一種環柱天線的索網結構設計與分析方法

劉 陽，李團結，陳聰聰，唐雅瓊

(西安電子科技大學 機電工程學院，陜西 西安 710071)

在衛星通信、對地觀測、深空探測等航天領域，空間可展開天線起著重要的作用，其應用十分廣泛。隨著空間技術的發展，許多科學應用領域對大口徑和超大口徑空間可展天線的需求越來越高。由于受火箭載荷及空間的限制，口徑大、質量輕、收縮比高的可展開天線成為各航天大國的研究重點[1-3]，為此各國學者提出了形式眾多的空間可展開天線結構概念，環柱天線是其中最具潛力的結構形式之一[4]。

可展開天線的結構形式多樣，對于大口徑天線，最常用的反射面結構為網狀反射面。網狀反射面具有曲面成型精度高、收攏體積小、天線的展收比大等優點，在衛星通信及遙感等領域得到了廣泛應用，受到各航天大國普遍關注，具有制作大口徑和超大口徑天線的前景[5-7]。文中所研究的環柱天線是可展開索網天線的一種重要形式，美國國家航空航天局(NASA)的蘭利研究中心(Langley Reseacherch Center)與Harris公司在1980年前后共同提出環柱天線的概念[8]，它是一種預拉壓結構，主要分為周邊圓環、中心伸展立柱、索網系統和金屬絲網反射面幾部分，當天線收攏時，周邊圓環在電機的驅動下向中心收攏，收攏體積可以很小[9-10]。為了驗證這種方案的可行性，美國國家航空航天局制作了口徑為15 m的環柱天線樣機[11-12]，其收攏直徑為0.9 m，收攏高度為2.7 m，天線總重為291 kg，并對其性能進行了測試[13]，這類天線的展開結構較為簡單，但索網系統復雜，網面設計和調整難度比較大[14]。

為此，筆者根據環柱天線結構組成，確定了環柱天線索網的幾何構型，采用分步求解的方式計算其預應力分布，并修正節點坐標，得到環柱天線的最終節點坐標和預應力分布。最后通過有限元仿真驗證了所述索網結構設計與分析方法的有效性。

1 索網結構幾何設計

環柱可展開天線的主要結構如圖1和圖2所示。主要包含周邊圓環、中心伸展立柱、索網系統和金屬絲網反射面。

圖1 環柱天線三維圖

圖2 環柱天線結構圖

天線的中心立柱由可伸縮的套管組成，分為中心轂和上下立柱。周邊圓環是由48節桿件鉸接而成，通過上下各48根環支撐索分別與上下立柱端點相連，給周邊圓環提供支撐，天線網面固定在周邊圓環與下立柱之間，起著支撐和定位周邊圓環的作用，前網面采用三角形拓撲，通過豎向和斜向張緊索與背索相連，使前網面的節點落在理想拋物面上，網面的背后連接著調整索，用以形面精度調整。這些索是由高剛度低熱膨脹系數的石墨材料組成的，給金屬絲網提供了一個非常穩定的支撐結構。饋源支架是一個獨立的結構，用以支撐饋源陣列。收攏時，周邊環可以折疊起來收縮到中心柱周圍一個很小的體積內。

圖3 1/2片索網結構示意圖

文中的重點是研究環柱天線的索網系統設計，對于這種正饋旋轉拋物面可展開天線的網面設計，可以從單片索網入手，首先確定單片索網節點坐標與拓撲，然后將單片索網進行坐標旋轉得到完整索網，完成其幾何設計。整個索網分為48片。1/2片索網結構如圖3所示。

1.1 前網面設計

前網面是一焦距為60 m的拋物面，以拋物面最低點為坐標原點，前網面的節點位置與編號如圖4所示，前網面內圈和外圈半徑分別為8 m和48 m，單片網面對應圓心角為7.5°。為了使索網在靜力平衡時張力分布均勻，應使前網面節點盡量呈對稱分布。將邊界拉索AB沿弧長方向均分為27份得到AB間節點坐標，其他節點坐標由邊界拉索AB上節點旋轉相應角度得到。引入垂跨比調整環連接索節點位置，用以降低環連接索對周邊圓環的拉力，減小周邊圓環變形。

圖4 單片索網結構前網面示意圖

1.2 背網面節點坐標設計

圖5 背網面結構示意圖

背網面節點分布如圖5所示，調整索連接懸鏈線索與下立柱端點，調整索與x軸的夾角分別為68°、46°、36.2°和32°，豎向張緊索連接邊界索與懸鏈線索，使前網面位于理想拋物面上，方向沿拋物線在該點處的法線方向。

綜上所述，可以得到單片索網的節點坐標與拓撲，天線反射面為正饋拋物面，由對稱特性將單片索網旋轉陣列即可得到索網整體坐標與拓撲。

2 索網結構預應力分析

索網天線的形面精度由前網面節點位置決定，而索網結構只有在施加預應力后才具有剛度，天線在這組預應力的作用下保持平衡且前索網節點均位于理想拋物面上，因此索網結構的預應力設計是否合理直接影響著天線的形面精度。索網預應力求解問題中，常用的方法有力密度法、有限元法和動力松弛法等，文中采用力密度法求解環柱天線索網預應力。

2.1 力密度法基本原理

力密度法是一種常用的索網結構找形方法，最初由Schek等提出[15]，力密度定義為索段的張力和索段長度的比值。通過力密度的概念對索網結構力平衡方程進行變形，解決了原來求解非線性方程組較復雜的問題，極大地降低了求解的難度，更加有利于運算[16]。在力密度法中，網面的平衡位置與力密度值是相對應的，只要已知一組力密度，對應的網面節點坐標就能夠直接求出。

對索網結構列節點力平衡方程，以x方向為例，節點i的平衡方程如下所示：

(1)

其中ci為與節點i相連的所有點，節點i、j構成的索段稱為索段ij，Tij、Lij分別為索段ij的張力和長度，Pix為節點i在x方向上所受的合力。力密度qij=Tij/Lij，則式(1)變換成

(2)

對環柱天線所有節點列平衡方程，如下所示：

CTQCx=Px,

(3)

其中C為索網結構的拓撲矩陣，維數為m×n，m、n分別為索段和節點的數目；Q為索段力密度矩陣，維數為m×m，它是一個對角陣，對角線上每一個數值分別對應相應索段的力密度。索網節點可分為自由節點和邊界固定節點兩類，數量分別為nf和ng，因此可以將拓撲矩陣C拆分為Cf和Cg，分別對應自由節點和邊界固定節點；同理，節點的x坐標也可以分為xf和xg，分別對應自由節點和邊界固定節點的x坐標。索網平衡時，自由節點所受的合力為零，邊界固定節點所受的合力為支撐框架給索網的支反力，設其大小為Pxg，則式(3)可變換為

(4)

(5)

在索網力密度已知的情況下，求解式(5)可以解出所有自由節點的x坐標。運用同樣的方法，可以計算出它們y、z方向的坐標。通過此方法，給定一組力密度，無需迭代，可以快速求解與之對應的自由節點坐標。文中索網結構的幾何拓撲已知，需要尋找與之對應的預應力，所以需要對力密度法進行改進。首先假定一組初始預應力，通過力密度法求解出與之對應的平衡狀態下的自由節點坐標，通過節點坐標計算得到當前索段長度。為了得到新的力密度，可以通過下式進行迭代[17]：

qi+1=qili/l0，

(6)

式中,li為通過平衡后坐標計算得到的當前索段長度，l0為給定的初始索段長度。

2.2 預應力求解

進行索網預應力求解時，將周邊圓環結構和中心立柱作為剛性結構，不產生變形，相關節點固定。整個索網結構共有346×48=16 608根索，每一根索對應一個力密度值，如果對索網整體進行力密度迭代，則變量太多，求解較為復雜，甚至有可能找不到解。為此，將索網拆分為前、后索網兩部分分步求解。前索網包含前網面、張緊索和懸鏈線索，其余索為后索網。首先由力密度法計算前索網的預應力，然后根據求得的預應力由節點力平衡計算剩余索預應力。考慮到旋轉拋物面索網結構的對稱性，此處僅需對其2/48分塊的索網進行預應力求解，圖6為索網結構2/48分塊的示意圖。

圖6 前索網結構示意圖

2.2.1 前索網預應力求解

圖7 修正節點示意圖

前索網的結構如圖6所示，對索網結構進行預應力優化設計時，將前索網的邊界節點作為固定節點處理，固定節點的位置如圖6中圓點標記所示。上下兩個分塊關于豎直平面P3對稱，上分塊與下分塊自身分別關于豎直平面P1和P2對稱。為了進一步減少變量，同時保證由分塊旋轉得到整體時索力能夠平衡，選取P1和P2之間的索力密度為設計變量，其余索力密度由對稱特性直接賦值。

圖7所示為前網面中需要修正的節點位置，受到結構的限制，這些節點背后并沒有連接張緊索，故結構平衡時會偏離拋物面。由于這些節點所在的三角形面片尺寸明顯小于其他面片，所以節點的偏離帶來的誤差可以歸于面片擬合誤差。在預應力設計階段，為了使索網結構更容易達到穩定平衡狀態，在迭代過程中，根據有限元軟件計算結果更新索網中需要修正節點的坐標。

為了索網結構的預應力分布更加合理，懸鏈線索的節點坐標也需要進行調整，采用的方法與前網面中節點修正方法一致。

綜上前索網預應力求解流程如圖8所示，求解程序編制的步驟如下：

(1)給定所有索段初始力密度q0，單步迭代次數n；

(2)求解式(5)得到第i次節點平衡坐標(初次計算時i=0)；

(3)根據平衡后節點坐標更新索段力密度qi+1=ti/l0，并給對稱索力密度賦值；

(4)解式(5)得到第i+1次節點平衡坐標；

(5)判斷迭代次數是否達到單步迭代次數n。若達到，則轉入(6)，若未達到，則i=i+1，重復(2)～(4)；

(6)將所求得的索力代入ANSYS軟件中進行靜力分析；

(7)判斷當前索網節點是否滿足精度要求。若滿足，則輸出此時索段力密度，退出計算；若不滿足，則根據ANSYS軟件計算結果修正無張緊索和懸鏈線索節點坐標，重復(2)～(6)。

2.2.2 后索網的預應力求解

圖8 前索網預應力求解流程圖

如圖5所示，前索網的預應力已經計算得到，針對剩余索段列節點力平衡方程，只需給定其中一根索的預應力，即可計算出其余索的預應力。文中指定下輪轂索力密度值，求解平衡方程得到剩余索段力密度。

2.3 仿真驗證

利用上述方法計算得到所有索段預應力。為了驗證文中方法的有效性，將分析所得的預應力作為初始應變導入索網結構有限元模型中，周邊圓環和中心立柱作為剛性結構處理，不考慮重力的影響，進行非線性有限元分析，分析結果如表1所示。

表1 仿真分析結果

圖9和圖10分別為位移云圖和索力分布云圖。可以看到最大的節點位移為1.93×10-7m。該節點位移已經很小，可以認為有限元仿真中出現的節點位移來自于預應力計算過程中的截斷誤差。也就是說，通過該方法得到的預應力是正確的，且具有較高的精度。

圖9 位移云圖

圖10 索力分布云圖

3 結束語

環柱天線具有構建大口徑和超大口徑天線的潛力。文中根據環柱天線結構特點確定了環柱天線索網結構的成形方法，將索網拆分為前后索網兩部分分別進行預應力求解。對于前索網，根據對稱特性進行變量歸并，采用力密度法求解預應力，并修正節點坐標；由節點力平衡求解后索網預應力。最后通過仿真分析，驗證了文中所提方法的可行性與有效性，為今后復雜索網的找形提供了一種思路。