巧用換元法 提升解題力

黃慧群 張祖蘭

【摘 要】本文以例講解換元法的基本思想與具體用法，引導學生深入理解換元法，培養學生換元求解的數學思想方法，掌握化歸與轉化的數學思想，以提高學生的數學解題能力和學科素養。

【關鍵詞】函數值域 換元法 化歸與轉化

【中圖分類號】G ?【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）03B-0155-04

《普通高中數學課程標準（2017 版）》中指出，函數是現代數學最基本的概念，是描述客觀世界中變化關系的數學語言與有效的數學工具。同時，函數內容是貫穿高中數學課程的主線。高中數學函數部分主要研究基本初等函數的性質與圖象，并且進行基本的復合學習。學生在初中與高中階段已經學習完六大初等函數。而高考中所考查的函數都是由以上函數經過混合運算或者復合關系而得到的。因此學生接觸的函數解析式復雜、綜合性強，學生面對這些問題時大多會感到無從下手。在函數的考查中，函數的三要素一直占據著重要地位。特別的是，復合函數的值域更是一個熱門的考點，但是學生卻不易找到解法。為了有效地突出重點—— 基本初等函數的性質，突破難點—— 如何利用學習過的知識解決新的難題，就很有必要帶領學生學習換元法。

美國著名數學教育家 G.波利亞在《怎樣解題》中說過，“數學教學的目的在于培養學生的思維能力”“掌握數學就意味著要善于解題”，而“數學解題就是命題的連續變換”。在高中數學的學習中，換元法是一種常見并且十分重要的數學思想方法、解題方法。換元法，亦稱輔助未知數法，又稱變元代換法。它是普遍應用的一種方法，其一般意義是將由一個或幾個變元構成的數學表達式中的一部分用新的變元表示，以利于問題的解決。

換元轉化就是通過對函數解析式的觀察抽象出模塊，并轉化為其他函數知識的過程。當研究結構相對復雜的函數值域問題，如果能夠觀察出該函數解析式的特點，將其他的部分當成一個整體，并引入新的變量，那么就可以使問題簡單化，結構清晰化，從而可以運用初等函數的有關知識解決問題。這種方法能比較好地啟發學生解題的思路，使學生找出解題的捷徑，強化學生求解值域問題的能力。賀雙桂等（2006）指出，在高中階段，學生接觸到的換元法主要有：（1）整體代換。它是指在一個代數式結構中，有某個代數式作為一個單元重復多次出現時，可以選擇用一個字母即元來代替此單元，進而簡化代數式的結構，觀察出代數式的規律特點，從而解決問題。（2）三角換元。此類代數式中常常含有根號，借助三角函數的性質進行與根號的轉化。此外，還有萬能換元法等，高中階段并不常見，在此不贅述。

本節課主要研究的是整體代換法，其方法和步驟如下：（1）分析函數的復合關系。（2）設立新的變量，并且換元，建立以新元為變量的新函數。（3）求出新元的取值范圍。（4）根據新函數的性質，求出值域，回答問題。教學過程如下：

一、熱身訓練

1.函數 y=x2+5x+4 的值域為

2.函數 y=x2+5x+4，x∈[2，5）的值域為

3.函數 ?在區間[2，5）上值域為

4.函數 ?，（x>0）的值域為

【設計意圖】回顧二次函數、反比例函數以及對構型函數的值域求解知識，這是本節課的知識基礎，為求解復合型函數的值域問題做鋪墊。

二、問題探究

（一）二次型值域問題

（1）函數 ?的值域是

〖解析〗（1）中的難點在于含有 ，故想到令 ，則把原函數代換成學生所熟悉的二次函數，把復雜的問題化歸成熟悉的二次函數在某一區間的最值問題。

令 ，則 x=1-t2，

y=1-t2+t

，

∴函數 ?的值域為

（2）函數 ? y=4x-3×2x+1+5 ?的值域是

〖解析〗經過簡單的變形 4x=（2x）2 后，容易發現函數解析式中重復出現了 2x 這個單元，因此可以進行換元。

令 t=2x ∈（0，+∞），則

y=（2x）2-3×2×2x+5

=t2-6t+5

=（t-3）2-4，t∈（0，+∞）

∴函數 ?y=4x-3×2x+1+5 的值域為[4，+∞）

（3）函數 ?的值域是

〖解析〗此道題有一定的難度。學生很容易觀察到 x2 是重復出現的，但若此時將 x2 進行換元，則新的函數解析式會出現根號，不利于我們解決問題。因此我們可以利用分式的性質先將原函數進行恒等變形得到 。

令 ，可得到

∴函數 ?的值域為

（4）函數 y=cos2x+4sinx 的值域是

〖解析〗原函數是由兩個三角函數相加而成，其中，cos2x 含有二倍角，因此可以先運用二倍角公式 cos2x=1-2sin2x 進行函數變形 y=1-2sin2x+4sinx，從而得到一個以 sinx 為基礎單元的二次函數。

令 t=sinx，則 t∈[-1，1]

y=1-2t2+4t=-2（t-1）2+3

∵ t∈[-1，1]

∴ y∈[-5，3]

函數 y=cos2x+4sinx 的值域的[-5，3]。

（5）定義在 R 上的函數 f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4） 的值域是

〖解析〗注意到函數式中各因式的常數部分的等差規律，通過因式重組相乘產生相同項，進而找到換元的切入點。

因為 f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）

=（x+1）（x+4）（x+2）（x+3）

=（x2+5x+4）（x2+5x+6）

=（x2+5x+4）[（x2+5x+4）+2]

令 t=x2+5x+4，則 。

所以 f（x）=t（t+2）=t2+2t，值域為[-1，+∞）。

即函數 f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）的值域是[-1，+∞）

【設計意圖】初中階段學生學習過二次函數的基本性質，也在實際應用中接觸過二次函數的最大最小值問題，但是都是比較簡單與基礎的題。現在高中階段再次學習二次函數，學習的廣度與深度都進一步加大，此時不再需要直接求解二次函數的值域問題，而是需要學生有一種模型的思想，觀察函數解析式的特點，以二次函數為解決問題的橋梁從而求值域。

一般來說，能夠轉化成二次型函數問題有幾類：（1）含有二次根式的二次型，利用平方根與平方的互逆關系進行換元，將原函數轉化成二次函數。（2）含有指數的二次型，根據指數的運算法則進行適當地變形之后，可以選擇合適的新元，把原函數轉化成二次函數。（3）含有對數的二次型，根據運算法則也可以轉化成二次函數。（4）含有三角函數的二次型，根據三角函數的公式進行變形轉化成二次函數問題。

當然，在解決具體問題的過程中，教師應該注意強調，無論何種情況都要保證換元得到的新函數的自變量的取值范圍是正確的，以免出錯。

（二）對勾型值域問題

【例題】函數 ，x∈（-1，+∞）的值域為

〖解析〗令 t=x+1，則 x=t-1，

∵ x∈（-1，+∞），則 t∈（0，+∞）

∴

∴，即 y∈（1，+∞）

【變式】函數 ，x∈（-1，+∞）的值域為

〖解析〗我們可以觀察到變式中的函數是原題中函數的倒數，在解題的過程中要善于借助已有的知識與結論來解決問題，從而使得問題的解決簡單化、邏輯化、系統化。

令 t=x+1，，則

由例題可知，u∈[1，+∞），∴ ∈（0，1]

【設計意圖】對勾函數是形如 ?的函數，是由正比例函數與反比例函數復合而得到的函數。因其圖象的特點，也被稱作“耐克函數”或者“耐克曲線”。高中數學人教版教材必修 5 中均值不等式部分引用了對勾函數作為例題，但是教材中沒有對對勾函數進行介紹。但是這類函數在求取函數的單調性與值域問題、不等式的證明問題，以及解方程上起著重要的作用。對勾函數在高中考查中難度大，需要一定的邏輯推理能力以及較好的運算水平，應當引起學生足夠的重視。在掌握對勾函數的性質之后，學生還要學會靈活地運用它，將問題變形成對勾函數。比如，函數 ?可以通過恒等變形轉化成 ;函數 ?可以通過變換轉化為 ;函數 ?可以通過變換轉化為 。通過適當的變形后，運用對勾函數的性質求解這類函數的值域問題。

（三）反比例型值域問題

【例題 1】函數 ?的值域為

〖解析〗令 t=x+1，則 x=t-1

【例題 2】函數 ?的值域為

〖解析〗令 t=x2+1，則 x2=t-1

函數

又

∴ 函數 。

【變式】函數 ?的值域為

〖解析〗分式函數 ?的值域問題的解法很多，本節課主要介紹了換元法，但也可以運用分離參數法將其轉化為二次函數，然后運用判別式法來解決問題。在實際教學中，應該注意引導學生集思廣益，拓展思路，運用不同的方法解決問題，使學生在思考與計算的過程中，深刻體會換元法在解決這類問題時的簡潔性、有效性。

令 t=x2+x+1，則

。

【設計意圖】反比例型函數是形如 ?的函數，是由反比例函數平移變換而得到的一類函數。形如 ?的函數可以通過分離常數的變形變為 。一般來說，形如 （f（x）≠0，且 f（x），g（x）都是次數相同的整式代數式的函數都可以轉化為反比例型函數，學生在學習過程中應該注意歸納，總結做題經驗。

三、自我檢測

1.達標檢測題

（1）定義在 R 上的函數 ?的值域為 ;

（2）函數，x∈（2，∞）的值域為;

（3）函數 ?的值域為 ;

（4）函數 ?的值域為 ;

（5）函數 ?的值域為 。

【設計意圖】這五道題目分別考查了用換元法求解函數值域問題中的二次型值域問題、對構型問題以及反比例型問題。難度中等，題型常規，主要是檢測學生的學習效果。目的是使學生掌握運用換元法求解函數值域的基本方法，及時鞏固所學的內容;在練習中進一步感悟轉化這一數學思想，積極主動地理解換元法的本質;有意識地去總結題型，注意這三類問題的解決方法，慢慢地培養適合自己的分析習慣，從而突破函數值域的求解問題。

2.能力提高題

（1）函數 ?的值域為 ;

（2）已知 ，則函數 ?的值域是 ;

（3）定義在 R 上的函數 f（x）=（sinx-2）（sinx-3）（sinx-4）（sinx-5）的值域是 。

【設計意圖】這三個題目屬于能力提高題，需要學生認真觀察，充分分析函數的結構，選擇恰當的“元”進行變形。變形的步驟比較繁瑣，難度較大，對學生的邏輯推理與數學運算能力都提出了更高的要求。這三道題目要求學生在掌握解決這三類函數的值域問題的基本方法與基本技能后，深刻理解其中所蘊含的數學思想。雖然所考查的函數千變萬化，但是核心的考點還是對函數代數式進行轉化，化歸成學生熟悉的問題進行求解。在積極思考，合作交流解決問題的過程中，使學生更加深刻感悟此類問題的內核與本質，體會不同題目之間的聯系與區別;領悟其中蘊含的思想，懂得解法萬變不離其宗，（下轉第166頁）（上接第157頁）從而概括抽象出數學思想方法，形成自己的思考。這樣才是真正發展學生的數學能力，在課堂中落實核心素養培養。

四、歸納總結

在高中數學的學習中，換元法是一種常見并且十分重要的數學思想、解題方法。換元轉化是通過對函數解析式的觀察抽象出模塊，并轉化為其他函數的過程。換元法是將未知轉化成已知，將局部聯系整體，運用特殊到一般的轉化，充分體現了化歸這一重要的數學思想。教師在教學中要時刻引導學生感悟數學思想與數學方法，既要幫助學生更快地解決數學問題，又要加深學生對化歸理想的理解。因此，筆者希望通過針對性的例題學習，層層遞進，引導學生總結換元的規律與題型，學會用換元法求函數的值域，具備化歸的思想。同時，在這一過程中，學生通過對函數解析式整體與局部特點的分析，逐步建立解題大局觀，培養迎難而上，勇于鉆研的精神，從而落實學生的素養教育措施，讓學生更加深刻地體會辯證唯物主義—— 萬事萬物在一定條件下是互相轉化的的思想。

【參考文獻】

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[3]盧春婷，黃登香，林 姍，劉 一.基于翻轉課堂模式的定積分第一換元法的教學設計[J].現代經濟信息，2018（19）

[4]楊建奇，朱雯婷.中學數學教學中換元法思想的培養[J].科技風，2018（29）

[5]蘭詩全，林紀禮.換元法—— 解題的利器[J].中學數學教學，2018（4）

（責編 盧建龍）