基于區域極點配置理論的高速列車速度估計

賈 超， 徐洪澤， 王龍生

(1.北京交通大學電子信息工程學院，北京 100044；2.中國鐵道科學研究院通信信號研究所，北京 100081)

列車速度是設計列車自動駕駛控制策略，完成最優“速度-距離”曲線精確跟蹤的前提。現行列車速度一般通過速度傳感器獲得，但傳感器長期工作在惡劣的環境中，并需要承受由鐵軌不平造成的強機械應力，容易產生故障進而引起列車故障，據日本有關方面曾統計，每半年就有9起因速度傳感器問題而造成的機車故障[1]。相比之下，無速度傳感器技術能夠從容易測量的電機定子電壓、電流等物理量中辨識出電機轉速[2]，進而得到列車速度。這種技術降低了系統故障率，提高了控制單元的可靠性，節約了成本[3]，還可用于列車的速度監控及列車速度傳感器故障診斷中[4]。目前，Adtranz公司將該技術應用于Helsinki的城市輕軌上[2]；西門子交通部在Boston和上海地鐵三號線上應用了該技術，并與德國魯爾大學聯合開發的應用于更大功率的無速度傳感器控制裝置在西班牙地鐵EMU已經通過測試[3]；日本5000型和8800型動車組也已經應用該技術[5]。

近年來，無速度傳感器技術中的自適應速度觀測器法(如降階狀態觀測器法[6]、擴展卡爾曼濾波法[7]、滑模觀測器法[8]、全階磁鏈觀測法[9-13]等)被廣泛用于電機轉速辨識中。其中，全階磁鏈觀測器法的觀測精度高，避免了純積分問題，在極點配置合理的情況下，能夠保證誤差矢量動態特性漸進穩定和誤差矢量快速收斂到零，因此，該方法被大量用于無速度傳感器控制技術中[14]。通常，為了使觀測器收斂速度比電機模型快，一般將觀測器極點配置在電機模型左側kc倍位置。文獻[9]設計了速度自適應磁鏈觀測器，用于辨識感應電機轉速，并令kc=1，即觀測器極點與電機模型極點一致，這將造成系統在低速區域不穩定，因此，作者在文獻[10]中將觀測器進行線性化處理并增加了轉速項，利用勞斯穩定判據，得到能夠保證系統穩定kc的取值范圍。文獻[11]根據超穩定理論，提出轉速估計自適應律，并令kc=1.2。文獻[12]利用勞斯穩定判據分析出轉速估計系統在低速再生制動區域不穩定，并給出了保證系統穩定的充要條件。文獻[13]中，基于該充要條件設計了一種新型磁鏈觀測器，將系統的不穩定區域縮減至一條直線。此外，受溫度、集膚效應、磁飽和及電機運行頻率等因素的影響，電機參數變化范圍較大，這將影響電機轉速辨識精度，而定子電阻的不匹配對轉速估計精度影響最大[13]，為了提高轉速辨識精度，文獻[9，11]引入了參數辨識環節，用于辨識電機定子、轉子電阻。然而，引入參數辨識環節以減小電機參數對轉速辨識精度的影響，增加了系統的復雜程度；同時，精確配置觀測器極點限制了觀測器的收斂速度，降低了系統的魯棒性，很難滿足工程中多種性能指標需同時滿足的實際需求[15]。

本文針對上述兩個問題，基于區域極點配置理論，設計了具有一定自由度的全階磁鏈觀測器增益矩陣，依據Lyapunov穩定性理論推導出電機轉速自適應律，提出了高速列車速度估計算法。本文采用區域極點配置理論設計觀測器增益矩陣，提高了速度估計系統的魯棒性。同時，本文所提算法在不增加系統結構復雜性的前提下，能保證存在不確定電機參數的速度估計系統的穩定性及列車速度的估計精度。

1 牽引電機模型

以CRH3型動車組列車為例，該動車組列車配有16臺四極三相鼠籠式異步牽引電機。在兩相靜止坐標系下，以定子電流和定子磁鏈為狀態變量，牽引電機標稱模型可以表示為[16]

( 1 )

式中：

式( 1 )中，系統矩陣Am包含電阻參數Rs、Rr，電感參數Ls、Lr、Lm及轉子角速度ωr等參數。而牽引電機在運行過程中，電機參數通常是未知且時變的，同時受溫度、集膚效應及磁飽和程度等因素影響，電機參數通常會偏離其標稱值。故需要對電機標稱模型式( 1 )進行修正，將電機參數在標稱值的基礎上增加不確定項ΔRs、ΔRr、Δωr、ΔLs、ΔLr及ΔLm。則牽引電機實際模型表示為

( 2 )

式中：

不確定參數矩陣ΔAm為

ΔAm=LMN

( 3 )

式中：L∈Rn×s，N∈Rt×n(s≤n=4，t≤n=4)為不確定性結構矩陣，不確定性系數M屬于集合

X={M∈Rs×t|MTM≤It×t}

( 4 )

2 全階磁鏈觀測器

( 5 )

根據式( 5 )和式( 2 )，則實際狀態估計誤差系統為

( 6 )

2.1 圓形區域D(c，r)

假設牽引電機模型的所有極點為

si=σi+jΩii=1，2，3，4

( 7 )

將觀測器極點配置在電機模型左側kc倍(kc≥1)位置。同時為了保證觀測器在離散化后的穩定性，連續觀測器的所有極點均需位于s平面左側的圓形區域D(c，r)內，該圓形區域設計為

( 8 )

式中：i=1，3；T為采用周期，其取值范圍為

( 9 )

由于kc≥1，故

(10)

(11)

式中：T≤Tc。圓形區域D(c，r)見圖1。

圖1 圓形區域D(c，r)

2.2 觀測器增益矩陣G

為了簡化證明，引入如下記號

Ama=(Am-cI)/rCmr=Cm/r

(12)

(13)

Amae=(Am+GCm-cI)/r

(14)

ΔAmae=ΔAm/r=LrMNr

(15)

現設計反饋觀測增益矩陣G使得對于一切容許不確定性M∈X，觀測器的所有極點(即實際狀態估計誤差系統式( 6 )的極點)都被配置在圓形區域D(c，r)內。則G可以表示為

G=[G1G2]T=[g1I+g2Jg3I+g4J]T=

(16)

式中：P∈Rn×n為對稱正定矩陣，對于一切不確定性M∈X，滿足

(Amae+ΔAmae)TP(Amae+ΔAmae)-P<0

(17)

(18)

式中：R為適維對陣正定矩陣；ε>0[15]。

3 列車速度估計及對電機參數敏感性

3.1 列車速度估計算法

本文所采用的區域極點配置理論對電機參數變化具有較強的魯棒性，同時電機參數的在線辨識會增加系統的復雜程度和在線計算量，不利于工程應用。所以，本文在進行速度辨識時，不考慮除轉速之外其他變化的電機參數，牽引電機全階磁鏈觀測器可修改為

(19)

式中：

采用四階龍格-庫塔方法對該觀測器進行離散化處理，得

(20)

式中：

根據式(19)和式( 1 )，狀態估計誤差系統為

(21)

定理1如果觀測器增益矩陣G(式(16))用于狀態估計誤差系統(式(21))中，則式(22)成立。

(22)

證明：根據矩陣的Schur補性質，式(17)等價于，存在正定矩陣P∈Rn×n，對于一切不確定性M∈X和ξ∈R2n，使得式(23)成立。

ξ<0

(23)

可以表示為

(24)

對于所有滿足[0Cmr]ξ=0的ξ≠0，有

(25)

即

(26)

根據文獻[15]引理4，對所有滿足[0Cmr]ξ=0的ξ≠0，有

(27)

由文獻[15]引理2，對所有滿足[0Cmr]ξ=0的ξ≠0，存在ε>0，使得

(28)

再根據文獻[15]引理3，存在正定矩陣R-1，使得

(29)

則式(30)成立

(30)

即

(31)

由矩陣的Schur補性質，式(31)蘊含

(32)

則存在正定矩陣Q′，使得

(33)

(34)

(35)

根據式(12)和式(14)，有

Amae=(Ama+GCmr)

(36)

將式(35)和式(36)代入式(34)的第一項，有

(37)

式(34)的第三項可表示為

(38)

將式(37)和式(38)代入式(34)中，并根據式(18)得

(39)

即

(40)

等價于

(41)

即

(42)

根據文獻[15]引理1，存在正定矩陣P∈Rn×n使得式(42)成立，則表示矩陣Am+GCm的所有特征根均位于圓形區域D(c，r)內，即式(43)成立。

eig(Am+GCm)≤0

(43)

故定理1中式(22)成立，證畢。

定義Lyapunov函數為

(44)

式中：λ1為正的常數。

對Lyapunov函數求導，并根據假設1，得

(45)

定理1已證明式(45)右側第一項為半負定矩陣，當滿足

(46)

式(45)右側最后兩項之和為0，即V1>0，dV1/dt≤0，滿足Lyapunov穩定性理論，即保證了轉速估計系統的穩定性，式(46)即為電機轉速辨識自適應律，為滿足辨識的快速性，采用比例積分自適應律，表示為

(47)

對式(47)進行離散化處理，得

(48)

式中：

由于列車的速度與電機轉速成正比，故可以在獲得電機角速度(式(48))的基礎上，根據電機角速度與轉速的關系計算電機轉速，再根據列車速度與電機轉速的關系獲得列車的估計速度，該過程描述為式(49)，即為列車速度估計律。

(49)

綜上所述，高速列車的速度估計算法可描述如下：

算法1 高速列車速度估計算法

Step 2利用傳感器測量列車當前時刻k牽引電機定子電流is(k)，定子電壓us(k)。

Step 3將不確定參數矩陣ΔAm進行矩陣分解，確定矩陣L、N及不確定系數M；計算電機模型的所有極點，確定采樣周期T，計算圓心c、半徑r、kmax及圓形區域，并通過式(12)～式(15)分別計算Ama，Cmr，Lr，Nr，Amae，ΔAmae。

Step 4通過式(17)及式(18)，利用LMI工具箱求解正定矩陣P及ε，并根據式(16)計算觀測器增益G。

Step 7在下一時刻，即k=k+1時刻，重復Step2到Step6，直至結束。

列車速度估計的總體結構框圖見圖2。

圖2 列車速度估計系統總體結構框圖

3.2 列車速度估計對電機參數敏感性

為了表達形式簡單，在旋轉坐標系下，將式( 1 )中狀態方程及式( 5 )全階磁鏈觀測器方程表示為復矢量形式，分別為

(50)

(51)

穩態時，可令d/dt(·)=0，推導出定子電流、定子電壓及定子磁鏈矢量的穩態關系分別為

(52)

(53)

(54)

同時，將式(52)、式(53)代入式(51)，可以推導出定子電流觀測矢量與定子磁鏈觀測矢量的穩態關系為

(55)

式中：

q1(g2m1-g1n1)

b2=-(g2n1+g1m1)q1-p1(g2m1-g1n1)

m1(g4y1-g3x1)

b4=-(g4x1+g3y1)m1-n1(g4y1-g3x1)

(56)

列車的估計速度因電機參數變化而造成的誤差與電機參數的關系為

(57)

式中：v為列車實際速度。

利用Matlab仿真軟件，繪制估計速度誤差ev隨電機的實際轉速和負載變化的三維圖，利用三維圖分析電機參數變化對估計速度誤差ev的影響。仿真選用CRH3型列車，列車總質量m=536 t，車輪直徑D=0.92 m，列車牽引電機總數Nm=16，齒輪傳動比a=2.788，傳動效率η=0.975，基本運行阻力系數分別為c0=0.42，cv=0.001 6，ca=0.000 132。該車型的牽引電機參數為：額定功率Pm=560 kW，頻率f=138 Hz，定子電阻Rs=0.106 5 Ω，轉子電阻Rr=0.066 3 Ω，定子電感Ls=1.31 mH，轉子電感Lr=1.93 mH，互感Lm=53.6 mH，極對數np=2。

令電機參數實際值與標稱值相對誤差為±50%，分別分析定子電阻、轉子電阻、定子電感、轉子電感及互感對估計速度誤差的影響。選擇電機轉速變化范圍為0～500 r/s，負載隨列車速度變化而變化，具體為

(58)

式中：TL為牽引電機負載；fb為基本運行阻力，包括滾動阻力和氣動阻力，表示為

fb=m(c0+cvv+cav2)

(59)

Am=

M=1×104

當ωr=1.5p.u.時，電機模型的極點分別為：(-20.59+648.8i)，(-20.59-648.8i)，(-50.42+1.51i)，(-50.42-1.51i)。利用式(10)，可得T≤9.77×10-5，令Tc=8×10-5，k=kmax=1.22，則圓形區域為：圓心為(c=-1.25×104，0)，半徑為r=1.25×104m。根據仿真參數，求解對應的線性矩陣不等式式(17)及式(18)，則可得P及ε的可行解

P=

ε=2.35×104

觀測器增益矩陣

根據上述參數，可得估計速度誤差對定子電阻的敏感性三維圖，見圖3。其余參數變化對估計速度誤差的影響分析過程與該過程一致，此處不再詳細贅述，仿真結果見圖4～圖7。

圖3 速度估計誤差對定子電阻的敏感性三維圖

圖4 速度估計誤差對轉子電阻的敏感性三維圖

圖5 速度估計誤差對定子電感的敏感性三維圖

圖6 速度估計誤差對轉子電感的敏感性三維圖

圖7 速度估計誤差對互感的敏感性三維圖

從圖3～圖7可知，定子電阻變化對估計速度誤差影響最大，轉子電阻次之，這是因為定子磁鏈觀測值與定子電阻直接相關，其他電機參數只會對定子電流觀測值產生影響，側面影響列車速度估計值。當轉速一定時，隨著負載的增大，估計速度誤差值越大。此外，除轉子電感外，其余幾個電機參數的變化均會造成速度的估計值小于速度的實際值。

4 數值仿真

仿真具體參數見3.2節中參數，從3.2節所獲結論可知，定子電阻變化對估計速度誤差影響最大，轉子電阻次之。故本節分別選擇定、轉子實際值小于標稱值和大于標稱值兩個算例來證明本文所提列車速度估計算法的有效性。同時令列車的期望速度為：15 m/s(0～1 s)，70 m/s(1～2 s)，30 m/s(2～3 s)，3 m/s(3～4 s)。

4.1 算例1

N=103×

當ωr=1.5p.u.時，電機模型的極點分別為：(-18.6+649.5i)，(-18.6-649.5i)，(-30.2+0.815i)，(-30.2-0.815i)。利用式(10)，可得T≤8.81×10-5，令Tc=8×10-5，則k≤1.1，取k=kmax=1.1。根據式(11)可得圓形區域D(c，r)：圓心為(c=-1.25×104，0)，半徑為r=1.25×104m(圖8黑色曲線)。從圖8可知，當轉速ωr從0變化到1.5p.u.時，觀測器的所有極點均在圓形區域內。

圖8 觀測器極點軌跡及圓形區域D(c，r)

根據仿真參數，求解對應的線性矩陣不等式，則可得P及ε的可行解為

P=10-6×

ε=2.62×10-11

仿真結果見圖9，從圖中可知，即使電機定子電阻、轉子電阻存在10%的偏差，列車的估計速度與實際速度基本一致。

圖9 算例1列車估計速度曲線

圖10 算例1列車實際速度與估計速度偏差曲線

列車的實際速度與采用兩種方法估計出的列車速度的偏差曲線見圖10，偏差的平均值見表1，及各個時間段速度偏差滿足|ev|≤0.1 m/s時所需時間。從圖10及表1可知，本文所提算法(采用區域極點配置法)估計出的列車速度與傳統的精確極點配置法估計出的速度相比，前者更接近列車實際速度。且在每一個時間段，經過0.3 s后，速度估計值均能夠收斂至實際值，這表明轉速估計系統是穩定的。此外，本文所提算法估計的列車速度偏差值滿足|ev|≤0.1 m/s的時間與傳統方法相比，前者時間更短。

表1 算例1列車實際速度與估計速度的偏差值

算例1中電機的極點及觀測器的極點見圖11，從圖11中可以看出，所有的觀測器極點均在圓形區域內。

圖11 算例1電機模型極點與觀測器極點

4.2 算例2

ΔAm=

N=103×

經過計算可得T≤1.47×10-4，令Tc=1×10-4，k=kmax=1.47，則圓形區域為：圓心為(c=-1×104，0)，半徑為r=1×104m。線性矩陣不等式的可行解為

P=10-6×

仿真結果見圖12，在電機定子、轉子電阻偏離原始值50%的情況下，速度估計值與速度實際值基本一致。

圖12 算例2列車估計速度曲線

列車的實際速度與采用兩種方法估計的列車速度的偏差曲線見圖13，偏差的平均值見表2，及各個時間段，速度偏差滿足|e|≤0.1 m/s時所需時間。從圖13及表2可知，本文所提算法估計出的列車速度更接近列車實際速度。在每一個時間段，經過0.4 s后，速度估計值均能夠收斂至實際值，這表明轉速估計系統是穩定的。同時，本文所提算法估計的列車速度偏差值滿足|ev|≤0.1 m/s的時間更短，尤其在時間段1～2 s和時間段2～3 s更為明顯，這表明精確極點配置法在列車中、高速運行時，列車速度估計值收斂至實際值時間較長，且偏差相對較大，而本文所使用的方法在0.2 s后便能夠滿足與列車實際速度的偏差小于等于0.1 m/s。即本文所提算法魯棒性更強，收斂速度更快。

圖13 算例2列車實際速度與估計速度偏差曲線

項目精確極點配置區域極點配置精確極點配置區域極點配置時間段/s0～11～2偏差平均值/(m·s-1)0.066 10.016 70.309 60.235 8滿足|ev|≤0.1m/s的時間/s0.170.141.841.23時間段/s2～33～4偏差平均值/(m·s-1)0.134 2-0.038 10.183 0-0.061 6滿足|ev|≤0.1 m/s的時間/s2.982.193.423.38

算例2中電機的極點及觀測器的極點見圖14，可以看出，所有的極點均在圓形區域內。

圖14 算例2電機模型極點與觀測器極點

從圖9、圖10、圖12和圖13可知，即使定子、轉子電阻存在偏差的情況下，速度估計值均能收斂到速度實際值，從而驗證了速度估計算法的有效性。且在電機定子、轉子電阻偏差為50%時，本文所提算法仍能準確地估計出列車的速度，這表明本文所提算法具有較強的魯棒性。此外，比較表1跟表2可知，定子電阻、轉子電阻的實際值與理論值偏差越大，最后的速度估計誤差就越大，滿足速度偏差值|ev|≤0.1 m/s的時間更長。同時，與精確極點配置法相比，本文所提算法收斂速度更快，魯棒性更強，估計出的列車速度與實際速度偏差更小。

5 結束語

本文采用無速度傳感器技術的全階磁鏈觀測器法，基于區域極點配置理論，提出了高速列車速度估計算法，并給出了估計速度對電機參數變化的敏感性分析，分析結果為定子電阻變化對列車速度估計值影響最大，轉子電阻次之。進而從定子、轉子電阻取兩組不同值的情況下進行仿真，并與傳統精確極點配置法進行對比，驗證了本文所提算法的有效性。結果表明，兩種情況下，列車速度估計值均收斂于實際值，且在電機參數存在較大偏差的情況下，仍能準確估計出列車的速度，具有較強的魯棒性，與傳統精確極點配置法相比，本文所提算法魯棒性更強，收斂速度更快。同時，本文所提算法能在不增加系統結構復雜性的前提下，保證存在不確定電機參數的列車速度估計系統的穩定性及列車估計速度的精度，可以降低系統的故障率，提高系統的可靠性及可維護性。