灰色凸關(guān)聯(lián)的進一步拓廣

金夢迪，張輝，劉基偉

(中國傳媒大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與智能媒體學(xué)院，北京 100024)

1 引言

灰色關(guān)聯(lián)分析是灰色系統(tǒng)理論的重要內(nèi)容之一，是灰色關(guān)聯(lián)評估與決策、灰關(guān)聯(lián)控制的基礎(chǔ)，由于它對樣本量要求低、分布規(guī)律無需典型、計算量小且定量定性可以結(jié)合的特點，近年來在理論與應(yīng)用方面的研究得到了廣泛重視。然而，自從1982年以來灰色系統(tǒng)理論創(chuàng)立以來，關(guān)于灰色關(guān)聯(lián)度模型的研究都是以各個時刻點灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)的簡單算術(shù)平均數(shù)作為灰色關(guān)聯(lián)度，這樣就會造成信息的損失和局部點關(guān)聯(lián)測度值控制整個灰色關(guān)聯(lián)度的傾向，針對這個問題，為確保新信息優(yōu)先性，因此本文又提出一中基于時間加權(quán)的灰色凸關(guān)聯(lián)度。

2 灰色凸關(guān)聯(lián)度

對于定義在集合S上的函數(shù)，任意的x1，x2∈S有

則稱函數(shù)f是集合S上的凸函數(shù)，所以對離散的點集，有以下的定義：

定義2對正離散系統(tǒng)行為序列稱

為X在點t=k+1處的相對凸度。

顯然，當(dāng)X為正凸序列時，相對凸出為正數(shù)，數(shù)值越大，相對凸程度就越大；當(dāng)X為正凹序列式，相對凸度為負數(shù)，數(shù)值越大，相對凹的程度越小。

命題1對正離散系統(tǒng)行為序列X=(x(1)，x(2)，…，x(n))，依次作數(shù)乘變換、平移變換得：

X1=(x1(1)，x1(2)，…，x1(n))，

x1(i)=cx(i)，i=1，2，…，n，c>0，

X2=(x2(1)，x2(2)，…，x2(n))，

則對任意i∈{2，3，…，n-1}，X與X1在i處的相對凸度相同；X在X2處i的相對凸度一般不同。

定義3對正離散系統(tǒng)行為序列

X0=(x0(1)，x0(2)，…，x0(n))，X1=(x1(1)，x1(2)，…，x1(n))，…，Xm=(xm(1)，xm(2)，…，xm(n))，

稱

為X0，X1的灰色凸關(guān)聯(lián)系數(shù)，其中di(k)是序列Xi在t=k處的相對凸度，i=0，1，2，…m，k=2，3，…n-1。稱

為X0，Xi的灰色凸關(guān)聯(lián)度。若對相關(guān)因素行為序列Xi，Xj有γ0i>γ0j，則稱X0，Xi的關(guān)聯(lián)優(yōu)于因素的關(guān)聯(lián)X0，Xj記為X0?Xi，稱為?由灰色凸關(guān)聯(lián)度導(dǎo)出的灰色凸關(guān)聯(lián)序。

3 加權(quán)灰色凸關(guān)聯(lián)度

定義4對正離散系統(tǒng)行為序列

X0=(x0(1)，x0(2)，…，x0(n))，X1=(x1(1)，x1(2)，…，x1(n))，…，Xm=(xm(1)，xm(2)，…，xm(n))，

稱

定理1灰色加權(quán)凸關(guān)聯(lián)度具有以下性質(zhì)：

(1)規(guī)范性，0<γ0i≤1；

(2)對稱性，即γ0i=γi0；

(3)新信息優(yōu)先性

(4)接近性，即相對凹凸程度越接近，關(guān)聯(lián)度越大；

(5)可比性，唯一性；

(6)數(shù)乘變換一致性；

(7)數(shù)乘變換保序性；

(8)灰色關(guān)聯(lián)序干擾獨立性。

定理2加權(quán)灰色凸關(guān)聯(lián)度滿足新信息優(yōu)先性

對正離散系統(tǒng)行為序列X0=(x0(1)，x0(2)，…，x0(n))，Xi=(xi(1)，xi(2)，…，xi(n))之間的灰色凸關(guān)聯(lián)系數(shù)γ0i(k)，如果最后一個數(shù)據(jù)發(fā)生擾動即γ0i(n)*=γ0i(n)+ε則X0，Xi的灰色關(guān)聯(lián)度

記灰色關(guān)聯(lián)度擾動值為δγ0i則

類似的，當(dāng)擾動發(fā)生在其他位置時，即γ0i(k)=γ0i(k)+ε，我們可以獲得擾動

當(dāng)n固定時，隨著k的增大，擾動值δγ0i遞增，即越新的數(shù)據(jù)發(fā)生擾動，灰色關(guān)聯(lián)度的擾動范圍越大，滿足新信息優(yōu)先性。

算例分析

已知X0為主行為序列，X1，X2，X3為比較序列，具體數(shù)據(jù)如下

X0=(1.0，2.0，2.5，2.5，3.0，5.0，8.0)

X1=(1.0，1.8，2.3，2.4，2.8，4.8，1.2)

X2=(3.0，1.8，2.3，2.2，3.0，4.1，6.0)

X3=(2.6，2.1，2.5，2.1，3.0，4.1，5.7)

得到的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)如下

綜上所述，三維步態(tài)分析結(jié)合三維測力臺及無線表面肌電圖在評價人體步行過程中下肢關(guān)節(jié)的運動學(xué)、動力學(xué)、地面反作用力，及表面肌電信號時具有良好的重復(fù)性，這將有助于對不同患者步行功能進行精確的量化評估，也可用于檢測患者在步行過程中下肢各個關(guān)節(jié)在矢狀面、冠狀面、水平面上所承受的應(yīng)力，及相應(yīng)肌肉的收縮時序等。使用三維步態(tài)分析技術(shù)除了可用于臨床診斷外也可為療效評估以及相關(guān)治療的機理研究提供更精確可靠的數(shù)據(jù)和理論基礎(chǔ)，因此值得進一步推廣。

γ01(k)=(0.960，0.987，0.963，0.965，0.594)

γ02(k)=(0.626，0.931，0.816，0.810，0.997)

γ03(k)=(0.746，0.943，0.826，0.821，0.962)

按原灰色凸關(guān)聯(lián)度公式計算得

γ(X0，X1)=0.894，γ(X0，X2)=0.836，γ(X0，X3)=0.860，

因此灰色關(guān)聯(lián)序為

γ(X0，X1)?γ(X0，X2)=γ(X0，X3)

然而按照灰色加權(quán)凸關(guān)聯(lián)度計算得

因此灰色關(guān)聯(lián)序為

γ(X0，X3)?γ(X0，X2)=γ(X0，X1)

由此可見，灰色加權(quán)凸關(guān)聯(lián)度充分體現(xiàn)新信息的作用，解決了舊信息擾動控制整個灰色關(guān)聯(lián)序的問題。

圖1

圖1可見，序列x2，x3更接近x1的發(fā)展態(tài)勢，然而按原先的灰色凸關(guān)聯(lián)模型卻得到相反的結(jié)果。

4 實例研究

研究2010-2016年中國城鎮(zhèn)居民消費價格指數(shù)相關(guān)指標的主次關(guān)系，數(shù)據(jù)來源：《中國統(tǒng)計年鑒》，數(shù)據(jù)序列為：

城鎮(zhèn)居民消費價格指數(shù)X0=(676.5，662.6，652.8，639.4，623.2，606.8，576.3)

城鎮(zhèn)居民人均可支配收入X1=(33616，31195，28844，26467，24564，21809，19109)

城鎮(zhèn)居民人均消費支出X2=(23079，21392，19968，18488，16674，15160，13471)

城鎮(zhèn)單位平均工資X3=(67569，62029，56360，51483，46769，41799，36539)

由未加權(quán)模型計算得到灰色關(guān)聯(lián)度如下

γ01=0.99102，γ02=0.99478，γ03=0.99435

因此灰色關(guān)聯(lián)序為：

γ02?γ03?γ01

而由本文加權(quán)模型計算得到灰色關(guān)聯(lián)度如下

γ01=0.98921，γ02=0.99412，γ03=0.99431

因此灰色關(guān)聯(lián)序為：

γ03?γ03?γ01

兩種方法都表明城鎮(zhèn)單位平均工資對城鎮(zhèn)居民消費價格指數(shù)的影響要高于城鎮(zhèn)居民人均可支配收入；與未加權(quán)模型相比，近年來，城鎮(zhèn)單位平均工資對城鎮(zhèn)居民消費價格指數(shù)的影響越來越大。

5 結(jié)論

本文灰色加權(quán)凸關(guān)聯(lián)度模型適用于注重時間因素的關(guān)聯(lián)分析問題，且序列的意義、量綱不影響關(guān)聯(lián)度的大小。結(jié)果表明，該方法能夠反映不同時間點的重要性，優(yōu)化了新信息作用，對灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)的波動同時得到了有效控制，解決了舊信息擾動控制整個灰色關(guān)聯(lián)序的問題。