基于希爾伯特空間和層次分析法的大壩安全評價模型研究

侯 麗，邢精連，周 健

（南京市水利規劃設計院股份有限公司，江蘇 南京 210001）

0 引言

我國是世界上水能資源最豐富的國家之一，其蘊藏量和開發量均居世界首位。根據2012年第一次全國水利普查結果，我國共有水庫9.8萬余座，總庫容9823.12億m3，共修建水電站4.67萬余座，裝機容量達3.33億kW[1]。水庫大壩的安全運行決定了工程綜合效益的大小，也間接決定了工程涉及到的國民經濟及生命財產的安全。因而進行水庫大壩工程的安全監測和評價非常有必要[2]。

水庫大壩運行工況復雜，影響條件很多。一般大壩評價模型只基于一般數學統計分析模型進行數據分析，包括原型觀測資料正分析、反演分析、反饋分析及大壩安全綜合評價專家系統。四類數據分析中原型觀測資料正分析評價大壩安全應用較多。其中正分析中的監控模型一般有統計模型、確定性模型、混合模型及其他數學理論建立的模型[2]。一般的數學安全評價模型考慮更多的是數據分析，沒有較好地考慮到數據之間的關聯性和重要性不同的情況，導致分析結果不是很準確。本文應用層次分析法并結合多維的希爾伯特指標空間構建大壩安全評價模型，對安全指標進行分析，并對各個指標的安全影響因子進行計算。

1 希爾伯特多維指標空間的建立

綜合分析大壩安全運行的影響因子，將因子按大壩結構不同分類，根據不同的影響因子建立希爾伯特空間。利用層次分析法確定指標因子的權重并計算出權重算子，最后確立標準的希爾伯特指標子空間。

1.1 評價模型的多層次結構構建

層次分析法的層次結構一般因不同的評價對象而不同。一般分為頂層、中層和底層；其中頂層為最終評價目標層，中層為準則層，中層以下根據評價項目的復雜程度分為層數不同的措施層[3]。其中措施層采用一層的一般評價層次結構，結構圖見圖1。

圖1 AHP法的評價模型結構

1.2 指標空間權重算子的生成

指標空間權重算子的建立分四步[4]。第一步：根據層次分析法得到的評價層次結構模型可以構造判斷矩陣。第二步：進行判斷矩陣一致性檢驗。第三步：若判斷矩陣通過一致性檢驗，則計算各指標的權重。第四步：通過各指標的權重構建希爾伯特指標空間權重算子Δ

1.3 標準希爾伯特指標子空間的建立

一般影響大壩安全的因素分為強度因素、管理因素、穩定因素三類；各因素都包含壩體、廠房、庫岸三種評價指標[2]。大壩安全主要的評價指標包括三大類三小種[5]。其中每一種評價指標代表指標空間的一維，則構建一個3維的希爾伯特指標空間H3。若Hilbert指標空間的一個量化線性子空間為N。可得各指標元素向量y為[6]：

其中，e=｛e1，e2，e3｝是的一組 H3標準正交基。在 H3中元素 y向量的坐標為：y=｛λ1，λ2，λ3｝。若賦有權重的標準子空間 M 為Hilbert指標空間H3的另一個線性子空間[8]，則設x為M的元素，存在映射Δ，使：

式(2)代入式(3)得：

則構造的M為三維的標準Hilbert線性指標子空間[8]。

2 基于M的安全指數向量范數評價模型

2.1 計量模型的建立

該模型的大壩安全評價模型各評價指標的關聯性較低。根據其數乘性質可以構建單位球面，即為安全指標向量[6~7]。Hilbert空間性上弱緊性，則可用安全指數向量的范數‖M‖來表示大壩安全狀況W的高低[8]，即安全指數函數：W=‖M‖。

大壩安全評價建模步驟見圖2。

圖2 評價模型建立過程

而‖M‖又是標準指標子空間的函數，可以表示為

則指標指數函數為

依據以上模型可以確定評價指標的數值，進而可以進行定性定量地判斷大壩安全狀況。而且可以對比不同指標對大壩安全等級的影響。經工程實際計算，大壩安全等級與分值區間的關系見表1[9]。

表1 大壩安全水平等級

2.2 安全指標分析

根據上文，大壩安全水平等級可以由安全指數模型確定，但實際問題依然不能解決。故根據指標分析的理論，對指標空間的每個指標計算評價，進而定量地確定各評價指標對大壩安全運行的影響狀況[10]。所計算出的數值也稱評價指標的貢獻率。該模型對多元函數求偏導建立各指標的安全評價函數。則對式(6)求偏導得：

利用變化量便能確定出各個指標對大壩安全水平的影響。在實際應用中可以判斷各個指標的重要性及影響大壩安全的因素，這樣可以有目的性地提高某個指標的安全水平。

3 計算案例

3.1 安全指數的計算

現以某壩為例，該壩對強度、管理、穩定三個準則的價值取向為：首先要求強度好，然后要求管理水平高，最后才是穩定好。判斷矩陣采用1~9比較尺度構造[11]，且重要性等級與判斷矩陣元素αij的取值見表2[12]。

表2 重要性等級與判斷矩陣元素αij的取值表

由表2可得準則層對目標層的判斷矩陣（依次為強度、穩定、管理因素）G為：

在計算權重之前應該進行矩陣的一致性檢驗。一致性檢驗的計算方法為：

式中：C.I.=（λmax-n）/（n-1）；R.I.為平均隨機一致性指標。

且當C.R.<0.1時，判斷矩陣具有可接受的一致性，否則判斷矩陣偏離一致性過大[12]。經計算判斷矩陣G的C.R.<0.1，說明判斷矩陣G滿足一致性檢驗。

通過監測資料和大壩運行情況綜合分析得，廠房安全指標P1、壩體安全指標 P2、庫岸安全指標 P3分別為 99、97、95。并且根據該壩實際每部分運行情況對比各部分應達到的安全運行標準狀況評價為：廠房的強度條件較好，穩定條件一般，管理水平中上；壩體的強度條件最好，穩定條件較差，管理水平中下；庫岸的強度條件較差，但穩定條件好，管理水平高。

根據希爾伯特指標空間，將上述廠房安全指標P1、壩體安全指標P2、庫岸安全指標P3數值代入式(4)，可得

由層次分析法判斷矩陣G和上述該壩實際每部分運行情況對比各部分應達到的安全運行標準狀況評價可以計算得到壩體安全指標、廠房安全指標、兩岸安全指標3個因素對大壩安全運行的影響程度，通常稱作不同指標的重要程度。主要指標的重要程度見表3。

表3 主要因素總體影響程度優先級排序

權重算子由層次分析法的計算結果確定，即Δ=(0.1974,0.5059,0.2971)

上述計算得到x和Δ后，根據式(7)計算得到該壩的安全運行指數W=59.9。

由表1可得，該壩安全等級是一類壩；與該壩的最近一次大壩安全鑒定的結論一致。且廠房安全指標P1、壩體安全指標P2、庫岸安全指標P3對大壩安全運行組合權重由表3可知，分別為0.20、0.50、0.30，符合水庫大壩結構的實際運行規律。

3.2 安全指標貢獻率的計算

由式(9)可以計算各個指標對該壩安全運行的貢獻率。通過計算得到該壩的指標彈性算子：α=（0.06,0.42,0.14）。各指標變化Δyj取為1，則各指標對大壩運行總安全指標的貢獻率為：ΔW=（0.06,0.42,0.14）。

故可得廠房安全指標P1、壩體安全指標P2、庫岸安全指標P3對大壩安全運行的貢獻率分別為0.06、0.42、0.14。與層次分析法得到的各個安全指標綜合權重的規律一致，并突出了壩體安全指標的重要性，而庫岸安全指標及廠房安全指標的貢獻率則依次次之。

根據多層次分析法定量地計算安全指數和安全指標貢獻率，為水庫大壩實際運行維護提供了理論依據。說明基于希爾伯特空間多層次安全評價模型的計算結果可靠可信。

4 結論

影響水庫大壩安全正常運行的因素很多，并且全面選取影響水庫大壩安全運行的評價指標比較困難，所以建立比較可靠合理且計算簡便的評價模型也相對困難。本文運用層次分析法可將不同層級的評價指標進行合理量化，把量化的評價指標空間構建為權重算子，然后依據希爾伯特空間向量范數理論對水庫大壩安全性進行評價。通過實例計算驗證，該安全評價模型的評價結果合理可信，可應用在水庫大壩，包括一般水工建筑物的安全評價。

在實際工程應用該評價模型時，需要根據不同壩型運行的環境和特點及各種工況選取不同的大壩評價指標，構建不同層次的模型結構和維數不同的希爾伯特空間，以便更合理地評價大壩運行的安全狀況。