從幾何角度思考數學問題

曾一凡

引言：對有些數學問題，從幾何的角度去分析研究，或許能有新的發現，從而得到更加形象的理解。下面，筆者將從幾道橢圓問題出發，談一談數形結合對數學問題理解的幫助，看一看數形結合的思想又是如何應用在極限等更廣泛數學領域上的。從而進一步剖析思維如何從中得到鍛煉，數學素養又是如何提高的。

從以上解法不難看出，一切解題過程都順理成章，思維難度不大，屬于高中生必須掌握的解析幾何技巧。然而，這種做法并不形象，學生只是利用固定方法，套用公式，機械的計算罷了，并不能理解這個定理的內涵。

再看下述證明，如果從幾何角度來看這道題，思路似乎清晰了不少。

若仔細思考該定理的內容，我們可以把該結論改寫為：從橢圓的一個焦點出發射出一束光，打到橢圓的壁上后一定反射到另一個焦點上。

如果這樣提問，問題似乎很生動更形象了，隨之而來的，是一個非常有趣的解法，其中用到了橢圓的第一定義：

平面內與兩定點的距離的和等于常數的動點的軌跡叫做橢圓。

首先有引理

我們可以驚異的看出，第二種方法似乎簡單了不少，這種證明只涉及到了橢圓的第一定義，證明過程甚至沒有代數數字出現，而且，該證明過程極大的鍛煉了邏輯能力，也讓學生體會到了數學之趣。

雖說兩種方法都解決了這個問題，但它們體現的思維性卻是不一樣的。但是只用一個例子不能很好說明數形結合在數學問題中的作用。所以，用來論證數形結合的重要性還略顯不足，所以需要繼續將思維深入，看看在其他問題上會有什么結果。

歸納總結：從這道例題我們可以看出來由事物的幾何性狀入手，采用數形結合的思考方式，會讓我們對二次曲線的問題有著更加深刻的理解。如果熟練運用這種技巧，高考中最難的解析幾何問題就迎刃而解了。

結束語：許多題目實質上蘊涵著豐富的科學思想和內涵，而用數形結合的辦法解決問題往往可以幫助我們接觸到問題的實質。很多代數化的解法只是它的表現形式而已。通過幾道簡單的小題，可以理解到很多深層次的東西，從二次曲線到極限，從代換到放縮，切入的角度不同，但我們的解題方法相同——也就是數形結合。在數學問題上，其實有很大一部分題目是需要數形結合的，畢竟很多時候我們遇到的問題，會有機會讓我們思考其中的幾何意義。因此，只有具備了數形結合的思維和足夠的數學敏感度，才能夠將難問題迎刃而解。