的兩個表達式都存在則相等.

根據條件(i)和(iv)可知所求ai,bi滿足問題I 要求,問題I 有唯一解,充分性得證,且給出解的表達式(2.2),(2.3),(2.5),(2.7),(2.11),(2.12),(2.14).

必要性若問題I 有唯一解,則上述線性方程組(2.1),(2.4),(2.6),(2.9)有唯一解,則可以推條件(ii)成立,又因為矩陣An的順序主子式Am+1,n為Jacobi 矩陣,若問題I 有解,則條件(i)和(iv)成立.下證條件(iii)成立.

若問題I 有解則要滿足A1,m+1x1=λ1x1,Ay=μy,則有

在(2.15)式兩邊同時左乘x1得

下面討論問題II,給出定理2.2.

定理2.2問題II 有唯一解的充分必要條件為

且當問題有解時,解由下式給出

證必要性由于(λ,x),(μ,y)分別為A,A?的特征對,所以有

則上式可表示為

問題II 的解等價于求解上述線性方程組

由式(2.25)消去an,由條件(i)知bn?1,an有唯一解,所以有

利用(2.26)式易證明(2.27)式中an的兩個表達式等價.

通過遞推得

結合式(2.21),則bi的表達式為

利用(2.28)式易證(2.29)式中ai+1的兩個表達式等價.

利用(2.30)式可證(2.31)式中am+1的兩個表達式等價.

充分性得證,且給出問題II 解的表達式(2.27)–(2.35).

必要性若問題II 有唯一解,則上述線性方程組(2.21)–(2.25)有唯一解,則可以推得條件(i)成立.若問題II 有解,根據矩陣A,A?的特殊性以及bi(i=m+1,···,n ?1)的表達式,則條件(ii)成立.

3 算法及數值實驗

3.1 算法1

步驟1驗算所給λ1,λ2,μ以及三個非零實向量

是否滿足定理2.1 的條件(i)–(iv).是,則進行下一步;否則,停止.

步驟2根據定理2.1 中的公式(2.2),(2.3),(2.5),(2.7),(2.11),(2.12),(2.14),求解ai,bi,形成廣義箭形矩陣A.

例1給實數λ1=1.0879,λ2=0.5689,μ=0.9730,m=3,n=7 給定實向量x1,x2,y 如下x1=(?0.5667,0.0961,?0.3903,0.7193)T,x2=(0.7193,0.1702,?0.4556,?0.2676)T,y=(0.4109,?0.0752,0.3080,?0.4426,0.1225,0.6568,0.2972)T.

根據算法1 中的步驟將λ1,λ2,μ,x1,x2,y 帶入定理2.1 的條件(i)–(iv),驗算可知所給數據滿足有唯一解的條件,利用公式(2.2),(2.3),(2.5),(2.7),(2.11),(2.12),(2.14)通過MATLAB 編程計算ai,bi,形成廣義箭形矩陣A,得到A 如下

容易驗證(λ1,x1)是A1,6的一個特征對,(λ2,x2)是A5,10的一個特征對,(μ,y)是A 的一個特征對,所以A 是所要求的矩陣.

3.2 算法2

步驟1驗算所給數據λ,μ和兩個非零實向量x=(x1,···,xn)T,y=(y1,···,yn)T是否滿足定理2.2 的要求.是,則進行下一步;否則,停止.

步驟2根據定理2.2 中公式(2.27)–(2.35),求解

分別形成廣義箭形矩陣A,A?,使得(λ,x)和(μ,y)分別為矩陣A,A?的特征對.

例2給定實數λ=?0.5435,μ=?0.0032,m=3,n=7,給定實向量x,y 如下x=(?0.0047,?0.0076,0.0041,?0.0472,?0.2254,?0.8072,?0.5435),y=(?0.2201,0.8056,0.5498,0.0149,0.0056,?0.0016,?0.0032).

根據算法2 中的步驟將λ,μ,x,y 帶入定理2.2 中的(i)和(ii),驗算可知所給數據滿足有唯一解的條件,根據式(2.27)–(2.35),通過Matlab 編程計算得到(i=2,···,n),bi(i=1,···,n ?1),并形成廣義箭形矩陣A 和A?,如下所示

易知(λ,x)是矩陣A 的一個特征對,(μ,y)為矩陣A?的一個特征對,所以A,A?是所要求的矩陣.