左顧右盼話分段函數(shù)

馮 寅

(浙江省湖州中學(xué) 313000)

分段函數(shù)是高中階段常見的函數(shù)形式，由于它在不同的區(qū)間上的表達(dá)式不同，所以在解決問題時(shí)一定要關(guān)注在不同段上的表達(dá)式的特點(diǎn)，這樣才能從整體上處理好分段函數(shù)的問題.

一、左右交替的求值

求分段函數(shù)的某個(gè)函數(shù)值，是和分段函數(shù)有關(guān)問題中最常見的，所求的函數(shù)值往往和分段函數(shù)的不同形式都有關(guān)系，這時(shí)要求我們注意每段的條件，經(jīng)常在不同分段中交替求值.

分析這個(gè)問題想要求出f(f(a))的表達(dá)式比較困難，它即和a的范圍有關(guān)，也和f(a)的范圍有關(guān)，這樣的分類討論很困難，所以我把f(a)看成一個(gè)整體來分類討論.

二、左右銜接的單調(diào)

在分段函數(shù)中研究函數(shù)的單調(diào)性，要分別考慮不同段的單調(diào)性，還要考慮在分段點(diǎn)處的銜接，分段點(diǎn)的不同取值可以保持或改變兩段的單調(diào)性.

問題3 已知a>0，函數(shù)f(x)=

下面觀察分段點(diǎn)x=0的情況.

然后考慮在分段點(diǎn)的函數(shù)值情況，應(yīng)該滿足函數(shù)y=(3a-1)x+4a在x=1時(shí)的函數(shù)值，不小于函數(shù)y=logax在x=1時(shí)的函數(shù)值，即(3a-1)+4a≥0. (2)

三、左右交叉的奇偶

函數(shù)的奇偶性必須研究定義域范圍內(nèi)的所有實(shí)數(shù)，所以研究分段函數(shù)奇偶性時(shí)要注意每段都要研究，并且注意每段都要兼顧交叉.

分析判斷函數(shù)的奇偶性必需按照奇偶性的定義，對定義域內(nèi)的所有實(shí)數(shù)進(jìn)行分析驗(yàn)證，對分段函數(shù)的情況，函數(shù)的取值還要考慮分段函數(shù)的要求.

當(dāng)x>0時(shí)，-x<0，則f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=x2-2x+3=-f(x)；

當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，則f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3=-x2-2x-3=-f(x)；

當(dāng)x=0時(shí)，f(-0)=-f(0)=0.

因此，函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù).

分析此題的關(guān)鍵是如何利用f(x)為R上的奇函數(shù)的條件，確定g(x)的表達(dá)式.

因此g(x)=-x2+2x，所以g(-1)=-3，f(g(-1))=f(-3)=g(-3)=-(-3)2+2×(-3)=-15.

四、左右分割的零點(diǎn)

分段函數(shù)的零點(diǎn)由于在不同段的函數(shù)表達(dá)式不同，所以要分段獨(dú)立思考，通過不同段上的研究再整合為整體的情況.

分析1 代數(shù)方法分類討論.

從分段函數(shù)的解析式可知，f(x)=2x-a在區(qū)間(-∞,1]上是增函數(shù)，所以最多只有一個(gè)零點(diǎn). 設(shè)零點(diǎn)為x0，即f(x0)=0，則2x0-a=0，則x0=log2a，因此，0

下面對a進(jìn)行討論，研究函數(shù)整體的零點(diǎn)存在情況.

(1)當(dāng)a≤0時(shí),f(x)=2x-a(x<1)無零點(diǎn)；f(x)=4(x-a)(x-2a)(x≥1)無零點(diǎn)！

(2)當(dāng)0

(3)當(dāng)a≥2時(shí),f(x)=2x-a(x<1)無零點(diǎn)；要使原函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，必須f(x)=4(x-a)(x-2a)(x≥1)恰有兩個(gè)零點(diǎn)a,2a，故a≥2.

分析2 利用函數(shù)圖象分析

(1)當(dāng)a≥1時(shí)，因?yàn)閒(x)=4(x-a)(x-2a)(x≥1)已有兩個(gè)零點(diǎn)a,2a，要使f(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，必須f(x)=2x-a(x<1)無零點(diǎn).

作出函數(shù)的圖象(圖1)，可知2-a≤0，即a≥2.

(2)當(dāng)a<1時(shí)，因?yàn)閒(x)=2x-a(x<1)有一個(gè)零點(diǎn)，要使f(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，必須f(x)=4(x-a)(x-2a)(x≥1)只有一個(gè)零點(diǎn).

五、左右比較的最值

當(dāng)分段函數(shù)遇到函數(shù)的最大(小)值問題時(shí)，一般都會先分段確定函數(shù)的最大(小)值，再根據(jù)條件對確定的最大(小)值進(jìn)行分析比對，找到符合整體要求的最大(小)值.

從上述的五個(gè)方面的研究，我們可以看出分段函數(shù)的性質(zhì)研究，必需在函數(shù)性質(zhì)研究的基礎(chǔ)上關(guān)注不同段上函數(shù)性質(zhì)的特點(diǎn)，通過每段的分解、合成、交叉解決分段函數(shù)的問題.