馬氏環(huán)境中樹指標(biāo)馬氏鏈隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率調(diào)和平均的強(qiáng)極限性質(zhì)

石志巖,鮑 丹,吳佰慧

(江蘇大學(xué)理學(xué)院,江蘇鎮(zhèn)江212013)

1 引言

若t 為T 中的任一頂點(diǎn),記|t|為頂點(diǎn)t 到根o 的距離.若|t|=n,稱t 位于樹的第n 層.記T(n)表示從根o 到第n 層所有頂點(diǎn)的子圖,Ln表示第n 層所有頂點(diǎn)的集合,表示含有T 的從m 層到n 層所有頂點(diǎn)的集合.對于任一個頂點(diǎn)t,從根o 到頂點(diǎn)t 的路徑上存在唯一一個離頂點(diǎn)t 最近的頂點(diǎn)稱為t 的父代,記為1t,且稱t 為1t的子代.令XS={Xt,t ∈S},S ?T,xS為XS的實(shí)現(xiàn),且記|S|為S 中頂點(diǎn)的個數(shù).如果樹圖T 的根頂點(diǎn)有N 個相鄰頂點(diǎn),而其它頂點(diǎn)有N+1 個相鄰頂點(diǎn),即T 的每個頂點(diǎn)都有N 個子代,則稱此樹為Cayley樹,記為TC,N(見圖1).

樹指標(biāo)隨機(jī)過程是新興的概率論研究方向.Benjamini 和Peres[1]給出了樹指標(biāo)馬氏鏈的定義并研究了其常返性和射線常返性;陳曉雪和楊衛(wèi)國[2]等研究了樹指標(biāo)馬氏鏈的等價定義;Berger 和葉中行[3]研究了齊次樹圖上平穩(wěn)隨機(jī)場熵率的存在性;葉中行和Berger[4,5]利用Pemantle 在文獻(xiàn)[6]中的結(jié)果及組合方法,在依概率收斂意義下研究了齊次樹圖上PPG不變和遍歷隨機(jī)場的Shannon-McMillan 定理;楊衛(wèi)國和劉文[7]研究了齊次樹圖上馬氏鏈場(這實(shí)際上是樹指標(biāo)馬氏鏈和PPG 不變隨機(jī)場的特殊情形)狀態(tài)發(fā)生頻率的強(qiáng)大數(shù)定律.近年來,楊衛(wèi)國[8,9]研究了樹上馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律和漸近均分割性;黃輝林和楊衛(wèi)國[10]研究了一致有界樹上馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律和Shannon-McMillian 定理;石志巖和楊衛(wèi)國[11]研究了樹上非齊次馬氏鏈隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率調(diào)和平均的強(qiáng)極限性質(zhì);王豹等[12]研究了Cayley 樹指標(biāo)可列馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律;黨慧等[13]給出了離散狀態(tài)下二叉樹上非齊次分支馬氏鏈的定義,并研究其等價性及存在性,同時研究了有限狀態(tài)下二叉樹上非齊次分支馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定理和熵遍歷定理.

隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈的研究已有相當(dāng)長的歷史. Nawrotzki[14,15]建立了該主題的一般理論;Cogburn[16?18]構(gòu)造了Hopf-鏈,利用Hopf-鏈理論深入研究了平穩(wěn)環(huán)境中馬氏鏈的遍歷理論、中心極限定理、直接收斂和轉(zhuǎn)移函數(shù)的周期性關(guān)系以及不變概率測度的存在性;胡迪鶴[19,20]對連續(xù)時間參數(shù)的隨機(jī)環(huán)境中的馬氏過程的存在性、等價性、q-過程的存在唯一性進(jìn)行了研究;李應(yīng)求[21,22]利用完善的鞅差理論來研究隨機(jī)環(huán)境中的馬氏鏈,在假設(shè)馬氏雙鏈遍歷的條件下,得到了馬氏環(huán)境中馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律成立的充分條件以及馬氏環(huán)境中若干強(qiáng)極限定理;石志巖等[23]給出了離散狀態(tài)下隨機(jī)環(huán)境中樹指標(biāo)馬氏鏈的定義,并證明了該定義在概率空間中可以實(shí)現(xiàn);黃輝林[24]研究了有限i.i.d.隨機(jī)環(huán)境下齊次樹指標(biāo)馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律和Shannon-McMillian 定理.

本文首先給出離散狀態(tài)下隨機(jī)環(huán)境中樹指標(biāo)馬氏鏈的定義,并且證明了該定義在概率空間中可以實(shí)現(xiàn),給出了馬氏環(huán)境下樹指標(biāo)馬氏鏈與樹指標(biāo)馬氏雙鏈的等價定義,該部分重述了文獻(xiàn)[23]中的一些結(jié)果.最后研究了有限狀態(tài)下馬氏環(huán)境中樹指標(biāo)馬氏鏈的隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率調(diào)和平均的強(qiáng)極限性質(zhì).

2 基本概念

設(shè)Θ={0,1,2,···},χ={0,1,2,···}為可列狀態(tài)空間,ξT={ξt,t ∈T}和XT={Xt,t ∈T}分別是(?,F,P)上取值于Θ 和χ 的隨機(jī)變量族.假定pθ={p(θ;x),x ∈χ},θ ∈Θ 是關(guān)于參數(shù)θ 的一個分布,且Pθ={p(θ;x,y),x,y ∈χ},θ ∈Θ 是定義在χ2上的關(guān)于參數(shù)θ 的一個轉(zhuǎn)移矩陣.

定義1[2]設(shè)T 為一樹圖,χ={0,1,2,···}是可列狀態(tài)空間,{Xt,t ∈T}是定義在概率空間(?,F,P)上在χ 中取值的樹指標(biāo)變量族.設(shè)p={p(x),x ∈χ}是χ 上一概率分布,P={p(x,y),x,y ∈χ}是定義在χ2上的轉(zhuǎn)移矩陣.如果?t ∈T,?n ≥1,有

且

則稱{Xt,t ∈T}為具有初始分布p 與轉(zhuǎn)移矩陣P 在χ 中取值的樹指標(biāo)馬氏鏈.

注1文獻(xiàn)[2]介紹了樹指標(biāo)馬氏鏈的各種等價定義,定義1 僅僅是其中的一種形式,對于其他的定義形式,讀者可參閱文獻(xiàn)[2].

生物學(xué)家研究桿狀菌的分裂時,總結(jié)出桿狀菌分裂的規(guī)律,即一個桿狀菌在分裂時,從中間斷開,這樣就分裂成兩個新桿狀菌,這兩個新的桿狀菌為原來桿狀菌的后代.如果我們把每一次分裂中的桿狀菌看成一個頂點(diǎn),那么桿狀菌的分裂過程就可以抽象為一個二叉樹結(jié)構(gòu)(分支馬氏鏈)(見文獻(xiàn)[25]).如果桿狀菌分裂時受到周邊環(huán)境的影響,這樣桿狀菌的分裂過程就可以抽象為一個隨機(jī)環(huán)境中二叉樹模型,因此研究隨機(jī)環(huán)境中樹指標(biāo)過程不僅具有理論意義,更具有應(yīng)用價值.類似于定義1 中的樹指標(biāo)馬氏鏈的定義,結(jié)合隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈的定義,給出隨機(jī)環(huán)境中樹指標(biāo)馬氏鏈的定義.

定義2[23]設(shè)T 為樹,XT={Xt,t ∈T},ξT={ξt,t ∈T}分別在χ,Θ 中取值的隨機(jī)變量族.設(shè)pθ={p(θ;x),x ∈χ},θ ∈Θ 是χ 上一含參數(shù)的分布,Pθ={p(θ;x,y),x,y ∈χ},θ ∈Θ是定義在χ2上的含參數(shù)的轉(zhuǎn)移矩陣.若

則稱(XT,ξT)為由含參數(shù)的分布pθ與含參數(shù)的轉(zhuǎn)移矩陣Pθ確定的隨機(jī)環(huán)境中樹指標(biāo)馬氏鏈,其中ξT為隨機(jī)環(huán)境.若ξT為樹指標(biāo)馬氏鏈,稱(XT,ξT)為馬氏環(huán)境中樹指標(biāo)馬氏鏈.

注2當(dāng)ξT取常數(shù)時,隨機(jī)環(huán)境中樹指標(biāo)馬氏鏈就是一般樹指標(biāo)馬氏鏈.如果樹的每一頂點(diǎn)只有一個子代,則隨機(jī)環(huán)境中樹指標(biāo)馬氏鏈即為隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈.因此隨機(jī)環(huán)境中樹指標(biāo)馬氏鏈?zhǔn)菢渲笜?biāo)馬氏鏈和隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈的推廣.

引理1[23](XT,ξT)為定義2 定義的由含參數(shù)的分布pθ與含參數(shù)的轉(zhuǎn)移矩陣Pθ確定的隨機(jī)環(huán)境中的樹指標(biāo)馬氏鏈的充要條件是

(i)

(ii)當(dāng)k ≥n ?1 時,

引理2[23]引理1 中(5)和(6)式成立的充要條件是

注3設(shè)為中所有有限維柱集生成的σ-代數(shù).定義上隨機(jī)

注4若ξT為初始分布為p'(θ),轉(zhuǎn)移矩陣族為Kt=(Kt(θ,a))的非齊次樹指標(biāo)馬氏鏈.由(7)式和定義1 知

若令Qt(x,θ;y,a)=p(θ;x,y)Kt(θ,a),q(θo,xo)=p(θo;xo)p'(θo),則

由此可知馬氏環(huán)境下樹指標(biāo)馬氏鏈與樹指標(biāo)非齊次馬氏雙鏈?zhǔn)堑葍r的.此時,(XT,ξT)為初始分布為q(θo,xo),轉(zhuǎn)移矩陣族為{Qt(x,θ;y,a),t ∈T}的樹指標(biāo)非齊次馬氏雙鏈.

以后總假定ξT是馬氏環(huán)境,則(XT,ξT)是具有初始分布為q(θo,xo),轉(zhuǎn)移矩陣族為Qt={Qt(x,θ;y,a),t ∈T}的樹指標(biāo)非齊次馬氏雙鏈.在下節(jié)中,將給出有限狀態(tài)下馬氏環(huán)境中樹指標(biāo)馬氏鏈的隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率的調(diào)和平均的極限性質(zhì).

3 主要結(jié)果

引理3[24]設(shè)(XT,ξT)為馬氏環(huán)境中的樹指標(biāo)馬氏鏈,{gt(x,θ;y,α),t ∈T}是定義在(χ×Θ)2上的函數(shù)族.令Lo={o},Fn=σ(XT(n),ξT(n)),

其中λ 為實(shí)數(shù),則{tn(λ,ω),Fn,n ≥1}是非負(fù)鞅.

定理1設(shè)χ={1,2,···,M},Θ={1,2,···,N},且ξT的初始分布為p'(θ),轉(zhuǎn)移概率族為Kt={Kt(θ,α),t ∈T}.設(shè)(XT,ξT)為馬氏環(huán)境中的樹指標(biāo)馬氏鏈,其初始分布和轉(zhuǎn)移概率族滿足

令

若存在常數(shù)h>0,使得

則隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率{Qt(X1t,ξ1t;Xt,ξt),t ∈T(n){o}}的調(diào)和平均a.e.收斂于,即

注5假設(shè)?t ∈T,,此時

因此等式(12)是可以實(shí)現(xiàn)的.

證在引理3 中令gt(x,θ;y,α)=Qt(x,θ;y,α)?1,則由引理3 知

為非負(fù)鞅,由Doob 鞅收斂定理得

故

由式(14)和(16)得

易知當(dāng)0<λ<1 時有

當(dāng)0<λ

令λ →0+,由式(20)有

當(dāng)?h<λ<0 時,將式(18)兩邊同除以λ 并利用式(11),(12)與(19)得

令λ →0?,由式(22)有

由式(21)與(23)即可以知式(13)成立.