三角函數(shù)中數(shù)與形手牽手

吳 娟

(江蘇省昆山中學(xué) 215300)

普通高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一是直觀想象，直觀想象是指借助幾何直觀感知實(shí)物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程.華羅庚先生曾指出“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非.”數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)重要的思想方法.本文主要就數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用與大家一起探討.

一、數(shù)形結(jié)合概念

1.數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)中，數(shù)與形是兩個(gè)最主要的研究對(duì)象.“數(shù)形結(jié)合”思想是把數(shù)或數(shù)量關(guān)系與圖形對(duì)應(yīng)起來(lái)，借助圖形來(lái)研究數(shù)量關(guān)系或者利用數(shù)量關(guān)系研究圖形的性質(zhì).它們?cè)趦?nèi)容上相互聯(lián)系，方法上相互滲透，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.恩格斯是這樣定義數(shù)學(xué)的：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué).”這就意味著數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，宇宙間的萬(wàn)事萬(wàn)物是數(shù)與形和諧的統(tǒng)一，因此數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)的精髓與靈魂.

數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題并解決問(wèn)題的模型轉(zhuǎn)化的一種基本思想與基本方法.它能溝通數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系.具體來(lái)說(shuō)就是在研究問(wèn)題的過(guò)程中既分析其代數(shù)含義，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和幾何形式巧妙、和諧的結(jié)合起來(lái)，充分利用這種結(jié)合，尋找解決問(wèn)題的思路，使抽象問(wèn)題直觀化，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而使問(wèn)題得以解決的一種重要的數(shù)學(xué)思想.

2.數(shù)形結(jié)合的價(jià)值

數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)重要的思想方法之一，在高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮著重要的作用.

首先，學(xué)生巧妙應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想能掌握到更多的知識(shí)點(diǎn)，也能使學(xué)生對(duì)整體的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行把控，形成良好的知識(shí)脈絡(luò)，將各類知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通；并且也能有效改善學(xué)生的思維能力和解題思路，為他們提供更多的學(xué)習(xí)方法和解題思路，也能為學(xué)生提供更多的學(xué)習(xí)認(rèn)知規(guī)律.

其次，正確的運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合思想，能有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，豐富學(xué)生的思維方式.有利于對(duì)學(xué)生思維、興趣的培養(yǎng)，從而不僅可以減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，也能給學(xué)生創(chuàng)造更好的學(xué)習(xí)思維方式.

再次，學(xué)會(huì)怎樣運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，也能幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)中樹立良好的學(xué)習(xí)思想和學(xué)習(xí)習(xí)慣.可以幫助學(xué)生從多角度多層次思考問(wèn)題，形成良好的思維方式；教導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)將抽象的問(wèn)題具體化，更準(zhǔn)確地把握問(wèn)題本身；可以鍛煉學(xué)生的思維模式，也能鍛煉他們的創(chuàng)造能力的思維發(fā)展.

二、數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用

“依性作圖，以圖識(shí)性”是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn).三角函數(shù)在本質(zhì)上是對(duì)單位圓圓周上一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的“動(dòng)態(tài)描述”，它的種種性質(zhì)和公式都是和單位圓的幾何性質(zhì)密切關(guān)聯(lián)的，這就要求在解決三角函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題上，應(yīng)巧妙地運(yùn)用單位圓中的三角函數(shù)線和三角函數(shù)圖形，以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合.數(shù)形結(jié)合貫穿了三角函數(shù)的整個(gè)章節(jié)，三角函數(shù)在單位圓中的定義得出了三角函數(shù)線、三角函數(shù)的圖象、圖象的變化等都需要圖象的支持.

1.利用數(shù)形結(jié)合，有利于學(xué)習(xí)難點(diǎn)化解

在推導(dǎo)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式時(shí)，教科書上是從代數(shù)(三角函數(shù)的坐標(biāo)定義)的角度推導(dǎo)的，我們也可以利用三角函數(shù)的幾何表示(三角函數(shù)線)來(lái)推導(dǎo).單位圓中的三角函數(shù)線可以使抽象問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性和靈活性的有機(jī)結(jié)合，也為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供更廣闊的思維空間.

片段一：終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.

如圖1，P是半徑為1的圓O上一點(diǎn)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)可以形象的描述為“周而復(fù)始”.當(dāng)點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一周時(shí)又回到了原來(lái)的地點(diǎn)，由三角函數(shù)線可知終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.

片段二：如果角α的終邊與角β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱.

如圖2，設(shè)角α、β的終邊分別與單位圓交于P、P′,分別與x=1交于T,T′，由三角函數(shù)線可知sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT；sinβ=MP′，cosβ=OM，tanβ=AT′；即：sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα.

當(dāng)角α的終邊與角β的終邊關(guān)于y軸、原點(diǎn)對(duì)稱，學(xué)生類比以上方法很快得出一系列的誘導(dǎo)公式.

在圖示中，先取α為銳角，關(guān)于x軸對(duì)稱，作出-α；關(guān)于y軸對(duì)稱，作出π-α；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，作出π+α，利用三角函數(shù)線很容易得出書上的誘導(dǎo)公式.但當(dāng)α不是銳角時(shí)，這些結(jié)論依然成立嗎？我們可以用坐標(biāo)即三角的代數(shù)定義來(lái)嚴(yán)格證明.

在這學(xué)習(xí)的過(guò)程中利用三角函數(shù)線的推導(dǎo)體現(xiàn)了圖形的直觀性，學(xué)生很容易接受；再用坐標(biāo)的代數(shù)證明又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.學(xué)生掌握了誘導(dǎo)公式的本質(zhì)，了解公式的來(lái)龍去脈，在理解中記憶，方能掌握得更扎實(shí)、更透徹，也為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供更廣闊的思維空間.

2.利用數(shù)形結(jié)合，拓展解題思路

學(xué)生甲：作差

學(xué)生乙：觀察對(duì)角關(guān)系

教師：還有其他想法嗎？這個(gè)式子能用圖形來(lái)解釋嗎？

本題的數(shù)形結(jié)合揭示了三角函數(shù)在單位圓中的定義的本質(zhì)特征，在具體的教學(xué)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地探索、發(fā)現(xiàn)、領(lǐng)會(huì)其中的聯(lián)系.數(shù)學(xué)知識(shí)與圖形有著密切的聯(lián)系，以具體的數(shù)學(xué)知識(shí)為載體、潛移默化地將數(shù)形結(jié)合的思想不斷滲透，隨著數(shù)形結(jié)合的思想不斷體現(xiàn)，學(xué)生認(rèn)知也會(huì)不斷發(fā)展和逐漸深化，同時(shí)不斷提升學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力.

片段四 若α為銳角(單位為弧度)，試?yán)脝挝粓A及三角函數(shù)線，比較α，sinα,tanα之間的大小關(guān)系.

生甲：畫單位圓，利用三角函數(shù)線，可以得到sinα

教師：本題的難點(diǎn)在于α的轉(zhuǎn)化，我們?cè)趺窗薛赁D(zhuǎn)化出來(lái) 呢？

教師：弧AP是曲線，怎么比較大小呢？我們?cè)撊绾卫脠D形證明？

生丙：因?yàn)镾△AOP

學(xué)生們都鼓起了掌，覺得非常的巧妙.

教師：非常好，本題的難點(diǎn)就在于要把α轉(zhuǎn)化，先把α轉(zhuǎn)化成弧長(zhǎng)，再利用三角形和扇形的面積大小得出結(jié)論，所以圖形在三角中也起著非常重要的作用，數(shù)與形的結(jié)合使抽象的問(wèn)題具體化，形象化，學(xué)生很樂(lè)意的接受了.

在教學(xué)過(guò)程中我們既要關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)，更要揭示和顯化蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)思想方法，這樣數(shù)學(xué)知識(shí)不再是孤立的、零散的，而是具有了一定的聯(lián)系性、整體性與靈活性；我們不僅傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，更要展示數(shù)學(xué)思維的美妙，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)探索的過(guò)程.數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)思想方法的重要載體，數(shù)形結(jié)合思想方法在以上習(xí)題中的應(yīng)用開闊了學(xué)生分析問(wèn)題的視野，拓展了學(xué)生的思維、提升了學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.

“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化與結(jié)合不僅是一種重要的解題方法與策略，更是一種重要的數(shù)學(xué)思維與思想方法.首先需要的是一種意識(shí)：敏銳捕捉信息，恰當(dāng)?shù)臅r(shí)候建立適當(dāng)?shù)穆?lián)系；其次是一種轉(zhuǎn)化思想：根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相應(yīng)的圖形，并利用圖形的性質(zhì)和規(guī)律解決“數(shù)”的問(wèn)題；再次是一種能力、一種思考的方式.在教學(xué)的過(guò)程中，讓學(xué)生了解數(shù)形結(jié)合思想產(chǎn)生的背景，把握數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)，感受數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值，形成良好的數(shù)學(xué)意識(shí)與數(shù)學(xué)思想.數(shù)與形相輔相成，和諧統(tǒng)一，完美結(jié)合，讓我們一同感受與體會(huì)數(shù)學(xué)之美，“數(shù)”與“形”牽手之妙.