例析兩類二次函數問題

胡文豪

(甘肅省臨夏縣田家炳中學 731801)

二次函數是最重要的初等函數，通過它可以研究函數的很多性質，并且與方程、不等式、三角函數、數列等有著廣泛的聯系.高考很多問題都要轉化為二次函數來處理，因此在學習過程中，要對這一內容引起足夠的重視，并且要通過深入的研究到達必要的廣度和深度，才能順利的處理相關的高考試題.

一、含有參數和絕對值符號的二次函數問題

(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍；

(2)①求F(x)的最小值m(a)；

②求F(x)在區間[0,6]上的最大值M(a).

解析(1)由于a≥3，故當x≤1時，(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0;M(a)=max{f(0),f(2)}=2.

當x>1時，(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(x-2a).所以使得等式成立的x的取值范圍為F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍是[2,2a].

②當0≤x≤2時，F(x)=f(x)，此時

M(a)=max{f(0),f(2)}=2;

當2≤x≤6時，F(x)=g(x)，此時

M(a)=max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}.

點評(1)分別對x≤1和x>1兩種情況討論F(x)，進而可得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x取值范圍；(2)先求f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2的最小值，再根據F(x)的定義可得F(x)的最小值M(a)；(3)分別對0≤x≤2和2≤x≤6兩種情況討論F(x)的最大值，進而可得F(x)在區間[0,6]上的最大值M(a).

“窮則思變”解題中要注意思維的變通，數學問題的變化性大，條件稍微有所變化，就會引起“狂風波瀾”，因此，在解題中重視“轉化與化歸、數形結合、分類討論”等核心數學思想方法學習的基礎上，多注意解題后反思，做到思想方法的靈活運用.

二、可轉化為二次函數性質求解的問題

點評本題通過換元，直接把問題轉化成了一個二次函數的最大值問題.