分組巧解題

黃旭軍

老師走進教室，“唰唰唰”地在黑板上寫下“百僧吃百饅頭”，轉身說道：“今天我要教給大家的絕招是分組法。”

“什么是分組法？”同學們議論紛紛。老師說：“在解決問題時，有些數量是可以按照一定規律來分組計算的。只要看出哪些數量可以歸到同一組，并計算出總數量中包含多少個這樣的組，就能計算出每種物品的數量各是多少了。這就是分組法。在做某些題時，它比列方程要快捷得多。”

例1 100個和尚吃100個饅頭。大和尚一個人吃3個，小和尚3個人吃1個，大、小和尚各有多少人？

觀察開始

已知和尚、饅頭的總數量，而“大和尚一個人吃3個，小和尚3個人吃1個”相當于“每個大和尚吃3個饅頭，每個小和尚吃1/3個饅頭”。

常規思路

我們可以通過列方程來解決問題。

另辟蹊徑

若沒學方程，怎么辦呢？我們可以用分組法解決問題。

根據“大和尚一個人吃3個，小和尚3個人吃1個”，可以把3個小和尚與1個大和尚歸為一個吃饅頭小組，也就是每組4個和尚（1大3小）吃4個饅頭。

100÷（3+1）=25（組）。每組1個大和尚，所以有25個大和尚;每組3個小和尚，所以有25×3=75（個）小和尚。

例2 現有1元、5元、10元人民幣共20張，共130元，其中1元、5元的數量相等，三種人民幣各有多少張？

?

觀察開始

未知量有3個，已知人民幣總數量和總金額，且1元和5元的數量相等。

常規思路

設1元有x張，則5元也有x張，10元有（20-2x）張。

10（20-2x）+5x+1x=130

200-20x+6x=130

14x=70

x=5

所以，1元有5張，5元有5張，10元有20-2x=10（張）。

另辟蹊徑

分組法求解更簡便。

由于1元、5元的數量相等，把1張1元和1張5元合成一組，每組是2張，共6元。也就是說，一個6元對應2張，相當于每張3元。

這樣一來，題目就變成了“3元和10元共20張，共130元”。而3元和10元合成組，剛好13元一組，130÷13=10，正好10組，所以3元有10張，10元也有10張。

3元是1元和5元分組得到的，由此可得1元有5張，5元有5張。

列式為：

（5+1）÷2=3（元）

130÷（10+3）=10（組）

10÷2=5（張）

所以，1元有5張，5元有5張，10元有10張。

訓練一二一

蜘蛛、蝴蝶共有506條腿，蜘蛛的數量是蝴蝶的2倍。已知蜘蛛有8條腿，蝴蝶有6條腿，蜘蛛、蝴蝶各有多少只？（答案見下期）