論數形結合思想在高中數學解題中的應用
2019-08-13 07:55:54謝亞強
新課程·下旬 2019年6期
謝亞強
摘 要：“數形結合”思想在解決數學問題上發揮著重要的作用，靈活運用這種思想可以快速、準確地應對出現的問題，并且數形結合有利于化抽象為具體、由點到面，更好地幫助學生透徹理解數學，增強學生的形象思維能力和抽象思維能力，從而培養數學素養。通過對高中數學的研究，發現這一思想貫穿于集合、排列組合以及函數部分，于是將這些利用到“數形結合”思想的部分做了較為完整的總結。以“數形結合”思想在高中解題中的應用為主要課題，通過總結經典習題的解決方法，提供一些見解，以便于高效處理數學問題和增強數學思維能力，為解題有困難的學生提供一種更為容易理解的方法。
關鍵詞：數形結合思想;高中數學學習;數學解題
一、數形結合思想之我見
數值和幾何是數學的基本元素，是構成數學大廈的磚瓦。它們并不是彼此之間毫無關系的個體，相反，兩者幾乎如影隨形。例如體積、周長的計算都屬于數值關系的內容;而數值關系又可以通過幾何圖形來進行形象的描述和表達，比如數軸、矢量等。可以看出兩者并不是單獨的個體。將兩者結合起來，可以從兩種不同的維度思考問題，可以化繁為簡，便于理解和掌握數學本質。
二、數形結合思想在高中解題中的應用
（一）集合中的應用
集合問題是我們高中數學中經常碰到的問題，會考一些關于集合的交、并問題，此時運用數形結合的解題方法可以將數值型問題轉化為更為具體的圖形問題，從而使問題得到簡化。我們可以以這樣一道題目為例：P={x∈N，1
（二）排列組合中的應用
排列組合類利用“數形結合”思想來解決問題的題目，需要問題本身就具有圖像性的特點。例如這道題目：在一個圓周上一共有6個點，然后以這6個點做弦，計算圓內交點的最大值。我們在解決這種問題時應該從研究3個點時開始，通過畫圖可以看出任意三點所做的弦沒有交點，在四個點時有一個交點。于是問題便轉化成6個點中最多有多少對不同的4點組合，問題由幾何的交點問題轉化為簡單的排列組合問題，本題答案為C46=6×5÷2=15個交點。本題的難點就是能否將幾何圖形問題向數值轉化，從不同的維度思考問題，找到突破口，將復雜的問題簡單化。
（三）函數中的應用
函數是數學中重要的部分，考驗一定的抽象思維能力，也是很多學生頭疼的地方。通常意義上，函數當中對“數形結合”思想的運用，其情況較為復雜，只有先將函數與圖形結合起來，才能通過圖形解答問題。
下面以一道函數題為例。曲線y=x2-2x+4與直線y=k（x-1）有兩個交點，實數k的范圍是多少？解決這道題的關鍵為將題目要求轉化為作圖。當然不需要精確作圖，只需要根據題目要求畫出關鍵交點的位置。如本題中與x軸的交點為x2-2x-4=0的解;同理可以求出在y軸的交點位置。直線方程較為簡單，是過原點的直線，只要考慮直線與該二次函數圖象交點為1時的數值即可。通過作圖可以看出k的取值有正有負，可以對本題進行分情況討論。當k<0時，聯立方程組得k=-2根號3;同理可得當k>0時，解得k=2根號3。當解答本道題沒有頭緒時應該畫出草圖，快速找出數值與圖形的關聯，使抽象的問題化為具體形象的圖形問題，即使無法直接解答也可起到對題目的分析作用，打開思路、尋找突破點。當然，并不是所有的題目都可以通過這種方法得以解決，如構建部署函數的問題模型，就很難使之與數形結合的應用思想發生聯系，在解決問題時會受到限制，因此，數形結合應該具體情況具體討論，學生應該靈活應用，將該思想作為一種解題選擇，為打開思路提供靈感。
三、結語
總而言之，“數形結合”思想在高中學習階段處于重要的地位，這種思想貫穿于高中數學的很多部分，但要想真正學會數形結合的方法，也不可能一蹴而就，對這種方法要時常總結，分析其適用的范圍，總結是否這種方法真的適合解決一些具體的題目。只要通過不斷總結，合理利用這種方法，就可以達到快速打開思路、化繁為簡的目的，增強數學解題能力，培養數學素養，在遇到問題時可以與有相同興趣的同學一起討論，在討論中增長解題經驗，分享學習心得，在相互幫助中共同提高。高中老師也應該在實踐教學中發現新的教學方法，以幫助學生學習數學，提高學生的數學素養。
參考文獻：
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編輯 郭小琴
