線性代數(shù)在線開放課程教材知識(shí)體系研究

曹潔 曹殿立 馬巧云 蘇克勤 張建軍

摘要：基于線性代數(shù)在線開放課程的課程體系和教學(xué)內(nèi)容的研究，提出了線性代數(shù)在線開放課程內(nèi)容體系的構(gòu)建原則，確定了線性代數(shù)在線開放課程內(nèi)容的體系結(jié)構(gòu)，進(jìn)而構(gòu)建了線性代數(shù)在線開放課程教材的知識(shí)體系。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；在線開放課程；教材；知識(shí)體系

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2019）33-0174-02

2017年，河南農(nóng)業(yè)大學(xué)線性代數(shù)在線開放課程組申報(bào)的河南省高等教育教學(xué)改革與實(shí)踐項(xiàng)目“線性代數(shù)在線開放課程教材的研究與建設(shè)”成功立項(xiàng)。課程組通過研究在線開放課程的特點(diǎn)、教學(xué)規(guī)律，通過調(diào)研國(guó)內(nèi)線性代數(shù)在線開放課程的課程體系和教學(xué)內(nèi)容并結(jié)合教育部關(guān)于線性代數(shù)課程教學(xué)的基本要求，在充分借鑒現(xiàn)有線性代數(shù)在線開放課程教材以及傳統(tǒng)線性代數(shù)教材建設(shè)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了適應(yīng)于在線開放課程的線性代數(shù)課程體系和教學(xué)內(nèi)容，確定了線性代數(shù)在線開放課程教材的知識(shí)體系，為線性代數(shù)在線開放課程教材的編寫奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

一、國(guó)內(nèi)線性代數(shù)在線開放課程知識(shí)體系概述

目前，教育部愛課程網(wǎng)（http：//www.icourses.cn）開設(shè)的線性代數(shù)在線開放課程有30多門，主講團(tuán)隊(duì)主要有：同濟(jì)大學(xué)靳全勤教學(xué)團(tuán)隊(duì)、東南大學(xué)陳建龍教學(xué)團(tuán)隊(duì)、廈門大學(xué)陳桂芝教學(xué)團(tuán)隊(duì)、山東大學(xué)劉建亞教學(xué)團(tuán)隊(duì)、北京理工大學(xué)孫良教學(xué)團(tuán)隊(duì)、西安電子科技大學(xué)劉三陽(yáng)教學(xué)團(tuán)隊(duì)等。綜合各課程的情況，課程內(nèi)容的體系結(jié)構(gòu)主要有以下幾種類型：類型1，以矩陣定義開篇，引入行列式和矩陣的初等變換；以矩陣的秩討論線性方程組解的判定，以向量組的線性相關(guān)性研究線性方程組解的結(jié)構(gòu)、相似矩陣和二次型[1]；類型2，以求解線性方程組為出發(fā)點(diǎn)，引入行列式、矩陣及向量的線性相關(guān)性，進(jìn)而研究線性方程組解的判定、解的結(jié)構(gòu)、相似矩陣和二次型；類型3，以線性空間和線性映射為主線，以行列式、矩陣為工具，研究線性方程組的求解和二次型的應(yīng)用。類型4，從行列式和矩陣的定義出發(fā)，討論行列式和矩陣運(yùn)算；通過給出矩陣的初等變換，以矩陣的秩討論線性方程組解的判定；通過給出向量組的線性相關(guān)性，以解的相關(guān)性研究線性方程組解的結(jié)構(gòu)，進(jìn)而研究相似矩陣和二次型[1]。

類型1，以矩陣為基礎(chǔ)引入行列式，內(nèi)容體系自然、直觀；類型2，以求解線性方程組為出發(fā)點(diǎn)，由問題引入方法，內(nèi)容體系突出應(yīng)用，引人入勝；類型3，以線性空間和線性映射為主線，內(nèi)容體系突出代數(shù)思想，有益于學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)；類型4，則首先給出行列式和矩陣的定義，內(nèi)容體系基礎(chǔ)扎實(shí)、邏輯嚴(yán)密、脈絡(luò)清晰、難點(diǎn)分散、易于理解[2]。

這四種課程內(nèi)容體系各有優(yōu)點(diǎn)，50%以上的教學(xué)團(tuán)隊(duì)采用的是第四類體系。

二、線性代數(shù)在線開放課程知識(shí)體系構(gòu)建的原則

課程的知識(shí)體系是課程教學(xué)實(shí)施的規(guī)劃方案，是實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)目標(biāo)的載體，是保障和提高教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵。我們認(rèn)為，一個(gè)好的知識(shí)體系應(yīng)該滿足兩個(gè)要求：一是教學(xué)內(nèi)容必須契合教學(xué)大綱，符合課程的培養(yǎng)目標(biāo)；二是知識(shí)結(jié)構(gòu)必須符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，易懂、易教、易學(xué)[3]。

三、線性代數(shù)在線開放課程知識(shí)體系的構(gòu)建

基于線性代數(shù)在線開放課程知識(shí)體系構(gòu)建的原則，綜合目前國(guó)內(nèi)線性代數(shù)在線開放課程知識(shí)體系結(jié)構(gòu)的研究和長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐，我們傾向于采用第四種知識(shí)體系，并增加MATLAB軟件的應(yīng)用。第四種知識(shí)體系是線性代數(shù)課程的經(jīng)典體系。該體系起點(diǎn)低、坡度緩、難點(diǎn)分散、脈絡(luò)清晰，符合思維習(xí)慣。

《線性代數(shù)（第二版）》（曹殿立，科學(xué)出版社）[4]的內(nèi)容體系很好地體現(xiàn)了第四種知識(shí)體系。教材的第1章通過二元和三元線性方程組的求解，引出了二階和三階行列式，利用排列的逆序定義了n階行列式；第2章介紹了矩陣的加減法、乘法、轉(zhuǎn)置以及矩陣的逆運(yùn)算；第3章在回顧線性方程組消元解法的基礎(chǔ)上，給出了矩陣的初等變換，定義了初等矩陣和矩陣的秩；第4章一方面運(yùn)用矩陣初等變換和矩陣秩的性質(zhì)，討論了線性方程組的解的判定和求解問題，另一方面通過定義向量組的線性相關(guān)性，研究了線性方程組解向量的結(jié)構(gòu)；第5章進(jìn)一步利用行列式、矩陣和向量組的線性相關(guān)性，討論方陣的對(duì)角化問題；第6章以第5章為基礎(chǔ)，將二次型作為一個(gè)簡(jiǎn)單的應(yīng)用模型，研究了二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問題。我們將以該教材的內(nèi)容體系為基礎(chǔ)，結(jié)合在線開放課程的特點(diǎn)，確定線性代數(shù)在線開放課程教材的體系結(jié)構(gòu)。

四、線性代數(shù)在線開放課程教材的知識(shí)體系結(jié)構(gòu)

沿用《線性代數(shù)（第二版）》（曹殿立，科學(xué)出版社）的章節(jié)，相應(yīng)于在線開放課程微視頻的要求，將原有的各節(jié)細(xì)分為微課。微課的具體劃分如下。

第一章 行列式

（1）二、三階行列式；（2）排列的逆序與奇偶性；（3）n階行列式的定義；（4）行列式的性質(zhì)；（5）行列式按行（列）展開；（6）克拉默（Gramer）法則。

第二章 矩陣及其運(yùn)算

（1）矩陣的基本概念；（2）矩陣的線性運(yùn)算及轉(zhuǎn)置；（3）矩陣的乘法；（4）方陣的行列式；（5）逆矩陣的定義與性質(zhì)；（6）逆矩陣的運(yùn)算法則；（7）分塊矩陣的定義和運(yùn)算；（8）分塊對(duì)角陣與分塊三角陣。

第三章 矩陣的初等變換

（1）初等變換與初等矩陣；（2）用初等變換法求逆矩陣；（3）矩陣的秩的定義；（4）用初等變換法求矩陣的秩；（5）等價(jià)矩陣。

第四章 線性方程組

（1）線性方程組解的判定定理；（2）高斯消元法解方程組；（3）向量組的線性相關(guān)性的定義；（4）向量組的線性相關(guān)性的性質(zhì)；（5）極大線性無關(guān)組；（6）向量組的秩；（7）向量空間的基和維數(shù)；（8）向量空間的坐標(biāo)；（9）齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)；（10）非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)。

第五章 矩陣的相似變換

（1）特征值與特征向量的定義；（2）特征值與特征向量的性質(zhì)；（3）相似矩陣；（4）矩陣相似對(duì)角化的討論。

第六章 二次型

（1）向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度與夾角；（2）向量組的標(biāo)準(zhǔn)正交化；（3）正交矩陣；（4）二次型的定義；（5）二次型的慣性定律；（6）正交變換；（7）用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形；（8）二次型的正定性。

微課除教學(xué)內(nèi)容外，還將設(shè)置知識(shí)背景、課堂思考與練習(xí)、課后習(xí)題。每章最后是單元模擬測(cè)試，書末還有期末模擬試卷以及學(xué)習(xí)本課程必需的預(yù)備知識(shí)等。

為提高學(xué)習(xí)效果，還將編寫與教材配套的同步教學(xué)參考書。參考書將依照與《線性代數(shù)（第二版）》（曹殿立，科學(xué)出版社）配套的《線性代數(shù)同步學(xué)習(xí)輔導(dǎo)（第二版）》（曹殿立，科學(xué)出版社）[5]的章節(jié)，每章的總體結(jié)構(gòu)設(shè)置為：知識(shí)體系+內(nèi)容提要+概念解析+典型例題+課堂練習(xí)解答+習(xí)題解答。

按照研究計(jì)劃，2019年8月，教材與教學(xué)參考書將公開出版并配合在線開放課程使用。我們相信，通過課題組的不懈努力，一定能夠編寫出適應(yīng)線性代數(shù)在線開放課程需要的合格教材，進(jìn)一步提高線性代數(shù)在線開放課程的教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)：

[1]曹殿立.線性代數(shù)教材建設(shè)的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐[J].教育教學(xué)論壇.2017，（16）.

[2]陸小軍，唐青松.基于MOOCs的線性代數(shù)教學(xué)改革與實(shí)踐[J].中國(guó)校外教育（下旬刊）.2015，（z2）

[3]韓云龍.慕課模式下“線性代數(shù)”課程教學(xué)改革初探[J].課程教育研究.2017，（5）.

[4]曹殿立.線性代數(shù)（第2版）[M].科學(xué)出版社，2017.

[5]曹殿立.線性代數(shù)同步學(xué)習(xí)輔導(dǎo)（第2版）[M].科學(xué)出版社，2017.