圖形巧變化

黃旭軍

今天，老師早早進了教室，和同學們聊天。

班里的“數(shù)學大王”抱怨道：“老師，您昨天布置的作業(yè)太難了，我算了半天才做出來。”

“是啊，太難了！”

“我想了好久，還沒做出來。”

……

其他同學紛紛附和。

“不會吧？”老師看了同學們的解答方法，哈哈大笑，“你們沒有選對解題方法當然會事倍功半了。這兩道題目要變化一下才行！”

“變化？題目又不是孫悟空，怎么變化？”“對呀，怎么變呀？”同學們議論紛紛。

“在解決圖形問題時，有時可以通過變化讓題目更簡單，最常用的方法就是等積變化。等積變化要注意兩點：一是變化后的面積與原來的相等，二是盡量把圖形變成已學過的圖形，圖形越簡單越好。”老師解釋說。

經(jīng)老師一點撥，同學們開始埋頭思考起題目來。

例1?如圖，正方形ABCD與正方形EFGC并放在一起。已知正方形ABCD的邊長是10厘米，正方形EFGC的邊長是6厘米，求三角形AEG的面積。

觀察開始

通過觀察，我們知道三角形AEG的面積就是大小兩個正方形的面積之和減去三角形ABE、三角形EFG、三角形ADG的面積。

常規(guī)思路

為了方便說明，我們在圖上標出三個空白三角形。

已知正方形ABCD的邊長是10厘米，正方形EFGC的邊長是6厘米，于是有：

大正方形ABCD的面積=10×10=100（平方厘米）

小正方形EFGC的面積=6×6=36（平方厘米）

三角形①的面積=10×4÷2=20（平方厘米）

三角形②的面積=16×10÷2=80（平方厘米）

三角形③的面積=6×6÷2=18（平方厘米）

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，可得三角形AEG的面積是100+36-20-80-18=18（平方厘米）。

另辟蹊徑

我們可以通過畫輔助線AC，試著把圖形變化一下。

為了方便說明，我們把EG畫成紅色虛線。因為AC和EG平行，而平行線之間距離處處相等，所以以EG為底分別給三角形AEG和三角形ECG畫高，兩個三角形的高相等。也就是說，三角形AEG的面積等于三角形ECG的面積。

所以，三角形AEG的面積是6×6÷2=18（平方厘米）。

例2?如圖，已知長方形的長為4厘米，求陰影部分的面積。

觀察開始

如右圖，長方形的長是圓的半徑的2倍，寬等于半徑，所以長是寬的2倍。因為長是4厘米，所以寬是4÷2=2（厘米）。

如圖，所求陰影部分的面積就是長方形的面積減去藍色、紅色兩部分的面積。

常規(guī)思路

長方形的面積=4×2=8（平方厘米）

藍色部分的面積=8÷2=4（平方厘米）

紅色部分的面積等于正方形的面積減去四分之一圓的面積，即2×2-3.14×2×2÷4=0.86（平方厘米）。

所以，陰影部分的面積是8-4-0.86=3.14（平方厘米）。

另辟蹊徑

其實，我們還可以通過割補法把陰影部分變成四分之一圓。如圖，只要將黃色部分移到灰色部分即可。

也就是說，四分之一圓的面積就是所求陰影部分的面積。

3.14×2×2÷4=3.14（平方厘米）

訓練一二一

如圖，已知大正方形的邊長是6.33厘米，小正方形的邊長是4厘米，求陰影部分的面積。（答案見下期）

上期答案：蜘蛛有46只，蝴蝶有23只。