從非一般到一般的構造
——數列通項求解

王蘇文

(浙江省諸暨市浬浦中學 311824)

數列的通項是數列問題的核心.在大多數情況下，數列綜合問題的求解，往往是對數列通項公式進行研究，因此數列通項是解決數列綜合問題的關鍵與突破口.根據課標要求以掌握等差、等比數列的通項求解為重點，但事實上很多數列問題的通項往往不是已有的等差或等比形式，因此我們需要從非一般的數列模型轉化為一般的等差或等比模型進行求解.

例1已知數列{an}滿足an-an+1=2an+1an，且a1=2，求數列{an}的通項公式.

例2已知數列{an}滿足nan+1-(n+1)an=2n(n+1)，且a1=2，求數列{an}的通項公式.

例3已知數列{an}滿足an+1-2an=3·2n+1，且a1=2，求數列{an}的通項公式.

例4已知數列{an}滿足an+1=2an+3，且a1=1，求數列{an}的通項公式.

解由an+1=2an+3可得an+1+3=2(an+3)，故{an+3}構成一個等比數列.又a1=1,則an+3=4·2n-1，故an=2n+1-3.

一般的，當數列{an}滿足an+1=Aan+B(其中A,B為常數)可構造等比an+1+P=A(an+P)(其中(A-1)P=B，當A=1時{an}為等差數列；當B=0時{an}為等比數列，余下必存在P)進行通項求解.

例5已知數列{an}滿足an+1=2an+3n-3，且a1=1，求數列{an}的通項公式.

解由an+1=2an+3n-3得an+1+3(n+1)=2(an+3n)，故{an+3n}構成一個等比數列.又a1=1，則an+3n=4·2n-1，得an=2n+1-3n.

一般的，當數列{an}滿足an+1=Aan+Bn+C(其中A,B,C為常數)可構造等比型數列an+1+P(n+1)+Q=A(an+Pn+Q)(其中(A-1)P=B,(A-1)Q-P=C)進行通項求解.

例6已知數列{an}滿足an+1=2an-3n，且a1=1，求數列{an}的通項公式.

解由an+1=2an-3n得an+1+3n+1=2(an+3n)，則{an+3n}構成一個等比數列.又a1=1，則an+3n=4·2n-1，得an=2n+1-3n.

一般的，當數列{an}滿足an+1=Aan+Bbn+C(其中A,B,C,b為常數)可構造等比型數列an+1+Pb(n+1)+Q=A(an+Pbn+Q)(其中AP-bP=B,(A-1)Q=C)進行通項求解.

上述幾種非一般數列模型它們所對應的an+1,an次數均為一次，很多時候可通過構造法，直接形成一個新的等差數列或等比數列的通項求解.但也有一些數列所給的an+1,an次數有所不同，也是值得關注.

例7已知正項數列{an}滿足an+1=2(an)2，且a1=2，求數列{an}的通項公式.

解由an+1=2(an)2得lgan+1=lg2+2lgan，化成lgan+1+lg2=2(lgan+lg2),則{lgan+lg2}構成一個等比數列，且a1=2,則lgan+lg2=2lg2·2n-1=2n·lg2,得lgan=2n·lg2-lg2，故an=22n-1.