不等式中見“真諦” 構造函數導航向

王蘭靈

(廣東省廣州大學附屬中學 510006)

在高考或各種模擬考試中，經常會出現關于抽象函數和其導函數的不等式，這類題目往往對學生造成困惑，很多學生遇到之后無從下手.其實，這類題目的條件或者問題中通常隱含著一些隱含的信息，給我們以推理的啟示.我們可以順著啟示的方向大膽地猜想、構造輔助函數嘗試尋求破解之法.牛頓曾經說過：“沒有大膽的猜想，就作不出大膽的發現.”猜想是培養學生創造性思維的有效途徑，我們在教學過程中應當注重鼓勵學生積極地去觀察，大膽地去猜想，引導他們親身經歷從觀察、猜想到驗證、結論的學習探究過程，由此培養學生的探究能力和邏輯推理能力，提升其數學核心素養.

一、逆用和差函數的導數運算法則構造函數

例1 設函數f(x)在R上存在導函數f′(x),?x∈R，有f(x)+f(-x)=x2，在(0,+∞)上f′(x)

點評本題的精華是觀察、猜想和嘗試.只有認真地觀察，大膽地猜想，努力地嘗試才會發現驚喜.

二、逆用積函數的導數運算法則構造函數

例2設函數f(x)是定義在(-∞,0)上的可導函數，其導函數為f′(x)，且有3f(x)+xf′(x)>0，則不等式(x+2015)3f(x+2015)+27f(-3)>0的解集是____.

分析本題有兩個思路激發點.第一個激發點為：3f(x)+xf′(x)>0.看到條件“3f(x)+xf′(x)>0”，我們可以猜想構造函數h(x)=x3f(x).第二個激發點是：(x+2015)3f(x+2015)+27f(-3)>0，關注到式子中的(x+2015)3f(x+2015)，我們也可以猜想構造函數h(x)=x3f(x)，進而驗證思路的正確性.

解析因為函數f(x)是定義在(-∞,0)上的可導函數，所以x+2015<0,x<-2015.由3f(x)+xf′(x)>0兩邊同時乘以x2得：x3f′(x)+3x2f(x)>0，構造h(x)=x3f(x),所以h′(x)=x3f′(x)+3x2f(x)>0，得h(x)在(-∞,0)上單調遞增.(x+2015)3f(x+2015)+27f(-3)>0?(x+2015)3f(x+2015)>-27f(-3)?f(x+2015)>h(-3),故x+2015>-3,得x>-2018.

綜上得解集是(-2018,-2015).

點評知識是思路的基礎，猜想、嘗試和推理是解題的方法.我們既要對導數的運算法則熟悉于心，對函數的構造形式理解掌握到位，又要敏銳觀察，大膽猜想，勇于推理嘗試，方可尋得解題思路.如本例中看到條件“3f(x)+xf′(x)>0”就猜想構造函數h(x)=x3f(x)，或者發現了問題中的(x+2015)3f(x+2015)，也嘗試構造函數h(x)=x3f(x).

三、逆用商函數的導數運算法則構造函數

例3(黃岡市2016年高三3月質檢)定義在區間(0,+∞)上的函數f(x)使不等式2f(x)

分析題目給的條件很少，由條件“2f(x)

在解有關原函數和導函數的抽象不等式時，學生不但要有發現“真諦”的眼光(具有構造函數的知識儲備)，更要具有利用函數的重要性質(單調性、奇偶性等)進行嚴謹推理的能力.在知識儲備方面，學生需要對導函數的運算法則熟記于心，不但能正向記憶，更要會逆向運用.函數的構造，本質上是導數運算法則的逆用.因為導函數的運算法則主要涉及和差、積、商三類，所以常見的函數構造形式通常有以下三類.

1.逆用和、差函數的導數運算法則的構造

對于f′(x)±g′(x)>0或f′(x)±g′(x)<0,構造h(x)=f(x)±g(x).

2.逆用積函數的導數運算法則的構造(關系為“加”型)

(1)對于f′(x)+f(x)>0，兩邊同乘ex得：exf′(x)+exf(x)>0，構造h(x)=exf(x)；

(2)對于xf′(x)+f(x)>0，構造h(x)=xf(x)；

(3)對于xf′(x)+nf(x)>0，若x≠0，則兩邊同時乘以xn-1得：xnf′(x)+nxn-1f(x)>0或者xnf′(x)+nxn-1f(x)<0，構造h(x)=xnf(x).

3.逆用商函數的導數運算法則的構造(關系為“減”型)