Laplace方程邊值問題的五點差分格式

支越

(中國傳媒大學信息科學與技術學部，北京 100024)

1 引言

這里δ(x，y)≥0。

若邊界Γ上不同部分滿足不同類型的邊界條件，則為混合邊值問題。假設α(x，y)，β(x，y)，γ(x，y)，δ(x，y)為定義在邊界Γ上的光滑函數。

本文用五點差分格式建立Laplace方程邊值問題的差分方程組，具體步驟如下：

(1)將區域Ω進行網格剖分。

(2)對區域Ω上的內點建立差分格式。

(3)對區域Ω上邊界條件的處理。

為簡便討論，取區域Ω為正方形區域進行均勻正方形網格剖分。

2 在差商代替導數的方法下建立差分格式

2.1 區域Ω上內點的差分格式

對內網格點(i，j)，1≤i≤N-1，1≤j≤N-1，有(N-1)×(N-1)個內點。

內點列出的差分格式：-(ui，j+1+ui，j-1+ui+1，j+ui-1，j-4ui，j)=0。

2.2 區域Ω上的邊界條件的處理

對于第一類邊界條件，u(x，y)=α(x，y)，?(x，y)∈Γ，將uij=αij直接代入差分方程中 。

對于第二、三類邊界條件，在正方形區域Ω四個邊界外側的一個步長h處，各增設一排虛網點，用中心差商逼近邊界條件中的法向導數，在四個邊界點上單獨列出差分方程。

例如，在左邊界(0，j)(0≤j≤N)的左側增設(-1，j)(0≤j≤N)，用中心差商逼近邊界條件中的法向導數

通過在左邊界增設一排虛網點，以(0，j)為內點建立五點差分格式，與內點(i，j)列出的差分格式聯立，從而消去了虛網點(-1，j)上的未知量u-1，j。

根據上述方法，以Laplace方程的第二邊值問題為例，列出其在上、下、左、右邊界的差分格式。

下邊界差分格式：-2ui，1-ui+1，0-ui-1，0+4ui0=2hβi0，i=1，2，…，N-1

上邊界差分格式：-2ui，N-1-ui+1，N-ui-1，N+4uiN=2hβiN，i=1，2，…，N-1

左邊界差分格式：-2u1，j-u0，j+1-u0，j-1+4u0j=2hβ0j，j=1，2，…，N-1

右邊界差分格式：-2uN-1，j-uN，j+1-uN，j-1+4uNj=2hβNj，j=1，2，…，N-1

角點(0，0)，需要用到左側的虛網點(-1，0)和下側的虛網點(0，-1)，由左邊界、下邊界和內點的差分格式聯立，消去未知量u-1，0和u0，-1，(0，N)，(N，0)和(N，N)類似處理。

角點(0，0)，-u1，0-u0，1+2u00=2hβ00

角點(0，N)，-u0，N-1-u1，N+2u0N=2hβ0N

角點(N，0)，-uN，1-uN-1，0+2uN0=2hβN0

角點(N，N)，-uN，N-1-uN-1，N+2uNN=2hβNN

3 在積分插值法下建立差分格式

3.1 區域Ω上內點的差分格式

對內網格點(i，j)，1≤i≤N-1，1≤j≤N-1，區域Di，j為：

對區域Di，j分段積分得-([u]i，j+1+[u]i，j-1+[u]i+1，j+[u]i-1，j-4[u]i，j)≈0。

3.2 區域Ω上的邊界條件的處理

得-[u]1，0-[u]0，1+2[u]0，0≈2hβ00。

4 差分方程組

Laplace方程第二邊值問題的差分方程組如下：

5 結論

本文用差商代替導數的方法與積分插值法，對Laplace方程第二邊值問題建立了五點差分格式。對邊界條件的處理上，通過增設虛網點，用中心差商逼近法向導數，但這種方法是不嚴謹的，因為Laplace方程在邊界點上五點差分格式不一定成立。不過實際應用方便，它列出的邊界點差分格式與積分插值法是一致的。積分插值法的優越性是容易在邊界點上建立差分格式，選定積分區域，進行分段積分，這避免了在邊界上逼近法向導數，這樣處理既方便又減少誤差，特別是當邊界不平行于坐標軸時，更顯其優越性。