3種方法對中肋骨條藻Logistic生長模型擬合的比較研究

孫鵬 孫源

摘要：為探索高效準確的Logistic生長模型擬合方法，對中肋骨條藻在不同濃度二價鎘[Cd（Ⅱ）]脅迫下的Logistic生長曲線，分別用Excel、Origin和Matlab 3種軟件進行擬合。結果表明，擬合后的R2大小順序為Matlab>Origin>Excel;采用Excel非線性擬合中的四點法擬合效果優于三點法。提示Matlab（用Levenberg-Marquardt算法進行非線性化多次迭代）是3種軟件中對Logistic生長曲線擬合的最優方法。

關鍵詞：海洋硅藻;中肋骨條藻;Logistic生長曲線;相關系數R2;Matlab;模型擬合;最優方法篩選

中圖分類號： Q141;S184 ?文獻標志碼： A ?文章編號：1002-1302（2019）02-0229-04

Logistic曲線（或Logistic函數）模型由比利時數學家Verhulst首次提出[1]，最初主要是描述和研究人口增長的一種S形曲線。其方程為y=a1+b·e-kx，隨后Logistic曲線在各領域得到了廣泛應用，如Pearl等首次將Logistic曲線應用于生物領域[2];Fisk在經濟學領域引入Logistic曲線[3];Anderson將Logistic曲線應用到醫療診斷中[4]。如今，Logistic曲線幾乎替代了一切的S形曲線，成為描述種群生態、動植物及微藻生長變化的一條最為普遍的曲線[5]。

Logistic曲線的擬合就是確定方程中的3個參數值a、b、k，經典方法包括線性和非線性方法。線性方法是將Logistic曲線方程轉為線性方程，然后采用最小二乘法讓殘差平方和達到極小值以對參數進行無偏估計。非線性方法可直接用相關算法得到Logistic模型參數的最小二乘無偏估計[6];現采用的算法有萊文貝格-馬夸特方法（Levenberg-Marquardt）方法、數值方法、三次樣條插值函數法等[7]。上述參數估計的過程較復雜，須借助各種軟件及編程語言來進行擬合分析，如統計學軟件SPSS、SAS，程序設計語言R、Python。目前熱門的機器學習算法也涉足非線性擬合領域（如支持向量機回歸[8]），而掌握這些軟件和語言對生物從業者較為困難。

中肋骨條藻（Skeletonema costatum）是常見的海洋硅藻，分布較廣泛。近年來，研究者多對海洋微藻重金屬脅迫下的生長過程用Logistic方程進行描述，進而反映出藻生物量與生長時間、重金屬濃度的關系[9]。本研究以中肋骨條藻為模式生物，分別采用Excel、Origin、Matlab 3種常用的作圖和計算軟件，對其在二價鎘[Cd（Ⅱ）]脅迫下的生長用Logistic模型進行擬合，對擬合方法和效果進行介紹和比較，為生命科學從業者進行Logistic曲線的擬合、參數估計和數據處理提供借鑒和參考。

1 材料與方法

1.1 微藻培養及毒性試驗

中肋骨條藻接種自中國海洋大學海洋生命學院，在曲阜師范大學生命科學學院環境生態學實驗室采用Guillard F/2（f/2）培養基培養，培養條件為溫度（20±1） ℃，光源為白色日光燈，光照強度為3 000 lx，12 h光照12 h黑暗培養;各步驟均進行滅菌處理。

取20 mL藻液于250 mL f/2培養基中，微藻起始細胞密度均為104個/mL，加入4種不同濃度梯度（0、0.1、1.0、5.0 mg/L）的Cd（Ⅱ）試驗，每個濃度下均設平行樣3個，采用與微藻培養相同的培養條件，每隔24 h取10 mL藻液，用Coulter計數儀測定藻液細胞密度，重復測定3次[10]，連續測定7 d。

1.2 數據處理軟件及系統

軟件：Microsoft Excel 2003、Origin 8.0、Matlab R2010b;系統：Windows7×86 with Service Pack1。

1.3 微藻生長擬合

“1.1”節中的微藻生長曲線用“1.2”節中的3種軟件進行Logistic回歸擬合。

1.3.1 Excel對Logistic曲線的線性化擬合

利用公式（5）和a值可以先求出y′，利用Excel對y′和x進行線性回歸分析，擬合后可得到b和k值。在Excel 2003中的操作如下：

（1）[工具]→[加載宏]→勾選“分析工具庫”。（2）[工具]→[數據分析]→[回歸]→彈出回歸對話框→單擊“Y值輸入區域（Y）”輸入框右邊的折疊按鈕，選取y′，單擊“X值輸入區域（X）”輸入框右邊的折疊按鈕，選取x的數據;→在“輸出選項”框中選擇“輸出區域”單選框，點擊右邊的折疊按鈕，任選一輸出區域;→勾選“殘差”框中的“線性擬合”;→單擊[回歸]對話框中的[確定]，顯示回歸結果，并繪得散點圖。（3）利用散點圖，添加趨勢線可得到線性回歸公式。

1.3.2 Origin進行Logistic曲線的非線性回歸擬合 （1）打開Origin8.0，點選[column]→[add new columns]輸入須要增加的數據列數（本試驗3列）。（2）按列輸入數據后，選中所有數據，菜單欄中選擇[Plot]→[Symbol]→[Scatter]繪制散點圖（圖1-a圖）。（3）關閉坐標軸設置對話框，點選1-選擇黑色方框數據組b進行擬合→菜單欄中選擇[Analysis]→[Fitting]→[Nonlinear Curve Fit]→[Open Dialogue]打開對話框;按步驟點選2-Category-Growth/Sigmonial;3-Function-Slogistic3;4-Fit，即完成擬合和作圖（圖1-b），同時給出參數和統計處理數據。

1.3.3 用Matlab進行Logistic曲線的非線性回歸擬合 打開Matlab R2010b，用簡單編程語言和自帶的控件工具箱對Logistic曲線快速擬合：（1）在Command Window對話框中輸入原始數據：橫坐標x以及y1、y2、y3、y4這4條生長曲線的數據。（2）依次點擊軟件左下角：[Start]→[Toolboxes]→[Curve Fitting]→[Curve Fitting Tool（cftool）]，彈出對話框“Curve Fitting Tool”。（3）在Curve Fitting Tool對話框中點擊Data→彈出Data對話框→選擇：X Data：x; Y Data：y1;→點擊Create data set按鈕可繪制散點圖;（4）在Curve Fitting Tool對話框中點擊Fitting，彈出Fitting對話框→在Fitting對話框中點選New fit，Type of fit：選擇Custom Equations，點擊New按

鈕→彈出New Custom Equation對話框，單擊選擇General Equations選項→在General Equations選項中輸入Equation：y=a/[1+b·exp（-k·x）]→點擊OK（圖2-a）。（5）回到Fitting選項卡，點擊Fit options→Algorithms：Levenberg-Marquardt算法→Close→Apply，即可得擬合后的Logistic曲線圖（圖2-b）。

2 結果與分析

2.1 3種方法繪制的不同濃度Cd（Ⅱ）下中肋骨條藻的S形生長曲線

由圖3至圖5可得，（1）圖3中用Excel作出的曲線只能是連接各試驗數據點的平滑曲線，無法擬合作圖;（2）圖5中Matlab所得曲線與各數據點的吻合程度明顯高于圖4，說明Matlab對生長曲線的擬合較優。

2.2 3種擬合方法對微藻生長曲線的擬合效果比較

由表1至表4可得，3種軟件擬合后的R2值整體大小順序為Matlab>Origin>Excel，其中Excel方法中四點法R2值均大于三點法。數據同時顯示，四點法的參數值與非線性方法更為接近。在非線性擬合中，Matlab多次迭代的R2值均高于Origin的單次迭代。

3 結論與討論

Logistic曲線作為一種廣義的線性回歸模型，它的擬合方法可分為線性和非線性法。本研究3種軟件中，Excel對應的是Logistic曲線的線性方法擬合;Origin和Matlab對應的是曲線的非線性回歸擬合，其中Origin采用單次迭代，而Matlab是多次迭代。曲線擬合精度的高低都可用R2的大小來判定。由試驗結果可知，3種軟件對Logistic的擬合精度均較高，R2值均接近于1[表4顯示Cd（Ⅱ）濃度較大時，對微藻的生長會產生較大影響，R2值減小]，這表明3種軟件所獲得的Logistic回歸方程均與實測數據擬合很好。同時結果提示，（1）Excel可以對Logistic曲線模型的3個參數進行估計，但不能作出擬合曲線圖，只能得到平滑曲線圖。（2）Excel進行擬合時，四點法各參數估計量與非線性回歸最為接近，因此本研究中四點法比三點法擬合效果優。這是由于本研究數據點數為8個，通常四點法較適合于試驗數據序列數為偶數的情況，三點法適用于奇數的情況，這與以往報道[13]一致，但三點法具有簡單快速的優勢。（3）Excel擬合中所采用的線性擬合方法雖然簡便，但對Logistic函數進行線性變換后會對估計參數的性質產生影響，如不再具有無偏性;所以其擬合精度不如Origin和Matlab所采用的非線性擬合。（4）在非線性擬合中，多次迭代會提高R2，因此Matlab的擬合效果優于Origin。（5）綜合數據可得，不同擬合方法擬合后的R2大小順序為非線性>四點線性>三點線性，3種軟件擬合后的R2值為Matlab>Origin>Excel，其中，Matlab采用Levenberg-Marquardt算法進行非線性化多次迭代擬合，提示Matlab是3種軟件中對Logistic生長曲線擬合的最佳方法。

Logistic曲線擬合的優度檢驗除了R2，還有如卡方值、標準偏差等其他統計指標[14]，除了本研究的3種軟件，對Logistic的擬合還可借助其他各種計算機語言。因此各種不同軟件、方法對Logistic擬合的比較還有更多的探討空間。

參考文獻：

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