擺線針輪傳動(dòng)接觸乏油潤(rùn)滑特性分析*

孫章棟,2 任愛(ài)華 王紅霞 宋 俊

(1.湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院 湖北十堰 442002;2.重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 重慶 400044)

擺線針輪行星傳動(dòng)以其傳動(dòng)精度高、傳動(dòng)比大、結(jié)構(gòu)緊湊及使用周期長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)，而被廣泛應(yīng)用于微型器械、機(jī)器人和測(cè)試儀器等。為了保證擺線針輪行星傳動(dòng)的傳動(dòng)精度，須減小拆裝次數(shù)，通常采用脂潤(rùn)滑，故在傳動(dòng)過(guò)程中經(jīng)常處于供油不足狀態(tài)。擺線輪與針輪的潤(rùn)滑特性，特別在乏油的條件下，直接影響齒輪的傳動(dòng)效率、接觸疲勞及使用壽命[1-3]，故開(kāi)展擺線針輪傳動(dòng)乏油潤(rùn)滑特性的研究非常有必要。

學(xué)者們對(duì)脂潤(rùn)滑做了部分研究，KAUZLARICH和GREENWOOD[4]基于Herschel-Bulkley流體模型推導(dǎo)出了脂潤(rùn)滑的膜厚公式。JONKISZ和KRZEMINSKI-FREDA[5]得到線接觸脂潤(rùn)滑彈流問(wèn)題的完全數(shù)值解。WEN和YING等[6]通過(guò)實(shí)驗(yàn)和理論研究確定脂潤(rùn)滑數(shù)學(xué)模型的流變參數(shù)，表明脂潤(rùn)滑在乏油工況下形成的膜厚比油潤(rùn)滑小。LUGT對(duì)脂潤(rùn)滑的發(fā)展?fàn)顩r進(jìn)行了綜述，指出脂潤(rùn)滑乏油機(jī)制有待進(jìn)一步研究。ROTHBERG等[8]用Bingham流體模型表征脂的本構(gòu)方程，研究表明油膜溫升會(huì)破壞接觸區(qū)域的阻塞流，導(dǎo)致膜厚減小，使?jié)櫥瑺顟B(tài)轉(zhuǎn)變成混合潤(rùn)滑狀態(tài)或邊界潤(rùn)滑狀態(tài)。

在齒輪傳動(dòng)過(guò)程中，乏油現(xiàn)象經(jīng)常發(fā)生，造成潤(rùn)滑狀態(tài)不良。WEDEVEN等[9]通過(guò)光干涉法分析點(diǎn)接觸下乏油機(jī)制，表明卷吸速度增加是引起乏油的主要原因。HAMROCK和DOWSON[10]采用改變?nèi)肟谟?jì)算邊界與赫茲接觸中心的距離來(lái)表征乏油程度，研究乏油程度變化對(duì)點(diǎn)接觸下壓力和膜厚的影響。潤(rùn)滑油在接觸區(qū)的入口處通常存在逆流，TIPEI[11]利用逆流發(fā)生的位置確定了入口邊界。MOHAMMADPOUR等[12-13]采用TIPEI的方法先確定入口邊界，再利用HAMROCK和DOWSON的方法來(lái)確定乏油程度，研究了點(diǎn)接觸乏油潤(rùn)滑特性。ELROD[14]提出一種處理乏油潤(rùn)滑問(wèn)題的有效算法，以入口油膜厚度來(lái)表征乏油程度。YIN等[15]利用ELROD提出的方法對(duì)橢圓接觸進(jìn)行熱彈流乏油潤(rùn)滑數(shù)值分析，研究橢圓比對(duì)準(zhǔn)充分供油條件下所需供油量的影響。WANG等[16]在乏油條件下，研究接觸表面的微織構(gòu)對(duì)壓力及膜厚的影響。

目前，關(guān)于擺線針輪傳動(dòng)接觸潤(rùn)滑特性方面的研究報(bào)道較少。趙清和何韶君[17]最先利用DOWSON提出的最小膜厚經(jīng)驗(yàn)公式，來(lái)判斷擺線針輪傳動(dòng)嚙合過(guò)程中潤(rùn)滑狀態(tài)的優(yōu)劣。姜元志等[18-19]將擺線針輪傳動(dòng)接觸簡(jiǎn)化為無(wú)限長(zhǎng)線接觸，建立無(wú)限長(zhǎng)彈流潤(rùn)滑數(shù)值模型，利用多重網(wǎng)格法對(duì)壓力進(jìn)行求解，對(duì)擺線針輪傳動(dòng)接觸瞬態(tài)彈流潤(rùn)滑特性進(jìn)行了分析，并討論單粗糙度峰對(duì)擺線針輪傳動(dòng)彈流潤(rùn)滑特性的影響。作者已對(duì)擺線針輪傳動(dòng)彈流潤(rùn)滑特性做了部分研究，采用統(tǒng)一雷諾方程技術(shù)建立了擺線針輪傳動(dòng)線接觸脂潤(rùn)滑模型，利用追趕法求解壓力，利用DC-FFT法求解彈性變形，分析了工況變化及修形參數(shù)變化對(duì)擺線針輪傳動(dòng)潤(rùn)滑特性的影響[20-22]。

在工程實(shí)際中，擺線輪與針齒嚙合為有限長(zhǎng)線接觸，由于制造和安裝誤差以及供油條件的影響會(huì)導(dǎo)致供油厚度沿齒寬方向呈不均勻分布，進(jìn)一步會(huì)影響壓力和膜厚在齒寬方向上的分布，這方面的研究國(guó)內(nèi)外目前未見(jiàn)報(bào)道，對(duì)工程實(shí)際中由于供油條件變化引起彈流潤(rùn)滑問(wèn)題有一定的指導(dǎo)意義。本文作者引入部分油膜比例，建立擺線針輪傳動(dòng)有限長(zhǎng)線接觸乏油潤(rùn)滑數(shù)值模型，考慮入口油膜厚度及工況變化，研究沿齒寬方向上不均勻分布的入口油膜厚度對(duì)接觸區(qū)壓力和膜厚分布的影響。

1 擺線針輪傳動(dòng)幾何與運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

在擺線針輪傳動(dòng)潤(rùn)滑特性分析之前，需對(duì)其進(jìn)行幾何及運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，可參考文獻(xiàn)[20]。表1給出了擺線針輪傳動(dòng)副及潤(rùn)滑設(shè)計(jì)相關(guān)參數(shù)。擺線針輪傳動(dòng)裝置設(shè)計(jì)時(shí)，影響擺線輪齒廓形狀和承載能力的主要參數(shù)是短幅系數(shù)k1，k1=(Azb)/Rb，A為偏心距，zb為針輪齒數(shù)，Rb為針輪半徑。

表1 擺線針輪傳動(dòng)副及潤(rùn)滑相關(guān)參數(shù)

圖1所示為擺線輪與針齒接觸簡(jiǎn)圖，擺線輪與針齒接觸可簡(jiǎn)化為2個(gè)有限長(zhǎng)圓柱體線接觸模型，如圖2所示。兩圓柱體分別繞自身軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，建立如圖2所示坐標(biāo)系，Y方向?yàn)辇X寬方向，X方向?yàn)闈L動(dòng)方向,Z向?yàn)槟ず穹较?，ry1,ry2為端部修形半徑，rz為針齒半徑，Rz為擺線輪齒廓上某一點(diǎn)處的曲率半徑。

圖1 擺線輪與針齒接觸簡(jiǎn)圖

圖2 簡(jiǎn)化的有限長(zhǎng)線接觸模型

在嚙合過(guò)程中，擺線輪曲率半徑Rz變化，針齒半徑rz為定值，從而得到嚙合過(guò)程中的當(dāng)量曲率半徑為

R=Rzrz/(Rz±rz)

(1)

式中:“+”號(hào)用于外凸齒廓嚙合，“-”號(hào)用于內(nèi)凹齒廓嚙合。

嚙合過(guò)程中載荷[17]為

(2)

圖3 擺線輪與針齒嚙合示意圖

(3)

圖4所示為擺線輪與針齒嚙合過(guò)程中等效曲率半徑、卷吸速度、單位嚙合力隨嚙合相位變化曲線，表明標(biāo)準(zhǔn)齒廓單位嚙合力F、等效曲率半徑R和卷吸速度ur經(jīng)過(guò)相位角ψ=arccos(k1)時(shí)變化趨勢(shì)發(fā)生轉(zhuǎn)變。

圖4 當(dāng)量曲率半徑(a)、卷吸速度(b)和單位嚙合力(c)隨嚙合相位變化

2 擺線針傳動(dòng)接觸乏油潤(rùn)滑模型

由于擺線輪與針齒之間接觸屬于純滾動(dòng)接觸，故雷諾方程中僅需考慮牛頓流體的影響且忽略熱效應(yīng)的影響。對(duì)于乏油潤(rùn)滑，量綱一化雷諾方程中需引入變量：部分油膜厚度比例θ(θ=Hf/H，其中Hf為油膜厚度，H為兩接觸體之間間隙高度)，用來(lái)表征兩表面間隙被潤(rùn)滑油填充的程度[15]。

(4)

量綱一化Reynolds方程的邊界條件為

(5)

為了保證充分潤(rùn)滑狀態(tài)，量綱一計(jì)算域?yàn)閄=[Xin,Xout]=[-4.0,1.5]。在整個(gè)計(jì)算區(qū)域內(nèi)，量綱一化Reynolds方程還須滿足補(bǔ)充條件：

P(X,Y)[1.0-θ(X,Y)]=0.0

(6)

當(dāng)P(X,Y)>0.0時(shí)，θ(X,Y)=1.0為充分供油狀態(tài)；當(dāng)P(X,Y)=0.0時(shí)， 0.0<θ(X,Y)<1.0為乏油或氣穴狀態(tài)。

部分油膜厚度比例θ(X)的邊界條件[15]為

(7)

式中：Hf(Xin)=Hoil,Hoil為計(jì)算區(qū)域Xin處量綱一入口油膜厚度，用來(lái)表征工程實(shí)際中接觸區(qū)入口處的供油量。

量綱一化膜厚方程、黏度方程、密度方程、變形方程及載荷平衡方程參考文獻(xiàn)[23]。

為了利用追趕法對(duì)壓力進(jìn)行求解，離散量綱一化Reynolds方程為如下形式[24]：

αipi-1+βipi+γipi+1=δi

(8)

式中：αi、βi、γi和δi為Poiseuille流和Couette流差分系數(shù)的和。

利用二階中心差分離散Poiseuille流，一階向后差分離散Couette流。

(9)

(10)

(11)

(12)

將部分油膜比例θi作為未知量求解，得到部分油膜厚度比例的迭代格式為

(13)

在壓力求解時(shí)，壓力和部分油膜厚度比例被當(dāng)作分離變量循環(huán)迭代，具體的迭代方法及收斂準(zhǔn)則參考文獻(xiàn)[20]，文中采用DC-FFT法進(jìn)行彈性變形快速計(jì)算[25]。

3 擺線針傳動(dòng)乏油接觸潤(rùn)滑特性分析

3.1 乏油接觸潤(rùn)滑特性分析

理想狀態(tài)下，入口油膜厚度沿齒寬方向呈均勻分布。圖5—7分別給出相位角ψ=arccos(k1)處入口油膜厚度為0.6 μm條件下壓力、膜厚和部分膜厚度比例分布曲線。

圖5 入口油膜厚度hoil=0.6 μm條件下壓力分布?jí)毫Ψ植?a)，Y=0截面壓力分布(b)，X=0截面壓力分布(c)(Tin=420 N·m，nin=500 r/min)

圖6 入口油膜厚度hoil=0.6 μm條件下膜厚分布(a),Y=0截面上膜厚分布(b),X=0截面上膜厚分布(c)(Tin=420 N·m，nin=500 r/min)

圖7 入口油膜厚度hoil=0.6 μm條件下部分油膜厚度比例分布(a),Y=0截面部分油膜厚度比例分布(b),X=0截面部分油膜厚度比例分布

圖5和6表明，在X=0截面上(齒寬方向)，由于邊緣效應(yīng)，在端部出現(xiàn)明顯的壓力峰及膜厚頸縮現(xiàn)象；而在接觸線中段大部分區(qū)域，膜厚和壓力變化較小。圖7(b)表明，在Y=0截面上(滾動(dòng)方向上)，部分膜厚比例θ在入口區(qū)域由小于1.0變?yōu)榈扔?.0的過(guò)程發(fā)生突變，該突變位置對(duì)應(yīng)于壓力形成的起始位置。

圖8和9分別給出相位角ψ=arccos(k1)處Y=0截面和X=0截面上壓力、膜厚和部分油膜比例隨入口油膜厚變化曲線。

圖8 在Y=0截面上隨入口油膜厚度變化的壓力分布變化(a)，膜厚分布變化(b)部分油膜厚度比例分布變化(c)(Tout=420 N·m，nin=500 r/min)

圖9 在X=0截面上隨入口油膜厚度變化的壓力分布變化(a)，膜厚分布變化(b)，部分油膜厚度比例分布變化 (c)(Tout=420 N·m，nin=500 r/min)

在Y=0截面上，當(dāng)入口油膜厚度hoil=0.3 μm時(shí)，壓力分布曲線與Hertz接觸壓力曲線相似，膜厚分布曲線在接觸區(qū)域較平坦，部分膜厚比例由θ<1.0變?yōu)棣?1.0突變不明顯。隨著入口油膜厚度增加接觸中心壓力減小，壓力曲線在出口區(qū)域逐步形成二次壓力峰并向接觸中心移動(dòng)，壓力形成的起始位置向接觸區(qū)上游移動(dòng)；接觸區(qū)膜厚相應(yīng)增加，出口區(qū)域的頸縮變得越來(lái)越明顯；部分膜厚比例由θ<1.0變?yōu)棣?1.0突變?cè)絹?lái)越明顯，且該突變位置向接觸區(qū)上游移動(dòng)。在X=0截面上，入口油膜厚度變化對(duì)壓力和部分油膜厚度比例影響較小。上述分析結(jié)果與文獻(xiàn)[15-16]一致，從而驗(yàn)證數(shù)值模型的正確性。

為了進(jìn)一步研究均勻分布的入口油膜厚度hoil對(duì)彈流潤(rùn)滑狀態(tài)的影響，圖10(a)給出相位角ψ=arccos(k1)處最小油膜厚度隨入口油膜厚度變化的曲線。當(dāng)hoil<1.0 μm時(shí)，隨著hoil增加，最小膜厚hm增幅較大；當(dāng)hoil>1.0 μm時(shí)，隨著hoil增加，最小膜厚hm增幅漸漸變小，最后趨近于充分供油條件下的最小膜厚。圖10(b)給出整個(gè)嚙合過(guò)程中最小油膜厚度隨入口油膜厚度變化的曲線，并與Dowson-Higginson最小油膜厚度經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行比較[26]。隨著入口油膜厚度增加，整個(gè)嚙合區(qū)間的最小油膜厚度增加。不同供油條件下，嚙合過(guò)程中最小膜厚變化趨勢(shì)是一致的，最小油膜厚度在相位角ψ=arccos(k1)處存在最小值，故該相位處潤(rùn)滑狀態(tài)可以作為判斷整個(gè)嚙合過(guò)程中潤(rùn)滑狀態(tài)優(yōu)劣的依據(jù)。

圖10 嚙合相位ψ=arccos(k1)處最小油膜厚度(a)和整個(gè)嚙合相位最小油膜厚度(b)隨入口油膜厚度變化曲線

3.2 不同入口油膜厚度分布對(duì)乏油接觸潤(rùn)滑特性的影響

為了保證供油量相等，假設(shè)4種不同分布的入口油膜厚度,分別為均勻分布、傾斜分布、凹形分布和凸形分布。如圖11所示。

方程式如下：

式中：hoil為沿齒寬方向上的平均入口油膜厚度；Km為表征傾斜程度的參數(shù)；Am為余弦波幅值，表征不均勻分布程度。

圖12給出平均油膜厚度hoil=0.6 μm條件下沿齒寬方向4種入口油膜厚度形狀。均勻分布表示入口油膜厚度沿齒寬方向上不變，為0.6 μm；傾斜分布表示入口油膜厚沿齒寬方向線性增加或減小變化；凹形分布表示入口油膜厚度在齒寬中間較薄，在兩邊較厚；凸形分布與凹形分布相反，入口油膜厚度在齒寬中間較厚，而兩邊較薄。

圖12 不同入口油膜厚度分布曲線(hoil=0.6 μm,Km=0.8 μm,Am=0.4 μm)

圖13—15在平均入口油膜厚度hoil=0.6 μm條件下分別給出4種入口油膜厚度分布條件下壓力、油膜厚度和部分油膜厚度比例曲線。圖13(a)表明,在Y=0截面上，由凹形入口油膜厚度計(jì)算得到的中心壓力最小且二次壓力峰不明顯，由于凹形入口油膜厚是在齒寬中部供油不足造成的，由另外三種入口油膜厚度形狀計(jì)算的壓力幾乎無(wú)差別。圖13(b)給出在X=0截面上壓力分布，表明沿齒寬方向上壓力的分布受入口油膜厚度分布影響，與入口油膜分布相似。

圖13 不同入口油膜分布條件下Y=0截面(a)和X=0截面(b)壓力變化曲線(hoil=0.6 μm，Km=0.8 μm，Am=0.4 μm，Tout=420 N·m，nin=500 r/min)

圖14表明,在Y=0截面上，凹形入口油膜厚度分布計(jì)算得到的膜厚最小，凸形入口油膜厚度分布計(jì)算的膜厚最大。在X=0截面上,膜厚分布受到入口油膜厚度分布的影響，與入口油膜厚度分布相似。

圖14 不同入口油膜分布條件下Y=0截面(a)和 X=0截面(b)膜厚變化曲線(hoil=0.6 μm，Km=0.8 μm，Am=0.4 μm，Tout=420 N·m，nin=500 r/min)

凸形分布計(jì)算的膜厚在齒寬中間較大，在兩邊最??；而凹形分布計(jì)算的膜厚在齒寬中間較小，在兩邊較大。圖15表明,在Y=0截面上，凸形分布計(jì)算的部分油膜厚度比例θ=1.0的區(qū)域最大。在X=0截面上不同入口油膜厚度分布對(duì)部分油膜厚度比例幾乎無(wú)影響。表明沿齒寬方向上的壓力和膜厚的分布受到入口油膜厚度分布的影響，形狀與入口油膜厚度分布相似。

圖15 不同入口油膜分布條件下Y=0截面(a)和X=0截面(b)部分油膜厚度比例變化曲線(hoil=0.6 μm，Km=0.8 μm，Am=0.4 μm，Tout=420 N·m，nin=500 r/min)

進(jìn)一步討論供油量和工況變化對(duì)壓力和膜厚分布的影響。圖16給出凸形入口油膜厚度分布條件下，壓力和膜厚隨供油量變化曲線。

圖16 不同供油量下X=0截面凸形入口油膜厚度分布(a)，齒寬方向上壓力和膜厚分布(b，c)隨凸形入口油膜厚度的變化(Am=0.3 μm，Tout=420 N·m，nin=500 r/min)

圖17給出在傾斜入口油膜厚度分布條件下壓力和膜厚隨供油量變化曲線。隨著入口供油量增加，入口油膜厚度的分布對(duì)齒寬方向上的壓力和膜厚分布影響減小，壓力和膜厚趨于均勻分布。充分供油條件下，可以忽略齒寬方向上入口油膜厚度不均勻性對(duì)壓力和膜厚分布的影響，但在乏油條件下不能被忽略。

圖17 不同供油量下X=0截面傾斜入口油膜厚度分布(b)，齒寬方向上壓力和膜厚分布(b，c)隨傾斜入口油膜厚度變化(Km=0.8 μm，Tout=420 N·m，nin=500 r/min)

圖18給出凸形入口油膜厚度分布條件下，齒寬方向上壓力和膜厚分布隨速度變化曲線，平均入口油膜厚度hoil=0.6 μm，幅值A(chǔ)m=0.4 μm。

圖18 凸形入口油膜厚度分布(a)，凸形入口油膜厚度條件下齒寬方向上壓力和膜厚分布(b，c) 隨速度的變化(hoil=0.6 μm，Am=0.3 μm，Tout=420 N·m)

隨著速度增加，齒寬中部的壓力增加，膜厚增加，壓力和膜厚沿齒寬方向上不均勻程度增加。表明隨著速度的增加，齒寬方向壓力和膜厚分布受入口油膜厚度不均勻分布的影響增加。

圖19給出凸形入口油膜厚度條件下，齒寬方向上壓力和膜厚分布隨載荷變化曲線，平均入口油膜厚度hoil=0.6 μm，幅值A(chǔ)m=0.4 μm。隨著載荷增加，壓力增加，齒寬中部的膜厚減小，壓力和膜厚沿齒寬方向上均勻程度增加。表明隨著載荷的增加，齒寬方向壓力和膜厚分布受入口油膜厚度不均勻分布的影響減小。

圖19 凸形入口油膜厚度分布(a)，凸形入口油膜厚度條件下齒寬方向上壓力和膜厚分布(b，c)隨載荷的變化(hoil=0.6 μm，Am=0.4 μm，nin=500 r/min)

4 結(jié)論

引入部分油膜厚度比例，以入口油膜厚度來(lái)表征乏油程度，建立擺線針輪有限長(zhǎng)線接觸乏油潤(rùn)滑數(shù)值模型，研究沿齒寬方向上不均勻分布的入口油膜厚度對(duì)壓力和膜厚分布的影響，得到以下結(jié)論：

(1)乏油條件下，隨著入口供油量增加，入口油膜厚度的不均勻分布對(duì)齒寬方向上的壓力和膜厚分布的影響減??；充分供油條件下，可以忽略沿齒寬方向上入口油膜厚度的不均勻性對(duì)壓力和膜厚分布的影響。

(2)乏油條件下，隨著速度的增加，齒寬方向壓力和膜厚分布受入口油膜厚度不均勻分布的影響增加；隨著載荷的增加，齒寬方向壓力和膜厚分布受入口油膜厚度不均勻分布的影響程度減小。