數形結合更入微
——例談“數形結合”思想在數學教學中的應用

江蘇無錫市玉祁中心小學 薛維惠 丁君華

“數”和“形”是數學中的兩個最古老也是最基本的研究對象，它們雖然存在于兩個系統中，但又是一一對應的。“數形結合”就是將抽象的數學語言和直觀的圖形相結合，將形象思維和抽象思維相結合，從而使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，由表及里去探尋知識本質，尋找優化策略的數學思想。小學階段的學生思維以形象直觀為主，教學中教師要重視把枯燥復雜的數學問題轉化成形象直觀的圖形，讓學生感受數形之間的美妙契合，找到解題的方法。數學的學習不是簡單的操作模仿，如何在數學教學中應用“數形結合”思想，幫助學生豐富內心體驗，實現自主建構，從而優化學生的學習呢？筆者結合教學中的一道練習，粗淺地說說自己的一些思考。

一、聚焦問題——困于遁形的正方形

“明明在一張長8 厘米，寬5 厘米的長方形紙里剪了一個最大的正方形，這個正方形的邊長是多少厘米？”這是三年級《長方形和正方形》單元的一道數學習題，旨在讓學生通過練習進一步了解長方形和正方形的特征及聯系。從低年級整體直觀感知到三年級深入建構長方形和正方形的特征，對學生來說，是一個質的變化，需要強大的空間觀念作為支撐。事實上，三年級學生的空間觀念有限，遇到這樣的實際問題往往束手無策，不知從哪里開始思考。所以，分析練習時往往教師講得口干舌燥，學生還是一頭霧水。等到下次遇到這種類型的習題，又有一大批學生舉“白旗”投降，隨便填寫答案。追問其原因，是因為上次答案填的是這個數，真是令人抓狂。細細分析原因，其實看似簡單的問題對學生來說還是抽象的，學生在解答這題時，思維往往停留在機械、呆板的模仿階段，知道在長方形中剪一個最大的正方形，正方形的邊長等于長方形的寬，但為什么邊長會等于寬？為什么不能更大些？這個長方形能不能剪出其他的正方形？這些問題沒有得到真正解決，說明學生對長方形和正方形之間的關系還沒有真正認識透徹。再深入分析一下，面對一個長方形，為什么學生不能自己找到那個最大的正方形？是因為正方形的無形，學生看不見摸不著，感覺不到它的存在，所以抽象、難懂，這對學生的空間觀念確實是一個挑戰，因此只靠教師講解，缺少學生自己的數學思考和理解，這樣的數學學習蒼白無力，因此讓學生產生了“山窮水盡疑無路”之感。

二、探尋策略——想象動態的正方形

如何帶領學生走出“困境”，讓簡約變得不簡單，讓數學學習經驗豐富起來呢？實踐證明，數形結合就是一種非常有用的思維方式，由數及形，因形尋法，借助具體的形把抽象的數學問題化隱為顯，變得可視、可指、可表述，從而使學生的抽象思維、邏輯思維和空間想象能力因為有一定的物化支撐而得到有效提升，提高了學生分析問題和解決問題的能力。“問題就在那里，你必須解決它。”（希爾伯特）學生完成練習的過程，便是探索的過程，教師要引導學生努力尋求策略——不妨畫個示意圖，在數與形的靈活變換中找到聯系，嘗試解決問題。

具體教學如下：

師：同學們，這是一個長8厘米，寬5厘米的長方形紙（圖1）。如果讓你用剪刀能不能剪出一個正方形，你能剪出邊長是多少厘米的正方形？

生：能剪出邊長5厘米的正方形。

師：只能剪出邊長5厘米的正方形嗎？你還能在這個長方形里看到其他的正方形嗎？現在老師把這個長方形沿著長、寬分成邊長是1 厘米的方格，長是8 格，寬是5 格（圖2），你在長方形中看到正方形了嗎？

圖1

圖2

生：我看到了邊長1厘米的正方形。

生：我看到了邊長2厘米的正方形。

生：我看到了邊長3 厘米、4 厘米、5 厘米的正方形。

（教師在圖中沿著方格線畫出來）

師：哦，原來在這個長方形中藏著好多正方形呢，有邊長1厘米的正方形、邊長2厘米的正方形、邊長3厘米、邊長4厘米、邊長5厘米的正方形。其中最大的是邊長幾厘米的正方形？

生：邊長5厘米的正方形。

師追問：能不能剪出邊長6厘米的正方形？為什么？

生：(觀察直觀圖)不能，邊長6 厘米的正方形，長夠剪，但寬沒有了。

師：現在老師再把長延長至10厘米（圖3），想一想，你能看到邊長幾厘米的正方形，最大的正方形邊長是多少厘米？

圖3

生：我看到了邊長1 厘米、2 厘米、3 厘米、4 厘米、5厘米的正方形，邊長是5厘米的正方形最大。

師：為什么長變長了，最大的正方形邊長還是5厘米？

生：因為寬只有5厘米。

師：如果寬不變，長變成20 厘米，剪出的最大正方形邊長是多少厘米？

生：邊長5厘米的正方形。

師：如果長不變，寬變成7厘米，剪出的最大正方形邊長是多少厘米？

生：剪出的最大正方形的邊長是7厘米。

師：還能剪出邊長是多少厘米的正方形？

生：還有邊長是1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、6厘米的正方形。

師：在下面的長方形中，能畫出哪些邊長是整厘米數的正方形？最大的一個正方形邊長是多少厘米？

圖4

圖5

生：在圖4 中能畫出邊長1 厘米、2 厘米、3 厘米的正方形，最大的正方形邊長3厘米。

生：在圖5 中能畫出邊長1 厘米、2 厘米、3 厘米、4厘米、5厘米、6厘米的正方形，最大的正方形邊長6厘米。

師：想一想，長方形中剪一個最大的正方形，正方形的邊長和什么有關？

生：在長方形中剪一個最大的正方形，正方形的邊長等于長方形中較短邊的長度。

師：隨著我們以后進一步學習，就會知道在長方形中除了能找到邊長整厘米數的正方形，還能找到無數個邊長不是整厘米數的正方形。

三、反思與解讀——數形結合，柳暗花明

1.依托有形，有序建構

如何讓藏于長方形中的抽象正方形現身？本案例中，教師別出心裁地將長方形置于方格紙中，借助直觀的方格圖，一個個有形的正方形躍然紙上，學生面對可以感受到的正方形，自然能迅速找到那個最大的正方形了。當然，讓藏匿的正方形現形，這只是第一步。依托這張方格紙，教師不斷讓學生的思維走向深入：長變化，寬不變，剪出的最大正方形為什么沒有變化？如果長寬都變化了，此時能剪出的最大正方形又是怎么變化的？讓學生借助圖形直觀感受數與形的變化，在變與不變中感悟長方形和正方形之間的緊密聯系。進而，離開方格紙，尋找那個空白長方形中最大的正方形，此時這個無形的正方形已在學生腦中悄然著陸，變得有形可感，長方形和正方形之間的聯系也走向了深入，空間觀念的建構也變得扎實、有序。

2.依托動態，靈動生長

“在長10厘米，寬6厘米的長方形中，邊長2厘米的正方形還可以怎么剪？一定只能剪6 個不同的正方形嗎？”這樣的變化是否要讓學生感覺到？又該如何滲透？筆者認為，可以借助多媒體手段，讓學生直觀地看到邊長2 厘米的正方形在長方形中有序的運動，還可以動態地演示正方形邊長由1厘米逐漸變化為6厘米的過程，讓學生初步感受到其實不僅僅只有6個不同的正方形，內含著無數個正方形，最大的正方形邊長是6厘米。這樣動態地呈現，學生的思維視角也漸趨開闊：所能看到的正方形可以移動位置、大小可以不斷發生變化。數學空間觀念的培養離不開想象，這樣以直觀的變化來促成學生想象視角的變化，以運動變化的視角來展開想象、展開思維，對學生的震撼是強烈的、感受是深刻的，無疑打開了想象的新天地，空間觀念得以靈動地生長。當然，這樣的動態呈現切忌矯枉過正，需要把握教學的度，適當給學生些開放的視角，點到即可。

“數缺形時少直覺，形少數時難入微。”當直觀的圖形和抽象的問題相結合，學生也就找到了解決問題的腳手架，數學在他們的眼中也會隨之變得簡單而豐富。圖形、動態雖只是依托，但恰恰是這些不可少的巧妙依托，能架起學生思維與學科知識過渡的橋梁，讓學生實現穩穩地著陸——深刻地思考，扎實地建構，靈動地生長。