分次環上的分次w-模

吳小英, 王芳貴, 梁春梅

(四川師范大學 數學科學學院, 四川 成都 610066)

1 引言及預備知識

近年來,由于分次環在代數幾何上的應用背景,分次環及分次模范疇得到極大的關注.分次投射模、分次內射模、分次平坦模、分次FP-內射模(亦稱FP-gr-內射模)、分次余撓模等模類概念和分次Noether環、分次凝聚環、分次半單環和分次QF環等環類概念都相繼被建立到分次環上[1-8].

乘法理想理論在刻畫環的結構中發揮了重要作用.近年來,也有許多用乘法理想理論的方法來研究分次環的文獻(參見文獻[9-12]).用乘法理想理論的方法研究分次環,很多學者們假定G是無撓的(交換)半群,給定的分次環是整環的條件下開展工作.例如在文獻[11]中證明了若G是無撓的半群,且每個齊次元素是單位,則分次整環R是完全整閉整環.

用星型算子的方法研究分次環的文獻相對較少.文獻[10]引入了分次v-理想I的概念,不過只是簡單假定I是分次的分式理想和未分次的v-理想.相應地,文獻[12]中也引入了分次SM整環的概念,仍然假定R是整環,G是無撓半群.在文獻[12]中證明了關于分次版本的Mori-Nagata定理:若R是分次SM整環(R是整環,G是無撓半群,滿足w-分次理想的升鏈條件),則R的完全整閉包是分次Krull整環.

如何把乘法理想理論的方法,特別是星型算子的方法,應用到一般的交換分次環上是需要關注的問題.對于未分次情形,w-算子首先是建立在整環上[13],2011年,Yin等[14]借助Hom函子與Ext函子把w-算子理論建立到一般的交換環上.這給我們一個很好的啟發,借助于分次的HOM函子與EXT函子,完全可以去掉R是整環和G是無撓半群的假設,建立一般分次交換環上的分次版本的w-算子理論.支撐交換環上的w-算子理論需要很多基礎概念,例如GV-理想、GV-無撓模與w-模等,建立一般分次交換環上的分次版本的w-模理論仍然是一個系統性的工作.本文逐步給出這些概念對應的分次版本,以及相關性質和刻畫.注意無撓半群Γ可以嵌入一個Abel群G.因此,在群G-分次交換環上的研究完全包含了在無撓半群Γ-分次交換環的研究,從而本文中的關于分次w-模的結論,完全包含了文獻[12]中關于分次w-理想的討論.

HomR-gr(M,N)={f∈HomR(M,N)|

對任意的σ∈G,有f(Mσ)?Nσ}.

HomR-gr(M,N)中的元素稱為分次同態.以分次R-模為對象,分次同態為態射構成的范疇用R-gr表示.

設f:M→N是R-同態,σ∈G.若對任何τ∈G,都有f(Mτ)?N(τσ)=N(σ)τ,則f稱為次數為σ的同態.顯然有f∈HomR-gr(M,N(σ)).

令HOMR(M,N)σ=HomR-gr(M,N(σ)),則

是分次R-模.

關于分次R-模M和N的張量積和其它的相關概念和符號,參見文獻[15-17].

2 分次GV-理想與分次GV-無撓模

設J是R的分次理想,M是分次R-模,則包含關系J?R誘導一個自然分次同態

φ:M→HOMR(J,M),

更明確地

φ(x)(a)=ax,a∈J,x∈M.

相應地,M到HomR(J,M)的自然同構用φ表示.由文獻[15],有下面的交換圖

故當φ是滿同態時,有

HOMR(J,M)=HomR(J,M),

且φ是分次單同態當且僅當φ是單同態.

命題 2.1設J是R的分次理想,M是分次R-模,則有:

1)φ是分次單同態當且僅當HOMR(R/J,M)=0;

4) 若φ是同構,則HOMR(J,M)=HomR(J,M),且φ是分次同構.

證明由文獻[15]中§8.5習題,有分次同構M?HOMR(R,M).于是有下面正合列的交換圖

由上行的正合性即得1)～3).由上面的交換圖即得4).

定義 2.2設J是R的有限生成分次理想.若自然分次同態φ:R→J*=HOMR(J,R)是分次同構,則J稱為分次Glaz-Vasconcelos理想,簡稱為分次GV-理想,簡記為J∈GVgr(R).

命題 2.31)R∈GVgr(R)；

2) 設J是R的有限生成分次理想,則J∈GVgr(R)當且僅當J∈GV(R)，于是有GVgr(R)?GV(R)；

3) 設J1∈GVgr(R),J2是R的分次理想,且J1?J2,則HOMR(J2,R)?R.特別地,若J2是有限生成的,則J2∈GVgr(R)；

4) 若J1,J2∈GVgr(R),則J1J2∈GVgr(R).

證明1) 顯然.

2) 設J∈GV(R),在命題2.1的4)中令M=R即知J∈GVgr(R).反之,設J∈GVgr(R),由下面的交換圖

由上行是正合列知下行也是正合列,故φ:R→HomR(J,R)也是同構,即J∈GV(R).

3) 由命題2.3的2),J1∈GV(R).由文獻[17]中命題6.1.9,有HomR(J2/J1,R)=0.因此有HOMR(J2/J1,R)=0, 從而

HOMR(J2,R)→HOMR(J1,R)

是分次單同態.由正合列0→HOMR(R/J2,R)→HOMR(R/J1,R)是分次正合列知HOMR(R/J2,R)=0.由下面的兩行是分次正合列的交換圖

4) 對任何σ∈G.分次滿同態ψ:J1?RJ2→J1J2誘導一個分次單同態

(ψσ)*:HomR-gr(J1J2,R(σ))→

HomR-gr(J1?RJ2,R(σ)).

從而又誘導分次單同態Ψ:HOMR(J1J2,R)→HOMR(J1?RJ2,R).由分次環上的相伴同構定理(參見文獻[15]中命題2.4.9)可得

HOMR(J1?RJ2,R)?

HOMR(J1,HOMR(J2,R))?HOMR(J1,R)?R.

因此由復合分次映射

是分次同構,故Ψ還是分次滿同態.于是Ψ還是分次同構,因此φ是分次同構,即J1J2∈GVgr(R).

例 2.4盡管已知GVgr(R)?GV(R),但仍可能有GVgr(R)≠GV(R).例如,設R=Z[x],則R可以看作G=Z分次環,其中n≥0時,Rn=Zxn,而n<0時,Rn=0.于是J=(2,x+1)∈GV(R),但是(2,x+1)不是分次理想,從而J?GVgr(R).

設S是R的分次理想的集合,滿足:1)R∈S;2) 若I,J∈S,則IJ∈S,則S稱為R的一個分次理想的乘法系.由命題2.3,GVgr(R)是R的一個分次理想的乘法系.

設M是分次R-模.令

tgr(M)={x∈M|存在J∈GVgr(R),

使得Jx=0}.

命題 2.5設M是分次R-模,則tgr(M)是M的分次子模.

定義 2.6設M是分次R-模.若tgr(M)=M,則稱M是分次GV-撓模;若tgr(M)=0,則稱M是分次GV-無撓模.

命題 2.7設M是分次R-模,則有:

1) 分次模M是分次GV-撓模當且僅當對任何x∈M,存在J∈S,使得Jx=0;

2) 分次模M是分次GV-無撓模當且僅當由J∈S,x∈M,Jx=0,能推出x=0;

3)tgr(M)是分次GV-撓模,M/tgr(M)是分次GV-無撓模;

4) 分次GV-撓模的分次子模和分次商模都是分次GV-撓模;

5) 分次GV-無撓模的分次子模是分次GV-無撓模;

6) 若M既是分次GV-撓模,又是分次GV-無撓模,則M=0;

7) 對任何J∈GVgr(R),R/J是分次GV-撓模.

證明與未分次環上GV-撓模與GV-無撓模情形是對應的,也容易得到.

命題 2.8設M是分次R-模,則M是分次GV-無撓模當且僅當對任何J∈GVgr(R),自然分次同態φ:M→HOMR(J,M)是單同態,等價地,HOMR(R/J,M)=0.

證明設J∈GVgr(R),由于φ是分次單同態當且僅當φ:M→HomR(J,M)是單同態,故對φ進行證明即可.

設M是分次GV-無撓模.設x∈M,φ(x)=0,則對任何a∈J,有φ(x)(a)=ax=0.于是有Jx=0.由于M是分次GV-無撓模,故x=0,即φ是單同態.

命題 2.9設M是分次模,σ∈G.

1) 若M是分次GV-無撓模,則M(σ)也是分次GV-無撓模;

2) 若M是分次GV-撓模,則M(σ)也是分次GV-撓模.

證明1) 對任何σ,τ∈G,J∈GVgr(R),由于M是分次GV-無撓模,故HOMR(R/J,M)=0.于是有

HomR-gr(R/J,M)τσ=HomR-gr(R/J,M(σ))τ=0,

從而有HOMR(R/J,M(σ))=0,即M(σ)是分次GV-無撓模.

對任何分次模M,同樣可以建立分次本性擴張和分次內射包的概念,參見文獻[15].以下用Eg(M)表示分次模M的分次內射包.

命題 2.101)R是分次GV-無撓模;

2) 設N是分次GV-無撓模,則Eg(N)也是分次GV-無撓模.

證明1) 由命題2.8即得.

2) 記E=Eg(N).設J∈GVgr(R),證

HOMR(R/J,E)=HomR(R/J,E)=0.

命題 2.111) 分次模N是分次GV-無撓模當且僅當對任何分次GV-撓模M,HOMR(M,N)=0;

2) 分次模M是分次GV-撓模當且僅當對任何分次GV-無撓模N,HOMR(M,N)=0.

證明1) 設N是GV-無撓模,M是GV-撓模.先證HomR-gr(M,N)=0.

設f:M→N是分次同態.對任何x∈M,由于M是分次GV-撓模,故存在J∈GVgr(R),使得Jx=0.因此有f(Jx)=Jf(x)=0.由于N是分次GV-無撓模,故有f(x)=0.因此有f=0,HomR-gr(M,N)=0.

對任何σ∈G,由命題2.9,N(σ)也是分次GV-無撓模,于是有HomR-gr(M,N(σ))=0.由此得到HOMR(M,N)=0.

假設反之條件成立,則對任何J∈GVgr(R),有HOMR(R/J,M)=0.由命題2.8,N是GV-無撓模.

2) 設M是分次GV-撓模,由命題2.11的1)知對任何分次GV-無撓模N,有HOMR(M,N)=0.

假設反之條件成立.若M不是分次GV-撓模,則T:=tgr(M)≠0,于是M/T是非零的分次GV-無撓模,從而自然分次同態M→M/T是非零同態.于是有

HomR-gr(M,M/T)≠0,

從而HOMR(M,M/T)≠0,矛盾.

2) 有自然同構

3) 有自然同構

4) 對任何n≥0,有自然分次同構

與

證明1) 此即分次直積的泛性質,其證明參見文獻[18]中命題2.2.

2) 顯然θ是單同態.設

3) 亦有θ是單同態.由引理2.13的1)知θ是滿同態.

4) 由維數提升方法,只要對n=0和n=1的情形證明即可.只證第一式,第二式是類似的.設σ∈G,有

另一方面,由引理2.12有

當且僅當Supp(f)=σ,當且僅當對任何下標i,fi∈HomR-gr(Ni,M(σ)),當且僅當

因此有

由2)知

故有自然分次同構

設0→M→E→C→0是分次正合列,其中E是分次內射模,則有下面的兩行是分次正合列的交換圖

于是左端2個垂直箭頭是分次同構,從而右端的垂直箭頭是分次同構.

命題 2.14設{Mi}是一簇分次R-模,則有:

證明1) 由引理2.12與引理2.13的4)的第二式即得.

2) 設J∈GVgr(R).類似于未分次情形,有自然分次同構

由引理2.13,有分次同構

再引用命題2.1與命題2.8即得所證.

命題 2.151) 設M是分次模,N是分次GV-無撓模,則HOMR(M,N)是分次GV-無撓模;

2) 設M是有限生成分次模,N是分次GV-撓模,則HOMR(M,N)是分次GV-撓模.

證明1) 設F=⊕R是分次自由模,F→M→0是分次正合列,則有分次正合列0→HOMR(M,N)→HOMR(F,N).由引理2.13和引理2.14有

HOMR(F,N)?∏grN

是分次GV-無撓模,故HOMR(M,N)是分次GV-無撓模.

2)F=Rn是分次自由模,F→M→0是分次正合列,則亦有分次正合列

0→HOMR(M,N)→HOMR(F,N)

以及HOMR(F,N)=Nn是分次GV-撓模.故HOMR(M,N)是分次GV-撓模.

3 分次w-模

文獻[17]對交換環上的w-模理論作了系統總結,現在來定義分次環上的分次w-模.

顯然分次GV-無撓的分次內射模是分次w-模.

命題 3.2設M是分次w-模,則對任何σ∈G,M(σ)也是分次w-模.

證明考慮分次正合列0→A→F→M→0,其中F是有限生成分次自由模.于是A是有限生成分次模.考慮下面的兩行是正合列的交換圖

命題 3.41) 設M是分次GV-無撓模,則Eg(M)是分次w-模;

3) 分次投射模是分次w-模.

證明1) 由命題2.10,Eg(M)是分次GV-無撓模.由內射性得到Eg(M)是分次w-模.

2) 對任何J∈GVgr(R),由引理2.13,有自然分次同構

由文獻[17]中定理3.9.2與引理3.3,有自然分次同構關系

3) 顯然,R是分次w-模.由命題3.4的2)知分次投射模是分次w-模.

引理 3.5設M是分次模,σ∈G.

1) 若M是分次投射模,則M(σ)也是分次投射模;

2) 若M是分次內射模,則M(σ)也是分次內射模;

3) 對任何分次模N有

證明1) 對任何分次模N有

HomR-gr(M,N(σ-1))=HomR-gr(M(σ),N).

設0→A→B→C→0是分次正合列,則0→A(σ-1)→B(σ-1)→C(σ-1)→0也是分次正合列.由下面的交換圖以及上行是分次正合列

得到下行是分次正合列,因此有M(σ)是分次投射模.

2) 類似于引理3.5的1)可得.

3) 設0→L→P→M→0是分次正合列,其中P是分次投射模.由引理3.5的1),P(σ-1)也是分次投射模.從下面的兩行是分次正合列的交換圖

即可得證.

設M是分次模.稱{Mα|α≤τ}是M的分次子模的連續升鏈,是指M有分次子模升鏈

0=M0?M1?…?Mα?Mα+1?…?Mδ=M,

引理 3.6設T是分次GV-撓模,則T有分次子模的連續升鏈

0=T0?T1?T2?…?Tα?…?Tδ=T,

使得對每一序數α,Tα+1/Tα是循環分次GV-撓模.

證明在文獻[19]中引理1的證明中或文獻[17]中引理11.7.2的證明中用分次模代替模,分次同態代替同態即得所證.

定理 3.8設M是分次GV-無撓模,則以下各條等價:

1)M分次w-模;

7) 對任何的J∈GVgr(R),任何分次同態f:J→M可以擴張到R上;

8) 對任何的J∈GVgr(R),自然分次同態φ:M→HOMR(J,M)是分次同構;

9) 由Jx?M,其中J∈GVgr(R),x∈Eg(M),能推出x∈M;

10) 設E是包含M的分次GV-無撓內射模,由Jx?M,其中J∈GVgr(R),x∈E,能推出x∈M;

11) 設N是包含M的分次w-模,由Jx?M,其中J∈GVgr(R),x∈N,能推出x∈M;

12) 對任何分次正合列0→M→N→C→0,其中N是分次w-模,有C是分次GV-無撓模;

13) 存在分次正合列0→M→N→C→0,使得N是分次w-模,C是分次GV-無撓模.

2)?3) 顯然.

3)?5) 由引理3.6和引理3.7即得.

5)?4) 對任何σ∈G,由命題2.9,C(σ-1)也是GV-撓模,故由引理3.5有

3)?6) 顯然.

6)?3) 仍設C=R/J.前面已證存在R的分次GV-理想I,使得I?J,且HOMR(J/I,M)=0.于是HomR-gr(J,M)→HomR-gr(I,M)是分次單同態,由下面的兩行是分次正合列的交換圖

6)?7) 與未分次情形的證明類似.

1)?8) 由命題2.1即得.

1)?11) 不妨設x∈Mσ是齊次元素.定義f:J→M(σ),f(a)=ax,a∈J,則f是齊次同態.由命題3.2,M(σ)是分次w-模.由于1)?7),故存在g:R→M(σ),使得g|J=f.記y=g(1),則J(x-y)=0.注意作為集合有M(σ)=M,于是y∈M.由于M是分次GV-無撓模,則有x=y∈M.

11)?10)?9) 顯然.

9)?7) 記E=Eg(M).設f:J→M是分次同態,則存在分次同態g:R→E,使得對任何a∈J,有f(a)=g.記x=g(1),則Jx=f(J)?M.由假設,x∈M,于是g:J→M是f的擴張.

11)?12)?13)?11) 類似于未分次情形的證明.

命題 3.11設M是分次模,N分次w-模,則HOMR(M,N)是分次w-模.特別地,分次對偶模與分次自反模是分次w-模.

證明設0→A→F→M→0是分次正合列,其中F=⊕R是分次自由模.于是有分次正合列0→HOMR(M,N)→HOMR(F,N)→HOMR(A,N).由命題3.4知,HOMR(F,N)=∏grN是分次w-模.由命題2.15,HOMR(A,N)是分次GV-無撓模.由定理3.8,HOMR(M,N)是w-模.取N=R和M=HOMR(M,R),即可得證分次對偶模與分次自反模是分次w-模.

命題 3.12設M是分次GV-無撓模,則對任何齊次元素x,x∈M,ann(x)是R的分次w-理想.從而對M的任何非空子集X,ann(X)也是R的分次w-理想.

證明設J∈GVgr(R),a∈R,使得Ja∈ann(x),則Jax=0.由于M是分次GV-無撓模,故ax=0.因此a∈ann(x),即ann(x)是R的分次w-理想.

命題 3.13設M是分次w-模,N是分次GV-無撓模,f:M→N是分次同態,則Ker(f)是M的分次w-子模.

證明設J∈GVgr(R),x∈M,Jx∈Ker(f),則f(Jx)=Jf(x)=0.由于N是分次GV-無撓模,故f(x)=0.因此x∈Ker(f),故Ker(f)是M的分次w-子模.

設M是分次模,N是M的R-子模(未必是分次的).文獻[15]指出,N內包含有一個最大的分次子模,用(N)g表示,即N的所有元素的齊次分量生成的分次子模.另一方面,也存在一個M的包含N的最小分次子模,用(N)g表示,即N中所有齊次元素生成的子模.

引理 3.14設M是分次模,L、N是M的子模,I是R的理想,x∈M和a∈R是齊次元,則有:

1) (I)g(N)g?(IN)g,(IN)g?(I)g(N)g;

2) (Ix)g=(I)gx,(aN)g=a(N)g.

證明1) 由(I)g?I,(N)g?N,以及(I)g(N)g?N是M的分次子模,有(I)g(N)g?(IN)g.

由于N?(N)g,I?(I)g,以及IN?(IN)g,得IN?(I)g(N)g,于是(IN)g?((I)g(N)g)g.由于((I)g(N)g)g是分次模,故((I)g(N)g)g=(I)g(N)g,于是(IN)g?(I)g(N)g.

定理 3.15設M是分次模,則以下各條等價:

1)M是分次GV-無撓模;

2) 若Jx=0,其中J∈GVgr(R),x∈M是齊次元,則必有x=0;

3)M是(未分次)GV-無撓模.

證明3)?1)?2) 顯然.

2)?3) 設I∈GV(R),x∈M是齊次元,且Ix=0.取J=(I)g,由引理3.14,J∈GVgr(R),且Jx=(I)gx=(Ix)g=0.由條件,x=0,故M是GV-無撓模.

命題 3.16設M是分次模.若M是(未分次的)w-模,則M是分次w-模.

證明由定理3.15,M是分次GV-無撓模.由于Eg(M)?E(M),引用定理3.8的9)可得M是分次w-模.

定理 3.17設M是分次模,且是(未分次)w-模(例如,M是分次平坦模).設N是M的分次子模,則N是分次w-模當且僅當N是w-模.特別地,R中的任何分次w-理想都是w-理想.

證明設N是分次w-模.由定理3.8,M/N是分次GV-無撓模.由定理3.15,M/N是GV-無撓模.由文獻[17]中定理6.1.7,N是w-模.

反之由命題3.16即得.

由定理3.17,所做的分次w-模的定義限制到理想上時,與文獻[12]中所作的分次w-理想定義是相同的,無需假設分次環R是整環,也無需假設G是無撓群.

推論 3.18設F是分次平坦R-模,M是分次無撓模,也是w-模,則F?RM是分次w-模.

證明由文獻[17]中定理6.7.24,F?RM是w-模.應用命題3.16即得.