模型建構助力“解三角形的綜合應用”

李露

摘? ?要：高中階段的數學內容更加抽象，建立數學模型，有助于高中生在真實或者虛擬情境中，積極進行數學思考.以“解三角形的綜合應用”學習為例，闡述模型建構和模型建構助力學生數學思考和對數學知識的理解、應用.

關鍵詞：解三角形的綜合應用;數學思考;模型建構;助力

立德樹人是新時代教育的根本任務，目的是為培養具有振興民族能力的人才奠定基礎.數學學科的特點是培養學生用數學的眼光看世界、用數學的思想做事情的素養，高中數學應該引導學生對實踐問題情境進行探索，引發學生對情境進行數學思考，建立情境數學模型，借助模型思考解決數學問題.學生建立解三角形綜合應用的模型，借助模型進行數學思考，探究實踐中解三角形問題的解決辦法，是一種有效的學習方式.

1? 數學建模對“解三角形的綜合應用”學習的意義

數學知識來源于生產、生活實踐，又運用于生產、生活實踐.解三角形的綜合應用主要是解決生產、生活實踐中距離、高度的測量以及角度的計算等實際問題，其手段主要是運用正弦定理、余弦定理、三角恒等變換、三角函數的性質等，幫助學生加強數學知識的應用研究，體驗數學廣泛的應用價值.

1.1? 數學模型有益學生學以致用

解三角形的綜合應用通過運用正弦定理、余弦定理等知識解決一些與測量、幾何計算有關的實際問題，學生用數學的視角思考解三角形的實踐情境，建立解三角形的模型，用解三角形知識解決實際問題.學生建模的過程就是吸收數學知識、理解數學知識、運用數學知識的過程，建模過程中的數學思考是學生數學學科學習的核心.數學思考基礎上模型建構與數學模型基礎上數學思考相互促進提升數學思維能力，提高學生運用解三角形的知識解決實踐問題能力，以發展學生適應未來社會發展需要的必備品格.

1.2? 模型建構助力學生數學思考

可以說，沒有數學思考就不可能進行數學模型建構，建模的過程就是學生數學思考的過程;數學模型建立促進學生對數學知識的理解、運用，促進學生進行數學思考.日常數學課堂教學解讀文本和單純知識講解，很難激發學生學習的興趣，灌輸式的教學、模仿式的訓練，加重了學生學習負擔，也不利于學生深刻理解知識，運用知識.借助數學模型引導學生探究模型變化，調動學生學習積極性，改進學生學習方式，讓學生體驗知識，理解和運用知識.如解三角形的綜合應用問題的常用術語是仰角、俯角、方向角、方位角，學生可以建構模型加以理解，如圖1、2，模型，學生就會一目了然.

學生觀察圖2模型，就能理解方向角是指相對于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°等;方位角是指從正北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α.學生還可以根據自己平時生活體驗建立小山坡模型，得出坡度就是坡面的垂直高度與水平長度之比，所以坡度又稱坡比.學生還可以通過建立三角形的模型解決應用問題中豎直高度、水平距離的解法，通過對模型的思考，運用解直角三角形、解兩個直角三角形解決底部可達、底部不可達問題;運用正、余弦定理解決山兩側、河兩岸、河對岸問題.

2? 借助模型進行“解三角形的綜合應用”

通過對解三角形的現實情境進行數學思考，促進學生發現和提出數學問題、分析和解決數學問題.改變了學生被動接受者的角色，數學建模過程是以學生為主體、問題為中心、探究為手段，能有效挖掘學生數學潛能，讓學生成為數學學習的主人.基于模型的數學思考也是以學生為主體，學生圍繞問題借助模型，探究問題解決方法，提高學生運用數學知識的實踐能力.

2.1? 運用模型引導學生解決高度問題

以“解三角形的綜合應用”為例，讓學生借助建立的模型解決測量高度的問題.如無錫靈山是一座風景秀麗的山峰，通往靈山大佛有一條拾級而上的筆直山路和一條乘坐纜車的索道，見圖3，登山者打算不坐纜車，而是花2個小時的時間進行徒步攀登.已知山腳B到山路點D相距1千米，從山腳平面上點A觀測點D的仰角是30○，到山頂C的直線距離是3千米.AB之間的距離是1千米，登山者徒步攀登的速度為每小時1.2千米。問登山者能否在2個小時內徒步登上山峰（即從B點出發到達C點）.

首先要根據題意進行數學思考，建立數學模型，再依據模型進行數學思考。求出BC之間的距離，才能夠解決2個小時內是否能夠徒步登上山峰.

2.2? 借助模型引導學生思考角度問題

數學應用就是對實際情境進行數學思考、抽象，建立實際情境數學模型，研究模型，探索解決問題的辦法.例：如圖4，海面上東西方向有兩個相距5（3+）km的A，B兩個觀測點.位于A點北偏東45°方向。B點北偏西60°方向上的D點的游船發出求救信號，此時救援船位于相距B點20km、南偏西60°的C點，救援船最快航行速度為30 km/h.救援船到達D點至少需要多長時間？學生借助模型思考救援船怎樣用最短時間到達救援地點，需要求出救援船從北偏東多少度出發，直線距離最短.

2.3? 借助模型引導學生思考距離問題

模型建構不僅要立足課堂教學，還要把學生帶進真實的或者模擬的數學情境，豐富學生數學探索的情感體驗。著力培養學生數學思考、建模用模的自覺行為，形成“思考——建?！伎肌钡臄祵W學習習慣，將數學素養落實在平時的學習過程之中.如一條海防警戒線上有A，B，C三處水聲監測點，B點、C點到A點的距離分別是20和 50千米，聲波在水中傳播的速度是1.5千米/秒.某時刻，在B處收到發自靜止目標P處的一個聲波信號，8秒后A，C同時接收到該聲波信號.已知靜止目標P到海防警戒線A，C的距離是多少.根據情境，建立數學模型，依據模型解決問題.

模型建構是高中生必備的數學素養，需要在數學探究活動中不斷積累.解三角形的綜合運用的模型建構需要注意情境的邊角關系及隱含的條件、注意空間與平面模型的聯系.