基于梁模型的波箔動壓軸承箔片結構建模方法*

雷 群1 石卓奇 李 潔 杜建軍

(1.廣州市昊志機電股份有限公司 廣東廣州 511356；2.哈爾濱工業大學(深圳) 廣東深圳 518055)

氣體動壓軸承與傳統的滾動軸承和液體軸承相比，具有高轉速、高精度、耐寒、耐熱、低摩擦等特點[1-2]。波箔軸承是一種新型輕載高速軸承，最初的波箔軸承采用簡單的一層平箔與波箔，其承載能力較低[2]。后來波箔沿軸向被分割為多條，性能有一定的改善[3]。若沿軸向和周向都分割多段，且采用變節距，則性能大大提高[4]。

目前，針對波箔片動壓氣體軸承已經有許多系統的理論和實驗研究，其承載性能不斷提高[5-6]。但是，波紋箔片具有較復雜的結構，其與頂箔片、軸承套之間的庫侖摩擦狀態不易用數學模型來表達，而這些摩擦也對箔片結構的剛度和阻尼有著較大的影響。在以往的文獻中，通常是將箔片結構簡單抽象為線彈簧系統或其他模型結構[7-10]，這些模型能夠應用簡單數學方程進行表達，但卻難以描述箔片結構復雜的摩擦狀態。本文作者針對波紋箔片結構在受到復雜載荷時的變形提出了新的計算流程，即通過不斷驗證波紋受到摩擦力與位移之間的關系增減力-變形方程的約束條件和力條件，判斷波紋端點摩擦狀態，最終計算得出箔片結構的復雜變形。通過有限元法數學建模，應用MATLAB軟件編程進行數學求解，為類似結構的變形分析提供了更加全面的分析方法。

1 庫侖摩擦梁模型建模

如圖 1(a)、(b)所示為徑向箔片軸承中的波紋箔片的模型。波紋箔片一段固定在軸承套斜槽內，另一端自由滑動，為了建模和計算方便，將波箔片沿周向展開成如圖 1(c)所示的波箔帶，相應周向壓力分布區域也展開為二維矩形區域。

圖1 徑向軸承波紋箔片

圖2所示為波紋箔片的幾何結構及參數。頂箔片與平箔片直接接觸置于其上，在豎直方向氣膜壓力p的作用下產生變形，如圖3所示。波紋箔片受到載荷的作用由固定端向自由端滑移。

圖2 波箔片幾何結構

圖3 波箔片受力變形圖

為了便于把箔片結構簡化為數學模型，并基于有限元法進行數學建模，變形結構采用歐拉梁模型，即把每一個弧形部分簡化為兩根梁固接，并假設相鄰波紋單元之間的水平部分為剛性，即看成一個剛性點受力分析[11]，如圖4所示。

圖4 箔片結構梁模型示意圖

圖5 增加單元數目的梁模型

2 數學計算流程

如圖 6所示為梁單元在整體坐標系和局部坐標系下的模型，考慮每根梁上兩端節點x、y方向的位移和z方向的轉角。所對應方向所受力和力矩為FQ、FN、M。

圖6 平面梁單元

采用Galerkin法推導局部坐標系下梁單元的剛度矩陣[12]為

(1)

式中：At為梁的橫截面面積；It為梁截面的主慣性矩；Et為彈性模量；lt為梁單元長度。

對局部坐標系下梁單元剛度矩陣[kt]進行坐標轉換，轉換為全局坐標系下的單元剛度矩陣[kt]′，然后在梁單元重合點處組裝得到整體剛度矩陣[Kt]。通過受力分析得到梁模型結構力向量{F}，節點位移向量通過下式得到：

[Kt]{U}={F}

(2)

3 摩擦力判斷流程

3.1 波紋單元受力分析

圖7所示為波紋單元在受壓力時的2種變形情況。摩擦力被施加在波拱頂點和波拱端點處，分別為波箔與頂箔的摩擦、波箔與軸承套之間的摩擦，每種摩擦力都有2種情況：靜摩擦力和滑動摩擦力。由于假設波紋之間水平段為剛性，視之為一個點，并且將每個波紋與右端點視為一個單元體分析其摩擦狀態。

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圖7 波紋單元受摩擦力示意圖

當波紋右端點受到靜摩擦力時，如圖7(a)所示，位移為0，此處為固定約束，通過方程(2)可求靜摩擦力大小；當波紋端點滑動時，如圖 7(b)所示，波紋滑移，滑動摩擦力大小確定，方向與位移相反，并將其視為確定外力添加到{F}中。

3.2 摩擦力判定條件

為了判定最終梁模型在壓力載荷作用下的摩擦狀態，作出如下假設和判定[13]：

(1)標記波紋摩擦狀態，靜摩擦為1，動摩擦為0；

(2)令所有波紋初始狀態為靜摩擦，施加壓力，求解各點受力和位移；

(3)當狀態為1時，求解靜摩擦力fRi，若|fRi|≤μNRi，摩擦力符合條件，波紋狀態確定；若|fRi|>μNRi，摩擦力不符合條件，摩擦狀態轉換為0，波紋狀態不確定；

(3)

(a)若該動摩擦力方向不是前一步計算由此步改變過來，摩擦力狀態不變，直接改變動摩擦力的方向： sign(ffi)=-sign(ffi)

(6)當所有波紋摩擦狀態驗證確定，跳出判定循環，計算最終的{U}和{F}。

4 波紋變形計算結果

采用梁單元模型計算了受到各種形式載荷下波箔單元變形情況。為了與傳統方法進行對比，文中同時采用HESHMAT等[7]與IORDANOFF[14]線彈簧模型進行了計算。波箔幾何參數如表 1所示。

表1 波箔幾何參數

圖8所示為在不同理論載荷下多單元梁模型箔片變形曲線，變形量為波紋梁單元右端點的橫向位移。從圖中可以看出：在豎直方向載荷的作用下，箔片結構整體有從固定端向移動端滑移的趨勢，并且隨著波紋編號增加，滑移量不斷累加，所有波箔單元滑移距離呈遞增趨勢；另外，梁單元數目對滑移量結果影響并不大，2、4、6、8單元的變形曲線基本重合。

為了探究梁模型的結構剛度，采用八單元梁模型進行計算。圖9所示為4種形式載荷下梁單元豎直方向的變形。可以看出：箔片波紋單元豎直方向的位移大小基本與載荷分布一致；在均布載荷作用下，靠近固定端的前9個波紋狀態為靜摩擦力，由于約束作用，數值變形較小，剛度較大，從第10個波紋開始滑移，波紋單元變形增大，剛度減小。

圖8 梁單元模型在載荷下的變形

圖9 不同載荷下波紋單元豎直變形

圖10示出了不同載荷形式下波箔剛度的計算結果。HESHMAT與IORDANOFF線彈簧模型的剛度與載荷大小、形式均無關，只與波箔單元幾何尺寸有關。綜合兩圖可得出：當波紋箔片結構尺寸一定時，滑移波紋個數以及剛度的大小與載荷形式關系密切；并且，文中梁單元模型考慮了箔片間摩擦力的作用，其剛度計算結果也遠遠大于不考慮摩擦因數的HESHMAT模型，這也符合摩擦力阻礙箔片變形從而增加箔片剛度的原理。這里要說明的是，對稱遞增-遞減載荷的分布狀態最符合軸承實際工作狀況。

圖10 不同載荷下梁單元剛度變化

5 基于波箔片梁模型的軸承靜特性分析

對于定常絕熱氣體，徑向軸承動壓求解域的量綱一化Reynolds方程為

(4)

氣膜厚度方程為

(5)

式中：wd為箔片結構在氣膜壓力下沿徑向的變形量，其數值由公式(2)得到。

為了與實驗結果相對比，軸承結構參數采用文獻[15]中的數據。對平箔片采用一維梁模型，運用Newton-Raphson迭代法和有限差分法對壓力分布區域進行求解。

如圖11(a)所示為氣彈耦合求解出的量綱一氣膜壓力分布圖，圖11(b)所示為平箔片變形情況。可以看出，動壓氣膜分布區域的壓力與外界相同，在徑向方向為軸承長度的1/2、圓周方向180°～200°處氣膜壓力達到最大值。與文獻[14]中數據進行對比，發現考慮庫侖摩擦效應的箔片梁模型變形量小于不考慮摩擦力的線彈簧模型。

圖11 壓力分布圖和箔片變形圖

通過計算圖中每個節點氣膜壓力沿豎直方向的分力，得出徑向波箔軸承在轉速為55 000 r/min，轉子偏心率為31.8/40條件下，軸承偏位角隨軸承承載力的變化曲線，如圖12所示。圖中還給出了實驗測試結果。可見，當偏位角一定時，應用文中提出的考慮箔片滑移與摩擦力的梁模型所計算出的承載力小于使用IORDANOFF線彈簧模型的計算結果，但是與實驗值的誤差更小。

圖12 軸承偏位角隨軸承承載力變化計算結果及實驗結果

6 結論

針對波紋箔片結構在受到復雜載荷時的變形提出了新的計算流程，即通過不斷驗證波紋受到摩擦力與位移之間的關系增減力-變形方程的約束條件和力條件，判斷波紋端點摩擦狀態，最終計算得出箔片結構的復雜變形。通過有限元法數學建模，應用MATLAB軟件編程進行數學求解，為類似結構的變形分析提供了更加全面的分析方法。結論如下：

(1)應用梁模型對波紋結構進行建模具有可靠性，當梁單元的數目逐漸增多，模型外形逐漸逼近與真實波紋外形。

(2)探究了庫侖摩擦效應與滑移對箔片剛度的影響，結果顯示，箔片剛度隨著載荷的變化而變化，總體來說，摩擦力會阻礙波箔片滑移變形從而提高了箔片結構的剛度；當箔片未產生滑移時，波紋受到變形約束，波紋剛性更高，而產生滑移時剛度減小。

(3)比較了波箔梁模型與彈簧模型對軸承承載特性的影響，把箔片結構變形與動壓氣膜進行氣彈耦合，分析徑向軸承靜特性，結果顯示應用梁模型計算出的承載特性曲線與實驗值誤差更小，可提高軸承的計算精度。