函數在極值點處不一定連續

甘志國

(北京市豐臺二中 100071)

2017年清華大學能力測試已于2017年1月14日舉行，試題包括數學與物理兩部分，每部分考試時間均為90分鐘，學生均在電腦上作答.

數學試題是40道選擇題(均為不定項選擇題)，且這40道題的順序對于考生不是固定的(由電腦隨機分配給每位考生).下面的題1是其中的一道：

D．使f(x)連續的a有3個取值

眾所周知，函數在極值點處不一定可導.比如，函數y=|x|在x=0處不可導但是該函數的極小值點.

圖1

下面給出題1的完整解答：

圖2

進而可得：當a≤-1時，f(x)是増函數，沒有極值；

所以：

使f(x)連續的a的取值是-1,0,1，所以選項D正確．

筆者還發現題1與2016年高考北京卷理科第14題(即下面的題2)很相似且解法也相同，這道高考題及其解法是：

①若a=0，則f(x)的最大值為____；

②若f(x)無最大值，則實數a的取值范圍是____．

解①2；②(-∞，-1).由(x3-3x)′=3x2-3=0，得x=±1，進而可作出函數y=x3-3x和y=-2x的圖象，如圖3所示．

圖2

①當a=0時，由圖象可得f(x)的最大值為f(-1)=2.

②由圖象可知，當a≥-1時，函數f(x)有最大值；當a<-1時，y=-2x在x>a時無最大值，且-2a>a3-3a，所以a<-1.