張量E-特征值包含集及其應用

桑彩麗, 趙建興

(貴州民族大學 數據科學與信息工程學院, 貴州 貴陽 550025)

1 預備知識

設n為正整數,n≥2,令N={1,2,…,n}.用C(R)表示復(實)數域.設A=(ai1i2…im),若

ai1i2…im∈R,ij∈N,j=1,2,…,m,

ai1i2…im=aπ(i1i2…im),

則稱A為對稱張量.

若齊次多項式

滿足▽Axm=mAxm-1,則稱A為弱對稱張量[1].由文獻[1]知,當m=2時,對稱張量和弱對稱張量是一樣的.當m≥3時,對稱張量是弱對稱張量,反之,不一定成立.

若存在數λ∈C和向量x=(x1,x2…,xn)T∈Cn{0}滿足

Axm-1=λx,xTx=1,

則稱λ為A的E-特征值,x為相應于λ的E-特征向量,其中Axm-1為n維向量,其第i個分量為

用σE(A)表示A的所有E-特征值作成的集合.若λ和x均為實數,則稱λ為A的Z-特征值,x為相應于λ的Z-特征向量[2-3].用σZ(A)表示A的所有Z-特征值作成的集合,稱

(A)=max{|λ|:λ∈σZ(A)}

為A的Z-譜半徑[1].

由于張量的Z-特征值及其Z-特征向量與統計數據分析中的最佳秩一逼近聯系密切[4],引起了廣泛關注[5-17].最近,許多專家學者對張量A的Z-特征值進行了定位[10-14],其中文獻[10]給出了A的Ger?gorin-型Z-特征值包含集和Z-譜半徑的一個上界.

定理 1.1[10]設A∈R[m,n],則

其中

Ki(A)={z∈C:|z|≤Ri(A)},

為了對Z-特征值進行更精確的定位,文獻[10]獲得了如下Brauer-型Z-特征值包含集.

定理 1.3[10]設A∈R[m,n],有

其中

Ni,j(A)={z∈C:(|z|-(Ri(A)-

進一步,N(A)?K(A).

由定理1.3中Z-特征值包含集,文獻[10]獲得Z-譜半徑的如下更精確的上界.

本文在定理1.1和定理1.2的基礎上考慮張量A的E-特征值定位問題,首先將定理1.1和定理1.3中的Z-特征值包含集推廣到E-特征值包含集.其次,利用不等式放縮技巧給出張量A的更精確的E-特征值包含集.最后,作為應用,給出弱對稱非負張量Z-譜半徑的更精確的上界,改進了定理1.2和定理1.4中的結果.

2 主要結果

應用類似于文獻[10]中定理3.1和定理3.4的證明,易將定理1.1和定理1.3中的Z-特征值包含集推廣到如下E-特征值包含集.

定理 2.1設A∈R[m,n],則σE(A)?K(A)且σE(A)?N(A).

下面給出比定理2.1中包含集K(A)和N(A)更精確的E-特征值包含集.

定理 2.2設A∈R[m,n],則

其中

證明設λ為A的任意E-特征值,其對應的E-特征向量為x=(x1,…,xn)T∈Cn{0},即

Axm-1=λx且xTx=1.

(1)

令|xt|≥|xs|≥max{|xi|:i∈N,i≠t,s},顯然,0<|xt|m-1≤|xt|≤1.由(1)式的第t個方程

得

|λ||xt|m-1≤|λ||xt|≤

即

(2)

得

|λ||xs|m-1≤|λ||xs|≤

即

(3)

由(2)和(3)式相乘，并消去|xt|m-1|xs|m-1>0得

下面對定理2.1和定理2.2中的E-特征值包含集進行比較.在此之前,先引入一個引理.

定理 2.3設A∈R[m,n],則定理2.2中的E-特征值包含集比定理2.1中的E-特征值包含集精確,即

Ψ(A)?N(A)?K(A).

下面分2種情形證明.

此時對任意j∈N,j≠i0,有

因此z∈Ni0,j?N(A).

(4)

此時

|z|≤Ri(A),

(5)

且

(6)

(7)

由(5)和(7)式相乘得

此時z∈Nji(A)?N(A).

(8)

再由(8)式得

由此得

此時z∈Nji(A)?N(A).

綜合情形1和情形2可知結論Ψ(A)?N(A)成立.證畢.

下面應用定理2.2中的E-特征值包含集給出弱對稱非負張量Z-譜半徑的一個新上界.

(A)≤Ψmax=

其中

證明由文獻[10]中引理4.4知(A)是A的Z-特征值，因此由定理2.2知

(A)∈Ψ(A)=

(9)

((A)-

由(10)式得

因此

(11)

由(9)和(11)式可知結論成立.

由定理2.3易得如下比較定理：

3 數值算例

例 3.1設A=(aijk)∈R[3,3],其中

易知A是弱對稱非負張量.經計算,得A的所有E-特征值±9.102 6,±2.997 8±0.260 0i,±1.779 3,±1.573 7,±0.889 5,±0.153 2和Z-譜半徑(A)=9.102 6.

1) 首先下面對A的所有E-特征值進行定位.由定理2.1得

K(A)={z∈C:|z|≤19}

和

N(A)={z∈C:|z|≤17.793 5}.

由定理2.2得

Ψ(A)={z∈C:|z|≤17.189 5}.

張量A的E-特征值包含集K(A)、N(A)、Ψ(A)和所有E-特征值(見圖1),其中K(A)、N(A)和Ψ(A)分別為外側實邊界、中間虛邊界和內側實邊界標出,所有E-特征值用“+”號標出.由圖1可以看出

σE(A)?Ψ(A)?N(A)?K(A).

2) 其次,對A的Z-譜半徑(A)進行估計.由文獻[5-13]中相應定理得到的數值結果見表1.

表 1 (A)的下界

Tab. 1 The nether of (A)

表 1 (A)的下界

方法上界文獻[5]中推論4.5,即定理1.219.000 0文獻[6]中定理3.218.868 1文獻[7]中定理3.518.831 6文獻[10]中定理4.618.776 0文獻[10]中定理4.518.474 3文獻[8]中定理618.445 8文獻[13]中定理718.337 0文獻[10]中定理4.7,即定理1.417.793 5文獻[9]中定理2.917.731 9文獻[10]中定理4.518.474 3文獻[11]中定理3.4(取S={3},S={1,2})17.440 3文獻[12]中定理317.440 3定理2.417.189 5

例 3.2設A=(aijkl)∈R[4,2]為對稱張量,其中a1111=7,a1112=3,a1122=2,a1222=3,a2222=7.經計算,得A的所有E-特征值0.5、12.5、25和Z-譜半徑(A)=12.5.下面對A的所有E-特征值和Z-譜半徑(A)進行定位或估計.由定理2.2得

Ψ(A)={z∈C:|z|≤25}.

由定理2.4得

(A)≤25.

張量A的所有E-特征值及其包含集Ψ(A)見圖2,其中Ψ(A)用實邊界標出,所有E-特征值用“+”號標出.由圖2可以看出，σE(A)?Ψ(A)且Ψ(A)恰好包含了A的所有E-特征值.

圖 2 張量A的E-特征值及其包含集Ψ(A)