高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的學(xué)生直觀想象能力培養(yǎng)策略探析
——以平面向量為例

陳瓊琪

（浙江省嚴州中學(xué)梅城校區(qū)，浙江杭州 311604）

1 提出問題

在2017浙江高考數(shù)學(xué)15題中，考察的是平面向量問題，該問題可以從代數(shù)角度解決，也可以從幾何角度解決，充分體現(xiàn)了浙江高考數(shù)學(xué)向量問題命題一貫的風(fēng)格。題目及解法如下：

2 理論依據(jù)

2.1 高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求

高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程。主要包括：借助空間認識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系；構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)。在直觀想象核心素養(yǎng)的形成過程中，學(xué)生能夠進一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，增強運用圖形和空間想象思考問題的意識，提升數(shù)形結(jié)合的能力。

2.2 數(shù)學(xué)大家的經(jīng)驗啟示

華羅庚先生說過：“數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，割離分家萬事休。幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系莫分離。”可見，數(shù)形結(jié)合的思想在數(shù)學(xué)中的地位，“數(shù)缺形時少直觀”說明直觀想象能力能使數(shù)學(xué)問題更直觀形象，即把數(shù)學(xué)與幾何圖形相結(jié)合，化繁為簡，化抽象為具體，直觀快速地抓住問題的本質(zhì)與要害，可使解題起到事半功倍的效果。

古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》是一部不朽之作，集整個古希臘數(shù)學(xué)成果和精神于一書，使幾何學(xué)變成一座建立在邏輯推理基礎(chǔ)上的不朽豐碑。《幾何原本》的誕生，標志著幾何學(xué)已成為一個有著比較嚴密的理論系統(tǒng)和科學(xué)方法的學(xué)科。而《幾何原本》是在古埃及、古巴比倫時期的“直觀幾何”的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。

因此，我們發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)、分析和解決借助幾何形象，運用直觀想象能力和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，使得抽象問題具體化，代數(shù)問題幾何化。在解決平面向量問題時，我們也可以運用平面向量的幾何意義，使得向量問題幾何化，從“形”的角度理解向量，養(yǎng)成主動想圖、作圖和用圖思考的習(xí)慣，“看”出思路，“看”出簡潔。

3 學(xué)生直觀想象能力的培養(yǎng)策略

從2004年浙江省自主命題以來，向量試題就呈現(xiàn)出鮮明的特點：具有極強的數(shù)學(xué)味和突出的幾何背景，既可以考查向量的代數(shù)運算，也能通過對幾何背景的透視，抓住向量本質(zhì)，簡化解題思路。在高考中“快狠準”地解決向量問題，幾何性質(zhì)的恰當運用起著至關(guān)重要的作用。

3.1 平面向量的模長——距離

向量的模即向量的大小，也即為表示向量的有向線段的長度。向量的加減運算，有平行四邊形法則和三角形法則， 常用的+和-即為平行四邊形的兩條對角線，體現(xiàn)了向量的加減運算的幾何意義。向量-通過三角形法則可知，可表示為從|+|的終點指向的終點的有向線段，故|-|即為兩個終點間的距離。而加法和減法互為逆運算，同理|+|也可理解為兩個終點間的距離。 若當向量和中有一個向量的模長確定時，|+|和|-|可以理解為一個定 點到一個動點間距離的問題。即

圖1

圖2

故當B，B'在x軸上左右端點時，取得最小值4（三角形兩邊之和大于第三邊），當如圖2位置時，取得最大值

解析：用數(shù)形結(jié)合方法求解，作正方形OACB，連對角線 AB，則向量等于向量(D 為對角線AB上一點），向量等于向量(E 為OB 邊上一點，EB=10），OD＝DC， 所以等于 ED+DC，由幾何意義可知 ED+DC的最小值為EC的值，即等于26。故正確答案為B。

圖3

3.2 平面向量的模長——圓

向量的模即向量的大小，也即為表示向量的有向線段的長度。當向量的模確定時，該向量可以用起點在坐標原點，終點在以坐標原點為圓心以向量的模長為半徑的圓上的有向線段表示，從而將有關(guān)模長問題轉(zhuǎn)化為與圓相關(guān)的幾何問題，結(jié)合直觀想象能力，快速解題。

圖4

3.3 平面向量的模長——橢圓

此類轉(zhuǎn)化方法建立在前兩種轉(zhuǎn)化方法的基礎(chǔ)之上，但又勝于前兩種轉(zhuǎn)化方法，它的巧妙之處在于將橢圓的幾何性質(zhì)恰到好處地融合到解法中，將|+|+|-|理解為橢圓內(nèi)的點到兩焦點的距離之和，因此通過橢圓的幾何性質(zhì)及三角不等式，很快可以得到，當三點共線時取得最小值，當終點在橢圓上（即短軸端點）時取得最大值，最大值為橢圓的長軸長。

圖5

則 F1，F(xiàn)2以為焦點，2||為短軸構(gòu)成橢圓.

當 F1，P，F(xiàn)2三點共線時等號成立，所以的最小值是4.

4 結(jié)語

該文僅通過平面向量問題對培養(yǎng)直觀想象能力的初步探討。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成不是一項即時性的活動，而是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不斷積累，不斷思考探索，從而形成質(zhì)變的過程。在日常教學(xué)中，重視向量以及向量的模長、向量的運算等的幾何意義，從日常教學(xué)中點滴滲透幾何性質(zhì)，強化學(xué)生的想圖、作圖和用圖的能力，讓學(xué)生形成直觀想象的思維習(xí)慣和思維能力，不僅有助于向量問題的解決，直觀想象能力在很多數(shù)學(xué)問題中都能發(fā)揮重要作用。