辨析知道真?zhèn)?比較弄清本質(zhì)

文貴雙

(甘肅天水市一中 741000)

數(shù)學(xué)問題中許多貌似相同但有本質(zhì)區(qū)別的題目，若不仔細(xì)辨析，最容易混淆而錯(cuò)解.因此，在高考復(fù)習(xí)中把這些問題放到一塊對比，加強(qiáng)對相關(guān)概念的理解，養(yǎng)成仔細(xì)閱讀題意，弄清題目本質(zhì)的好習(xí)慣，是解決這類問題的有效的辦法.本文針對容易混淆幾對問題加以剖析比較，揭示問題的求解方法.

一、定義域與值域

例1(1)若函數(shù)y=lg(ax2+2x+a)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的范圍；

(2)若函數(shù)y=lg(ax2+2x+a)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的范圍.

點(diǎn)評函數(shù)的值域是函數(shù)值的集合，由對應(yīng)法則與定義域確定.對數(shù)型的復(fù)合函數(shù)值域是R時(shí)，真數(shù)要能取遍所有的正數(shù).例如通過求y=lg(x2+1)，y=lg(x2-4)值域，理解此解法.

二、定義域與有意義

點(diǎn)評若函數(shù)f(x)在M上有意義，則M是函數(shù)f(x)定義域的子集.

三、主元與次元

例3(1)若函數(shù)f(x)=x2+ax+1，當(dāng)x∈[0,2]時(shí)恒有f(x)>0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若函數(shù)f(x)=x2+ax+1，當(dāng)a∈[0,2]時(shí)恒有f(x)>0成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

解(1)由題意知，f(x)=x2+ax+1>0，對?x∈[0,2]恒成立，即[f(x)]min>0.

綜上a的取值范圍是(-2,+∞).

點(diǎn)評這兩道題都是二次函數(shù)問題，選擇恰當(dāng)?shù)淖兞繛橹髟瑥亩箚栴}簡化.主元不同，函數(shù)的類型也不同.

四、有解與恒成立

例4(1)已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|x+3|，若f(x)>a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|x+3|，若f(x)>a有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

點(diǎn)評“有解”是要求某范圍內(nèi)存在x使得不等式成立即可.g(a)f(x)有解?g(a)>[f(x)]min.

五、相等關(guān)系中任意與存在

例5(1) 已知函數(shù)f(x)=x-4,x∈[0,1]，g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1](其中a≥1)，若對于任意的x1∈[0,1]，總存在x2∈[0,1]，使得g(x2)=f(x1)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)已知函數(shù)f(x)=x-4,x∈[0,1]，g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1](其中a≥1)，若存在x1∈[0,1]，x2∈[0,1]，使得g(x2)=f(x1)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(2)g(x)的值域是[1-3a2-2a,-2a],而f(x)的值域是[-4,-3].

由題意知，函數(shù)g(x)與f(x)的值域中至少有一個(gè)相同的值,當(dāng)a≥1時(shí)，1-2a-3a2≤-4,故只需-4≤-2a，即a≤2，又a≥1，所以1≤a≤2，即a的取值范圍是[1,2].

點(diǎn)評?x1∈D1,?x2∈D2，使得f(x1)=g(x2)，設(shè)f(x)與g(x)的值域分別為A,B,則A?B.

這個(gè)結(jié)論如何理解？西游記中的孫悟空“任意”一個(gè)變化，二郎神都“存在”一個(gè)相克的變化，說明孫悟空的“本領(lǐng)”不高于二郎神的“本領(lǐng)”.以這個(gè)例子有助于我們理解此結(jié)論.

?x1∈D1,?x2∈D2,使得f(x1)=g(x2)，設(shè)f(x)與g(x)的值域分別為A,B,則A∩B≠?.

六、不等關(guān)系中任意與存在

例6(1) 已知函數(shù)f(x)=x-4,x∈[0,1]，g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1](其中a≥1)，若對于任意的x1∈[0,1]，總存在x2∈[0,1]，使得f(x1)

(2)已知函數(shù)f(x)=x-4,x∈[0,1]，g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1](其中a≥1)，若存在x1∈[0,1]，x2∈[0,1]，使得f(x1)

(2)“若存在x1∈[0,1]，x2∈[0,1]，使得f(x1)

點(diǎn)評涉及兩個(gè)變量的“任意”“存在”問題所涉的知識(shí)面廣，思辨性強(qiáng)，解題靈活，有利于考查邏輯思維能力.解決此類問題應(yīng)當(dāng)充分理解“任意”“存在”的深刻含義，轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值間的關(guān)系來解決.相關(guān)結(jié)論為：

?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)?[f(x)]min>[g(x)]max；

?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)?[f(x)]max>[g(x)]min；

?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)?[f(x)]min>[g(x)]min；

?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)?[f(x)]max>[g(x)]max.