封隔器膠筒的非正態(tài)分布變量對其可靠性靈敏度的影響*

(天津科技大學機械工程學院，天津市輕工與食品工程機械裝備集成設計與在線監(jiān)控重點實驗室 天津 300222)

封隔器是廣泛應用于油、氣礦藏開采的井下工具[1]，其性能及可靠性對油氣井的開發(fā)成本和成功率有較大影響。封隔器的核心密封件是膠筒，因此提高封隔器膠筒結(jié)構(gòu)的可靠性，降低由封隔器膠筒密封失效帶來的社會、環(huán)境和經(jīng)濟效益的影響，一直是研究人員的研究重點[2-4]。

封隔器的可靠性受膠筒密封性能的影響，封隔器的可靠性靈敏度設計可以在可靠性的基礎上評價膠筒設計參數(shù)的改變對結(jié)構(gòu)可靠性的影響。因此，為了提高封隔器可靠性，必須使封隔器零部件在靈敏度設計上滿足可靠性要求。

封隔器在實際作業(yè)時，影響膠筒密封性的因素較多且包含非正態(tài)因素[5-6]，因此，在膠筒的設計制造中要控制好相關(guān)因素，以保證封隔器膠筒有足夠的安全可靠性。目前，結(jié)構(gòu)可靠性靈敏度計算方法研究應用十分廣泛[7-8]，但國內(nèi)外針對封隔器膠筒的可靠性靈敏度研究相對較少。本文作者建立了封隔器膠筒力學模型，討論了以剪切應力為目標函數(shù)的封隔器膠筒的可靠性靈敏度優(yōu)化設計問題，結(jié)合泰勒展開、攝動法和可靠性理論，提出了Edgeworth級數(shù)和四階矩靈敏度設計方法。通過實例膠筒的可靠性靈敏度設計計算，驗證方法的有效性和準確性。

1 膠筒的變形分析及其力學模型

1.1 膠筒的變形分析

圖1所示為某型號封隔器膠筒的結(jié)構(gòu)示意圖。膠筒作為完井壓裂工藝中封隔器的關(guān)鍵零部件，在井下作業(yè)過程中，受軸向載荷作用發(fā)生徑向膨脹而密封套管和中心管的環(huán)形空間，因卡瓦和椎體相對移動使卡瓦外齒與套管內(nèi)壁緊密嚙合限制移動，達到使膠筒處于壓縮狀態(tài)的目的[9]。

圖1 某封隔器結(jié)構(gòu)示意圖

圖2示出了封隔器膠筒受力變形過程。

圖2 膠筒受力變形過程

一般將膠筒在油氣井下的狀態(tài)變化過程劃分為3個主要變形階段：自由變形階段，約束變形階段，穩(wěn)定變形階段[10-11]。文中主要研究膠筒在正常工作狀態(tài)下(即膠筒受到中心管和套管雙向約束的穩(wěn)定變形階段)受各種因素影響的可靠性情況。

1.2 膠筒接觸應力和剪切應力模型

在工作壓差作用下，膠筒的端面最大剪切應力計算模型和膠筒接觸壓力分布模型分別如式(1)和式(2)[11]所示。

(1)

(2)

其中H1=0.830 97H,

(3)

式中：R0為膠筒內(nèi)徑；R0σ為套管內(nèi)徑；H為膠筒高度；R1為膠筒的外徑；t為膠筒厚度；G、K分別為橡膠材料剪切模量和體積模量；Fn為密封載荷；p0為初封載荷；工作壓差為Δp。

封隔器實際工作時，在油氣井復雜工況的大壓差作用下，由于膠筒存在材料流動、不穩(wěn)定變形、應力變化和剪切破壞等情況，即使在滿足密封條件下膠筒仍會出現(xiàn)密封的不可靠(失效)。造成失效的影響參數(shù)很多，而通過可靠性靈敏度分析，可達到減少隨機變量數(shù)量的目的。例如，在膠筒可靠性設計和修改、優(yōu)化時，如果某些因素的變化對膠筒機械可靠性的影響不顯著，則采用定量值處理方法從而減少變量的數(shù)量；反之，若某些因素對其可靠性有較大的影響，則在設計過程中就要加以控制，使其變化較小以保證密封膠筒具有足夠的安全可靠性。因此，結(jié)合所建立的膠筒力學模型，文中以封隔器膠筒的抗剪切失效為目標進行可靠性靈敏度分析。

根據(jù)應力-強度分布干涉模型，建立以密封膠筒的剪切應力極限狀態(tài)函數(shù)為目標函數(shù)進行可靠度計算，目標函數(shù)g(X)為

g(X)=τ-τmax

(4)

式中：τ為材料的抗剪強度；X為膠筒的基本隨機變量，X=[τKGHR0σR0tFnΔp]T。

2 非正態(tài)分布變量的膠筒可靠性靈敏度設計

膠筒的結(jié)構(gòu)設計尺寸與公差相關(guān)，加工制造后其結(jié)構(gòu)尺寸服從正態(tài)分布；所受的力和載荷等參數(shù)由于受到外界因素的影響較大，其分布規(guī)律近似服從非正態(tài)分布。因此文中在可靠性理論基礎上計算了相關(guān)非正態(tài)分布變量的前四階矩，然后對比Edgeworth級數(shù)和四階矩2種可靠性靈敏度計算方法，把非正態(tài)狀態(tài)函數(shù)的概率分布展開成標準正態(tài)分布的表達式，進而確定膠筒結(jié)構(gòu)的可靠度和可靠性靈敏度。

2.1 膠筒密封的可靠性模型

基于式(5)所示的已知分布可靠性理論和二階矩法計算出的可靠性指標βSM，機械結(jié)構(gòu)的可靠度RSM可表達為如式(6)所示。

(5)

RSM=Φ(βSM)

(6)

式中:Φ(?)為標準正態(tài)分布; E[g(X)]、 Var[g(X)]分別為狀態(tài)函數(shù)的均值和方差。

基本隨機影響可靠性指標βFM按式(7)計算。

(7)

當影響變量X服從非正態(tài)分布時，密封膠筒的可靠度RFM按式(8)計算。

RFM=Φ(βFM)

(8)

2.2 密封膠筒可靠性靈敏度分析

3 膠筒可靠性靈敏度設計的應用實例

以某型號的封隔器膠筒為例，假定其材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)服從正態(tài)分布，其具體參數(shù)及分布特性分別為：H=(100, 0.1) mm；τ=(6.0, 0.39) MPa；R0=(42, 0.2) mm；G=(5.80, 0.1) MPa；K=(2.89×103, 500) MPa；t=(13.5, 0.1) mm；R0σ=(59.3, 0.15) mm。膠筒工作壓差Δp和載荷Fn由實際工況決定，其分布特性呈非正態(tài)。因此，采用Edgeworth級數(shù)和四階矩法對比計算隨機變量Δp和Fn的前四階矩，具體結(jié)果為：Δp=(50 MPa, 6.8 MPa, 1.6×102MPa3, 5.9×105MPa4)；Fn=(4.9×104N, 4.25×102N, 6.25×107N3, 4.3×1010N4)。將相關(guān)參數(shù)代入膠筒力學模型公式(4)，得到密封膠筒結(jié)構(gòu)的可靠性指標、可靠度如表2所示，靈敏度如表3所示。

從Edgeworth級數(shù)和四階矩2種方法計算結(jié)果可以看出：二者隨機變量的均值靈敏度正負號相同且數(shù)值相差不大，表明各隨機變量對可靠性的影響趨勢是一致的，對可靠性影響程度是相同的；且膠筒的套管半徑R0σ、體積模量K、許用剪切應力τ的增加，會提高膠筒密封的可靠性；而其余變量增加，則會降低膠筒密封可靠性。各變量變化對膠筒密封可靠性影響由大到小的順序依次為:τ、G、R0、R0σ、Δp、H、t、K、Fn，即服從正態(tài)分布的幾何尺寸比非正態(tài)分布的工作壓差、密封載荷對封隔器膠筒可靠性的影響更顯著，而在非正態(tài)隨機變量中，工作壓差對膠筒密封可靠性的影響大于密封載荷的影響。

表1 Edgeworth級數(shù)和四階矩法靈敏度分析表達式

表2 膠筒的可靠度和可靠性指標計算結(jié)果

表3 膠筒的可靠性均值靈敏度計算結(jié)果

圖3—8分別示出了不同的設計參數(shù)對膠筒結(jié)構(gòu)密封可靠性的影響程度和趨勢。可以看出，τ、R0σ和G的增加會提高膠筒的密封可靠性，而R0、t、Δp、Fn等設計參數(shù)的增加會使膠筒密封可靠性降低，該結(jié)果與表2數(shù)值計算結(jié)果和正態(tài)分布參數(shù)分析結(jié)果一致。

圖3 許用剪應力τ對膠筒可靠度的影響

圖4 密封壓差Δp對膠筒可靠度的影響

圖5 膠筒長度H對膠筒可靠度的影響

圖6 體積模量K對膠筒可靠度的影響

圖7 膠筒厚度t對膠筒可靠度的影響

圖8 膠筒長度R0σ對膠筒可靠度的影響

從表4和表5所示的2種方法方差靈敏度的計算結(jié)果均能看出，基本隨機變量方差(表中對角線值為負)的增加，都會使膠筒趨向不可靠(失效)，但膠筒不同隨機變量方差靈敏度的變化對其密封可靠性的影響不盡相同。當膠筒的可靠度對隨機變量Xi和Xj的均值靈敏度異號時，隨著協(xié)方差Cor(Xi,Xj)的增加，膠筒密封性能將趨向可靠；反之，同號時，隨著協(xié)方差Cor(Xi,Xj)增加，膠筒密封性能將趨向不可靠(失效)。

表4 膠筒的可靠性方差靈敏度計算結(jié)果(Edgeworth級數(shù))

表5 膠筒的可靠性方差靈敏度計算結(jié)果(四階矩)

4 結(jié)論

(1)根據(jù)密封膠筒均值靈敏度計算可知，隨機變量變化對膠筒密封可靠性影響由大到小的順序依次為:τ、G、R0、R0σ、Δp、H、t、K、Fn，其中，服從正態(tài)分布的幾何尺寸比非正態(tài)分布的工作壓差、密封載荷對封隔器膠筒可靠性的影響更顯著，但在非正態(tài)隨機變量中，工作壓差對膠筒密封可靠性的影響大于密封載荷的影響。

(2)隨機膠筒方差靈敏度的增加，都會使膠筒趨向不可靠(失效)，但膠筒不同的結(jié)構(gòu)變量方差靈敏度的變化對其可靠性的影響也不盡相同。

(3)在封隔器膠筒的設計、試驗和優(yōu)化過程中，要嚴格控制好敏感參數(shù)的變化。

(4)通過實例驗證了Edgeworth級數(shù)和四階矩2種可靠性靈敏度計算方法的高效性和合理性，為封隔器密封膠筒的可靠性優(yōu)化設計提供理論依據(jù)，對封隔器膠筒的工程實踐具有重要參考和指導意義。