計算、歸類、抽象
——質數和合數的教學

沈偉芳

（景德鎮市浮梁縣福港學校，江西 景德鎮 333000）

質數和合數師由數的整除所產生的。它的實質是某一個自然數能背哪些數整除的問題。所以必須通過整除的計算。觀察一組數的約數的個數，加以分類，然后抽象出質數和合數的概念，學生才能領會它們的實質，并獲得判別質數、合數的依據和方法，不會盲目猜測。

我在教學時縣復習倍數和約數的概念，讓學生寫出10和12的全部約數，使學生注意到不同的數，它們的約數是有多有少的，點明今天我們專門來研究自然數約數多少的問題，然后要求寫出下列數的約數，并進行分類，指出哪是質數，哪是合數。

1 2 7 13 8 9 18

然后進行觀察，約數最少的有幾個？其次是幾個約數？這數是不是在所有自然數中算是約數最多的？使學生領會到最大的自然數是找不到的，因此一個自然數約數最多的有無數個。這樣不便分類，假如以兩個約數作為分類的分界線，可以分成幾類？學生會說：“可以分成約數是2個、少于2個和多于2個的三類。”我就要求學生在分類中分別寫上：1個、2個、2個以上。然后再觀察；有兩個約數的，這些約數有什么共同點？（約數都是一和這個數本身）再想：為什么有些數的約數會多于2個？（因為除了1和它本身外，還有其它約數）在此基礎上抽象出“質數”和“合數”的概念，然后又問：“那么只有一個約數的數屬于什么呢？”學生異口同聲回答：“它不是質數，也不是合數。”這樣的數在自然數中共有幾個呢？學生想了片刻，說：“只有1。因為大于1的數至少有1和它本身兩個約數。”“那么我們怎樣判斷一個數是質數還是合數呢？”（看除了1和它本身外還有沒有其它約數）。隨即把下面六個數：2 17 21 29 35 44讓學生判斷，學生的判斷準確無誤。上述六個數剛好3個是質數，3個是合數，為了讓學生不致產生質數和合數一樣多的錯覺，與奇、偶數個數相等混同，我要求學生想一想自己的座號是質數還是合數（全班共45人），然后請質數座號的站起來，叫大家看看有幾個（14個），讓坐下后叫合數座號的站起來（共31人）。讓坐下后叫不是質數也不是合數的站起來，大家清楚地看到只有一個。我問：“這說明什么？”“合數多于質數，不是質數也不是合數的是唯一的。”這給學生留下了十分深刻的印象。

接著我告訴學生當一個數大了，要判斷它是不是質數很麻煩，我們可以把在一定范圍內的數中所有的質數列成表，查看質數表就方便多了，然后讓學生把100以內的質數表讀一遍，數一數個數，看一看特點，讓學生明白：除了2以外，其余的質數都是奇數。

然后告訴學生，可以用篩選法制作質數表，隨即讓學生做：在2到50的數中，留下質數2、3、5、7，劃去2、3、5、7的倍數，把留下的數與前面的質數表核對，證明全是質數由此讓學生思考：為什么只需劃去10以內質數的倍數，而不需劃去11、13、17的倍數，就能劃去所有的質數呢？經過討論后學生就明白了，10以外質數的2倍，也是2的倍數，故它們的3、4、5、6……倍，都包含在2、3、5、7的倍數中了，所以只需劃去10以內的質數的倍數，就可以把所有的合數劃去了。

最后讓學生做一組補充習題：寫出哪幾個質數相乘的合數15、21和30？把算式寫出來，為下一堂課教學“分解質因數”作好鋪墊。并且還要求學生課外思考：有沒有質數相乘的積也是質數的情況？為什么？以了解質數和合數之間的關系，從而使學生達到對概念的理解和準確判斷的思維能力以及計算能力的效果。