基于試題的知識拓展研究
——抽象函數的幾個性質和函數的圖象特征

楊蒼洲

(福建省泉州第五中學 362000)

一、試題研究

A.0 B.mC.2mD.4m

分析本題主要考查函數的對稱性、函數的零點等基礎知識，考查運算求解能力、應用意識，考查數形結合、轉化與化歸等數學思想等.解答本題的關鍵在于掌握下述兩個教材邊上的重要知識：

知識點1若函數f(x) (x∈R)滿足f(-x)=2-f(x)，則函數f(x)的圖象關于點(0,1)成中心對稱.

二、拓展與延伸

1.抽象函數的幾個性質

性質1 函數f(x)(x∈R)滿足f(x+a)=f(x+b)，則T=|b-a|是函數f(x)的一個周期.

性質2 函數f(x)(x∈R)滿足f(x+a)=-f(x+b)，則T=2|b-a|是函數f(x)的一個周期.

上述四個性質，表述相近，形式相似，因此我們把他們放在一起進行辨析.實際上，性質2的條件可更改如下：

性質4可更加一般化為：

上述問題的解答就是應用了性質6.

k>0k<0圖象定義域xx≠-dc{}xx≠-dc{}值域yx≠ac{}yx≠ac{}漸近線直線x=-dc,y=ac直線x=-dc,y=ac對稱性對稱中心-dc,ac()對稱中心-dc,ac()單調性單調遞減區間-∞,-dc()和-dc,+∞()單調遞增區間-∞,-dc()和-dc,+∞()

如何快速作出函數f(x)的圖象呢？