發展學生數學抽象能力的教學策略

許禮光

摘要

數學抽象是形成理性思維的重要基礎，它使得數學成為高度概括、準確表達、結論可一般化的系統。根據數學抽象的內涵與要求，基于現實發展抽象，重視抽象過程設計，合理采取抽象方法，讓學生經歷能在情境中抽象出概念、命題、方法和體系的抽象過程，從而提升學生的數學抽象能力。

關鍵詞

數學抽象 抽象方法 抽象過程

數學抽象能力是舍去現實世界中事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的能力。數學抽象包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中，抽象出數學概念以及概念間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并且用數學符號或者數學術語予以表征。

數學抽象是學生形成理性思維的基礎，它是數學本質特征的反映，使得數學成為高度概括、準確表達、結論可一般化的系統。在抽象能力形成的過程中，可以使學生加深對數學概念、命題、方法和體系的理解，可以使學生有效地理解和掌握數學的本質，可以更好地促進學生養成運用數學抽象思考并解決問題的習慣，積累數學抽象的經驗。

一、基于現實發展抽象

史寧中教授認為：數學抽象是從許多事物中舍去個別的、非本質屬性，得到共同的、本質屬性的思維過程，是形成概念的必要手段。這種基于現實的抽象，是從感性具體上升到理性具體的思維過程。

例如，“溫度計”是家庭必備工具，學生非常熟悉。“溫度計”以“零度”為界，零上與零下的“氣溫”從小到大排列，為此我們可設想：將“溫度計”看作“直線”，這個直線具有如下數學特征：有原點，有統一的單位長度、有數的增大方向，這樣就可將這個“溫度計”看成“數軸”了，可以得到數軸上的點可表示正數、0、負數。借助生活中冷暖體驗的經驗，從而可聯系到“數的大小比較”，得到比較有理數大小的“數軸”規則。

“有理數的加法法則”是學生進入初中學習的第一個運算法則，我們可以借助現實情境，設計系列問題，讓學生感受引入負數后有理數是如何進行加法運算的。

我們首先作出這樣的規定：在足球比賽中贏球為“正”，輸球為“負”，這樣主場與客場兩場比賽的結果可用數學式子表示出來。例如，主場比賽贏2個球，客場比賽輸1個球，那么這一輪比賽結果為凈勝1個球。根據學生已有的經驗，上述結果可這樣表示：（+2）+（-1）= +1。接著提出下列問題供學生思考：

1.依照上面的表示，請說出每輪比賽出現的不同結果情形，并用數學式子表示;

2.通過對所列算式的觀察，嘗試歸納出兩個有理數相加的所有情形，并總結有理數的加法法則;

3.“互為相反數的兩數和為零”與“法則中異號兩數相加的情形”有何聯系？

4.兩個有理數相加與小學學過的兩個數相加有何聯系與區別？

這里的設計，既關注學生對有理數加法運算法則的理解，又讓學生深刻體會到“負數”的意義和作用。

二、重視抽象過程設計

數學抽象是數學的基本思想。在數學抽象過程中，通過對一類問題情境的觀察，發現研究對象的“屬性”;通過對“屬性”的分析，找出簡約化的本質特征，并高度概括;用數學的語言表示出“屬性”，使其適合具有“屬性”的所有對象;再通過建立聯系，納入學生原有的認知系統。數學抽象活動的順利進行，關鍵在于設計合理的問題與任務，讓學生在概念、命題、方法和體系的形成過程中，經歷數學抽象的過程，這是在知識形成過程中有效積累活動經驗的基本策略。

“估算”是數學與生活聯系極為緊密的應用，因為生活中經常遇到的是估算而不是精確計算。“估算”涉及理解數的大小、修正調整數字等能力，這些能力均包含在數學抽象的基本特征中。由于估算一般都源自實際問題，因此，我們需關注設置的情境要有現實意義。

例如，我們可以通過對學生熟悉的A4紙的長與寬的估計、度量、折疊等活動，感受數（長度）的大小（長短）及倍數關系，同時感受無理數就在身邊。可設計如下的活動：

活動1：觀察一張A4紙的兩個邊長，估計A4紙的長與寬之比;

活動2：度量A4紙的長與寬，求出它們的比值，并與你的估計值進行比較;

活動3：將A4紙按下列圖示的方式折疊，說出你的發現;

活動4：將A4紙對折，取其一半，求其長與寬的比并與A4紙的長與寬的比進行比較，說出你得到的結論。

在上述操作的過程中，首先通過觀察，估計A4紙的長與寬的大小關系;接著通過度量獲得長、寬比的近似值;然后通過折疊，得出“折出的正方形對角線與A4紙的長邊重合”，獲得A4紙的長、寬的比為[2]∶1。有了這樣的經驗后，再將A4紙對折“取其一半”，通過觀察及之前的折疊方式，發現仍然與A4紙有同樣的性質，再通過A4紙的長寬之比計算半張紙的長寬比，進行理性的思考和證實發現的結論，這樣的再操作利于學生積累抽象活動的經驗。

類似地，在研究三角形時，我們一般遵循“定義、性質、判定”的思路，通過“合情發現性質，猜想性質逆命題的正確性并演繹證明”的方法，研究三角形邊的關系、角的關系，以及外角、中線、角平分線、高線的各自關系。上述三角形的研究經驗可以上升為一般幾何圖形的研究經驗，我們可將這個方法遷移到四邊形研究中，這樣學生就會自然地提出四邊形到平行四邊形的研究問題，自己規劃研究方案并實施。通過這樣的方法學習了平行四邊形的知識系統，這種經驗可以引領學生繼續構建矩形、菱形、正方形的知識系統，并最終形成“平行四邊形——特殊的平行四邊形”的知識結構系統，完成平行四邊形相關知識的系統抽象。

三、合理采取抽象方法

數學抽象首先是發現屬性，其次是特征概括，接著是數學表示。“發現屬性”要求學生通過觀察、類比、聯想和結構分析，從中找出“屬性”，并建構出符合“屬性”的模型;“特征概括”要求學生能把模型一般化，通過類比、歸納和聯想找出一般化后的對象具備的共同特征，可以用式子、圖形、表格、程序等表示;“數學表示”要求學生表達準確、簡約。

例如，在分式概念教學時，先出示一組具體生活背景的實例。

如果某市綠地面積為520萬㎡，人口總數為30萬人，那么該市人均擁有綠地[523]㎡。

如果某市綠地面積為a萬㎡，人口總數為b萬人，那么該市人均擁有綠地[ab]㎡。

我們發現，如果其中的數量僅是小學學過的兩個整數，那么其和、差、積都是整數，而商不一定是整數;如果其中的數量是兩個字母（或一個字母與一個整數），那么其和、差、積都是整式，而商不是整式，這個“商”的分子、分母都是“整式”，這有點像分數的“除法運算”，用類似分數的式子將這個“商”表示出來，如式子[ab];接著，讓學生用類似的方法表示現實世界中其他一些關于兩個整式相除但結果不是整式的數量關系，得到若干個式子。

如果長方形玻璃的面積為3㎡，寬是n m，那么它的長是[3n]m。

如果兩塊面積為m公頃、n公頃的棉田分別產棉花a kg、b kg，那么這兩塊棉田平均每公頃產棉花[a+bm+n] kg。

觀察這些類似分數的式子[ab]、[2a]、[a+bm+n]等，找出它們的共同特征：分子、分母都是“整式”，有點像分數的“除法運算”。根據這個特征，類比分數的定義，命名這類兩個整式“商”的式子為分式，并給出“形如[AB]（A、B是整式，B中含有字母）的式子”的定義，通過辨析分式與分數的關系，討論分式有意義的條件;類比分數的學習經驗，構建分式的研究方案：類比分數的基本性質研究分式的基本性質，類比分數的通分研究分式的通分，類比分數的約分研究分式的約分，類比分數的運算研究分式的運算，等等。這樣，學生從熟悉的“分數”出發，完成了對“分式”的抽象，同時還明確了分式進一步學習的方向。

在“分式”的學習中，有分式概念的抽象，分式基本性質的抽象，通分與約分方法的抽象，分式的運算法則的抽象等。其中包含了概念的抽象、規則的抽象、方法的抽象，也包括建立分式知識系統的結構抽象。因此我們在教學時，要以某一種抽象方法為主線，將相關抽象方法整合在一起，使各種數學抽象活動有序開展。如分式的起始教學時，我們可以系統結構抽象為線索，以分式概念抽象為重點，把分式概念抽象整合到系統結構抽象的主線中。因此，需要關注類比分數，需要關注從整式的運算出發，通過把分數的分子、分母分別用字母表示出來，實現一般化抽象，從而分離出“整式除法運算”這一特征，發現像分數“除法運算”的式子，通過一般化的概括得到分式的概念，在得到分式的概念后，類比分數提出分式要研究的內容，如性質、運算等，從而初步完成分式整體研究方案的規劃。在后續學習中，則分別針對基本性質和各種運算進行規則的抽象。

根據數學抽象的要求，系統有序地設計抽象步驟，合理設計和有效開展抽象活動，可以使學生充分經歷數學抽象的過程，從而積累數學活動經驗，發展數學抽象能力。

（作者單位：江蘇鳳凰科學技術出版社基礎教育分社）

【參考文獻】

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