發(fā)射動力系統(tǒng)連接結(jié)構(gòu)薄層單元建模的不確定性研究

李 昊，王鴻麗，盧丙舉

(1. 海軍裝備部裝備審價中心，北京 100071；

2. 中國船舶重工集團(tuán)公司第七一三研究所，河南 鄭州 450015；

3. 河南省水下智能裝備重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南 鄭州 450015)

0 引 言

在某發(fā)射動力系統(tǒng)連接結(jié)構(gòu)中，螺栓連接以其連接剛性好，安裝方便等諸多優(yōu)點(diǎn)得到廣泛的應(yīng)用，但是螺栓連接件會影響結(jié)構(gòu)局部剛度和整機(jī)的動力學(xué)性能，所以建立準(zhǔn)確的動力學(xué)連接模型是準(zhǔn)確計算結(jié)構(gòu)動態(tài)特性與響應(yīng)的前提。

螺栓連接的有限元建模方法主要分為兩類：非參數(shù)化建模方法和參數(shù)化建模方法。非參數(shù)化建模將連接剛度和連接阻尼等效為對結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性作用相同的附加外力的形式[1-4]，缺點(diǎn)是無法揭示連接處的微觀特性。與非參數(shù)化建模不同的是參數(shù)化建模是根據(jù)連接處的物理特性和連接界面的微觀滑移、碰撞等特性建立連接模型，因?yàn)槟軌蛏羁探沂具B接的特性而得到越來越多的研究。參數(shù)化建模分為零厚度單元（Zero thickness element）、一般單元（Generic element）和薄層單元（Thin layer element）3 種類型。零厚度單元用集中質(zhì)量、彈簧和摩擦滑塊來表示連接界面處的力—位移關(guān)系。Iwan[5]模型因?yàn)槟軌虮硎具B接處的粘滑運(yùn)動而被廣泛應(yīng)用；Ahmadian 和Jalali[6]采用一般單元模擬連接處的特性，并通過實(shí)驗(yàn)頻響函數(shù)對連接參數(shù)進(jìn)行了識別；薄層單元理論最早應(yīng)用于巖石接觸的力學(xué)分析[7]，Mayer 和Gaul[8]研究表明薄層單元能夠有效模擬機(jī)械連接面的接觸特性。

在連接的不確定性方面，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的研究。Gangaharan[9]提出一種基于統(tǒng)計學(xué)的參數(shù)識別方法，運(yùn)用系統(tǒng)靜力學(xué)響應(yīng)來進(jìn)行參數(shù)識別；Qiao LS[10]采用遲滯模型研究了非自治系統(tǒng)的剛度不確定性；Guo Qin tao 和Zhang Ling mi[11]將連接結(jié)構(gòu)的接觸剛度及接觸阻尼作為隨機(jī)分布參數(shù)處理，然后基于響應(yīng)面法的模型修正方法和分布代數(shù)方法進(jìn)行參數(shù)識別；姜東和費(fèi)慶國[13]基于薄層單元理論，提出了一種螺栓連接接觸面不確定性參數(shù)識別方法；C.Zang[13]基于魯棒性設(shè)計研究了兩自由度結(jié)構(gòu)的動力學(xué)不確定性問題。本文以某發(fā)射動力系統(tǒng)連接結(jié)構(gòu)為研究對象，針對薄層單元連接模型，通過Taguchi 方法研究了薄層單元的厚度、彈性模量和密度不確定性。

1 薄層單元基本理論

薄層單元建模方法把2 個連接件接觸面的部分等效為連續(xù)的厚度非常薄的單元，如圖1 所示。

圖 1 薄層單元Fig. 1 Thin layer element

對于尺寸為l1×l2×d 的薄層單元，根據(jù)虛位移原理得到虛功方程：

對式（2）運(yùn)用2 節(jié)點(diǎn)高斯積分可得到剛度矩陣的數(shù)值表達(dá)式：

對于薄層單元，假設(shè)厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于長度和寬度，文獻(xiàn)[15 - 16] 表明當(dāng)厚度趨近于零時單元應(yīng)變可以忽略。此把接觸面法向和接觸面切向， 分別定義為局部坐標(biāo)， 和的方向；同理，應(yīng)力分對應(yīng)；變，分對應(yīng)和，則本構(gòu)方程可以轉(zhuǎn)化為：

式中： 和 分別為彈性模量，剪切模量。此時 和為2 個獨(dú)立的參數(shù)，如果要求兩者的耦合關(guān)系，可在本構(gòu)關(guān)系式（5）中加入耦合項(xiàng)實(shí)現(xiàn)。

2 Taguchi 設(shè)計方法

魯棒設(shè)計是在不減弱或消除不確定性因素影響的情況下，尋找合理的設(shè)計值，使響應(yīng)對參數(shù)變化不敏感的設(shè)計方法。結(jié)構(gòu)動力學(xué)魯棒設(shè)計問題屬于不確定結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析的反問題。Taguchi 設(shè)計是一種重要的魯棒設(shè)計方法，最早由日本學(xué)者田口谷一提出[15]。這種設(shè)計方法把統(tǒng)計學(xué)的實(shí)驗(yàn)設(shè)計方法應(yīng)用到了工業(yè)設(shè)計中，通過較少的實(shí)驗(yàn)設(shè)計來減少設(shè)計人員的工作量，同時設(shè)計出較高質(zhì)量的產(chǎn)品。Taguchi 方法將工程優(yōu)化過程和產(chǎn)品設(shè)計過程分為3 步：系統(tǒng)設(shè)計、參數(shù)設(shè)計和容差設(shè)計，具體設(shè)計過程見文獻(xiàn)[16]。

Taguchi 利用信噪比考慮結(jié)構(gòu)性能的魯棒性以及產(chǎn)品的綜合經(jīng)濟(jì)性。根據(jù)產(chǎn)品的質(zhì)量特性，信噪比分為3 類：望目特性的信噪比，望小特性的信噪比和望大特性的信噪比。

望目特性的信噪比：

望小特性的信噪比：

望大特性的信噪比：

通過信噪比分析，可以初步得到一組參數(shù)組合，經(jīng)過進(jìn)一步優(yōu)化分析，最終確定最優(yōu)化參數(shù)組合。

3 薄層單元的魯棒設(shè)計

3.1 設(shè)計模型

某發(fā)射動力系統(tǒng)連接結(jié)構(gòu)模型如圖2 所示，連接件由前后2 個結(jié)構(gòu)組成，2 個結(jié)構(gòu)的法蘭邊通過薄層單元進(jìn)行連接。考慮到螺栓連接對連接結(jié)構(gòu)局部剛度影響比較大，而局部剛度的變化對連接結(jié)構(gòu)整體影響非常大。在連接結(jié)構(gòu)的建模中，薄層的厚度對建模的準(zhǔn)確性至關(guān)重要，對連接結(jié)構(gòu)的整體響應(yīng)影響巨大。而目前國內(nèi)外對于如何準(zhǔn)確確定薄層厚度尚無定論。本文對連接結(jié)構(gòu)的整體動力學(xué)響應(yīng)為研究目標(biāo)，以薄層厚度，彈性模量和密度為設(shè)計變量，對發(fā)射動力系統(tǒng)連接結(jié)構(gòu)進(jìn)行魯棒設(shè)計。

3.2 信噪比分析

圖 2 螺栓連接結(jié)構(gòu)薄層單元示意圖Fig. 2 Thin-layer element in thecontact surface of assembled aero-engine casing

表 1 設(shè)計參數(shù)水平設(shè)置Tab. 1 Factor levels

表 2 正交試驗(yàn)結(jié)果及信噪比Tab. 2 Experimental design and results

圖 3 三階振動響應(yīng)的信噪比Fig. 3 The S/N graph for the third response

圖 4 五階振動響應(yīng)信噪比Fig. 4 The S/N graph for the fifth response

正交試驗(yàn)的信噪比分析結(jié)果如圖3 和圖4 所示，表示各參數(shù)值在各水平位置時對輸出結(jié)果的影響大小，其中表示輸入?yún)?shù)在水平的信噪比均值，如圖3中表示厚度在1 水平的信噪比均值。可知，3 個輸入?yún)?shù)對連接結(jié)構(gòu)第3 階頻率和第5 階頻率影響均比較大，并且可以初步得到一組較優(yōu)的組合 A1B3C1。

3.3 優(yōu)化分析

對正交試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行回歸分析，通過回歸分析運(yùn)用最小二乘法可以得到表示固有頻率關(guān)于厚度、彈性模量和密度的經(jīng)驗(yàn)公式：

以和的設(shè)計值作為優(yōu)化的目標(biāo)，通過權(quán)重系數(shù)法把多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題，目標(biāo)函數(shù)如下：

式中： d 為測試的響應(yīng)值， n為實(shí)驗(yàn)的次數(shù)。

表 3 優(yōu)化前后頻差對比Tab. 3 The comparison before optimization and after

4 結(jié) 語

1）薄層單元的厚度、彈性模量和密度等因素對連接結(jié)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng)影響較大。在彈性模量和密度保持不變時，隨著厚度的增加，連接結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率逐漸減小；在厚度保持不變時，隨著彈性模量的增加，連接結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率逐漸增大；在薄層厚度和彈性模量保持不變時，連接結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率逐漸減小；

2）通過回歸分析，運(yùn)用最小二乘法建立了連接結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)關(guān)于薄層厚度、彈性模量和密度的經(jīng)驗(yàn)公式；

3）對薄層參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化分析，經(jīng)過優(yōu)化，建立了精確的連接模型。